专题02平面向量的基本定理及坐标运算

专题02平面向量的基本定理及坐标运算知识点1平面向量基本定理1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3、对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．4、平面向量基本定理的应用（1）平面向量基本定理唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则（2）重要结论设是平面内一个基底，若，=1\*GB3①当时，与共线；=2\*GB3②当时，与共线；=3\*GB3③当时，；知识点2平面向量的坐标运算1、向量和差运算：已知，则，．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2、向量数乘运算：若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是知识点3线段的定比分点及λ设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：(内分)

(外分)()

(外分)()1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.2、点的位置与的范围的关系：①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.3、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.知识点4平面向量数量积的坐标表示1、向量数量积的坐标运算：若，，则两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则3、用坐标表示的三个重要公式（1）向量的模公式：若a=(x（2）两点间的距离公式：若A(x1,y（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b则cos考点1对基本定理的概念理解【例1】（2022·江苏·高一专题练习）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．【答案】ABD【解析】对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；对于选项D，，又，不共线，，即，即，（当且仅当时等号成立），，得，故D正确，故选：ABD．【变式11】（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，故选：B【变式12】（2022·高一课时练习）（多选）下列说法中正确的是（）A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，则.C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC【解析】选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此，一定都是非零向量，故A正确；选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正确；选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误故选：ABC【变式13】（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）A．(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，若基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.故选:BC.考点2基底的判断【例2】（2023春·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校考阶段练习）设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】对A：∵，则与共线，故和不能作为基底向量，A错误；对B：∵，则与共线，故和不能作为基底向量，B错误；对C：∵，则与共线，故和不能作为基底向量，C错误；对D：∵，则与不共线，故和不能作为基底向量，D正确；故选：D.【变式21】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，对于A，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于C，因为，即和共线，不能作为基底；对于D，，故和没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C【变式22】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】对于A，不共线，所以可以作为一组基底.对于B，不共线，所以可以作为一组基底.对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底.对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.故选：CD.【变式23】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）（多选）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】AC【解析】B中与共线，D中与共线，A、C中两向量不共线，故选：AC.【变式24】（2023·全国·高一专题练习）设是两个不共线的非零向量，且．（1）证明：可以作为一个基底；（2）以为基底，求向量的分解式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）假设共线，则，则．由不共线，得所以λ不存在，故不共线，即可以作为一个基底．（2）设，则所以，解得，故．考点3用基底表示向量【例3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又为上靠近的一个四等分点，所以.故选：C.【变式31】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，∴，，设，∵E，F，P三点共线，∴，解得，于是．故选：B.【变式32】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图所示，已知和交于点E，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由图可知，，则，解得.故选：B.【变式33】（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）在中，D为中点，连接，若，则的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因为为边的中点，所以，，因为，所以，所以，又，因此有，则.故选：C【变式34】（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．【答案】【解析】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得，，，，由得，设，则，可得，解得，所以，，又因为，所以，解得，，则.【变式35】（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.（1）用表示向量；（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，所以＝＝()，因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）设＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.考点4向量线性运算的坐标表示【例4】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，则__________.【答案】【解析】.【变式41】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，将代入有:.故选：A【变式42】（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）已知向量，若，则（）A．1B．2C．6D．6【答案】D【解析】向量，则，，故，解得.故选：D【变式43】（2023·高一课时练习）已知点，，，设，，，且，，（1）求；（2）求满足的实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题得，所以（2）由（1）得，所以，所以，解得，所以满足的实数的值为.考点5利用坐标求向量共线问题【例5】（2023秋·辽宁·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】由题意向量，，，则，由于与共线，则，故选：D【变式51】（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，且与平行，则______．【答案】【解析】因为，，所以，，因为与平行，所以，解得.【变式52】（2023春·河南洛阳·高一校考阶段练习）已知.（1）当k为何值时，与共线?（2）若且A，B，C三点共线，求m的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为与共线，所以解得.故当时，与共线.