高中数学北师大版选修1-1第一章2.3充要条件作业1

[基础达标]eq\a\vs4\al(1.)设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是()A．x＞1 B．x＜1C．x＞3 D．x＜3解析：选A.∵x＞1x＞e，而x＞e⇒x＞1.2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l⊥β”，因此选A.eq\a\vs4\al(3.)设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cosθ，当|a||b|·cosθ＝±|a||b|时，cosθ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.eq\a\vs4\al(4.)若a，b∈R，则“a＞b”是“a3＋b3＞a2b＋ab2”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件解析：选D.a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a－b)2，a＞ba3＋b3＞a2b＋ab2，故选D.5.设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q，由a1＜a2＜a3得a1＜a1q＜a1q2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))，∴充分性成立；当{an}递增时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＞0,q＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＜0,0＜q＜1))，∴a1＜a2＜a3，必要性成立．6.在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．答案：充要7.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的________条件．解析：由题意知：A⇒B⇒C⇔D，∴A⇒D.答案：必要不充分8.已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，则使p是q的充分不必要条件的最小整数a＝________．解析：由题意知a＞0，设A＝{x||x－1|＞a}＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}，B＝{x|2x2－3x＋1＞0}＝{x|x＜eq\f(1,2)或x＞1}，由题意，AB，∴由数轴可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2),1＋a＞1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＜\f(1,2),1＋a≥1)).∴a≥eq\f(1,2)，故a的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而pq，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4≥0，,x1＋x2＝－m＜0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2或m≤－2，,m＞0，))所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若{an}单调递增，不一定能够说明an＋1＞|an|一定成立，如an：{－n，－(n－1)，…，－2，－1}显然不满足an＋1＞|an|一定成立，但是该数列递增；如果an＋1＞|an|＞0，那么无论an的值取正还是取负，一定能够得到{an}单调递增，所以an＋1＞|an|是{an}为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为M和N，那么“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)＞0，则M＝N；如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)＜0，则M≠N，∴eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)M＝N.反之，若M＝N＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M＝Neq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2).答案：既不充分也不必要3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常数)，求证数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.证明：(1)必要性．∵数列{an}为等比数列，∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn.∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝eq\f(a1,1－q).∴a＋b＝0.(2)充分性．∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.∵an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)qn－1(n＞1)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(a（q－1）qn,a（q－1）qn－1)＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(aq2－aq,aq－a)＝q.故数列{an}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为