（2）因为A，B，C三点共线，与不共线，所以存在实数λ，使得即，整理得所以，解得.故的值为.【变式53】（2022·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，显然三点不共线，如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，当时，，即此时A、C、D共线，不能使点A、B、C、D构成四边形.故选：D考点6向量数量积的坐标表示【例6】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，点满足，所以，则，故选：D．【变式61】（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知向量，，，若，则实数x的值为______．【答案】【解析】因为向量，，则，又，且，因此，解得，所以实数x的值为.【变式62】（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知向量，，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选：B．【变式63】（2022春·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D【变式64】（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形中，，且.（1）求实数的值；（2）若是线段上的动点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于，所以，所以，，所以，所以.（2）以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，设，，，由于，所以的取值范围是.考点7利用坐标求向量的夹角【例7】（2022春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知平面向量，，若，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，即，解得，所以，，则又所以与的夹角为，故选：B.【变式71】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为，所以.因为为锐角，所以，解得.当时，，解得.当为锐角时，实数的取值范围是.所以实数可能的取值是，.故选：BD.【变式72】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知向量，，其中．（1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1），＝；（2）【解析】（1），，∴，．（2）设的夹角为θ，由，．【变式73】（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夹角的大小.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．【变式74】（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）已知，．（1）若与垂直，求k的值；（2）若为与的夹角，求的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）因为，，则，，依题意，，解得，所以.（2）由（1）知，，，则，，因此，而，所以.考点8利用坐标求向量的模长【例8】（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）设，向量，，且，则（）A．B．C．D．5【答案】D【解析】由可得，解得，则，.故选：D.【变式81】（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，则等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】因为，所以，因为向量与的夹角为60°，所以，所以，所以，故选：B.【变式81】（2022春·广东茂名·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，，θ∈，则的值可以是（）A．B．C．2D．2【答案】ABC【解析】由，，可得，则，因为，所以，所以，所以，则A、B、C符合题意，故选：ABC．【变式82】（2023春·江苏南通·高一南通一中校考阶段练习）（多选）已知，则下列选项中可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，，，，若，此时，故，A可能正确；若，此时，，B选项可能正确；，故C一定不正确；，当时，，故，D可能正确.故选：ABD【变式83】（2022春·湖北宜昌·高一宜昌市一中校联考阶段练习）如图，直角的斜边长为，，且点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，点在线段的右上方，则下列说法成立的是（）A．有最大值B．无最大值C．有最大值D．是定值【答案】ACD【解析】设，在中，，，则、、，，则点，则，对于A选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，A对；对于B选项，，所以，，所以，，因为，则，所以，当时，即当时，取得最大值，B错；对于C选项，，所以，，因为，则，故当时，，C对；对于D选项，，故，D对.故选：ACD.1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）．A．和B．和C．和D．和【答案】A【解析】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；对于B选项，设，则，无解，故和不共线，B选项能作为基底；同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．故选：A．2．（2022春·北京·高一北京八中校考阶段练习）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】设所求向量为，因为，故，又与向量和夹角均相等，根据平行四边形法则可得与共线，设，则，故，即，故或，故选：C3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为是线段AD的中点，且，所以，得，又B、D、C三点共线，所以，得.故选：A.4．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）中，点D满足，点E满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，．故选：C．5．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件得为的中点，为的三等分点，连接,,∵三点共线，∴存在唯一实数使,∴,整理得,即，故可知①，同理∵三点共线，∴②,将①②联立解得，即，故选：.6．（2022春·北京丰台·高一北京市第十二中学校考阶段练习）平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由平行四边形可得，即，解得，故.故选：D.7．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量，，，若与共线，则实数（）A．B．C．5D．【答案】B【解析】依题意，，，因为，所以，解得．故选：B．8．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）若向量，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知向量，因为，所以，得，所以，，又，所以，所以在上的投影向量为：，故选：A.9．（2022春·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校联考阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，向量，可得，又由向量与的夹角为，，则.故选：D.10．（2022春·江苏常州·高一常州市第二中学校考阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为与垂直，故，解得，则,，设与夹角为，则.故选：A.11．（2023春·河北沧州·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，则（）A．B．C．D．与不共线【答案】ABD【解析】对于A：，A正确；对于B：因为，，所以，B正确；对于C：因为，所以，C错误；对于D：因为，又，所以与不共线，D正确．故选：ABD12．（2022春·广东韶关·高一校考阶段练习）（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（）A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为C．D．的最大值为2【答案】CD【解析】对于A，因为所以，则与的夹角为锐角，故A错误；对于B，因为所以向量在方向上的投影为，故B错误；对于C，因为所以.因为，，所以，即，故C正确；对于D，因为，，所以，当且仅当,即时取等号，故的最大值为2，故D正确.故选:CD.13．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）（多选）已知向量，若，则下列结论在确的是（）A．B．C．D．与的夹角为锐角【答案】AC【解析】，由得，所以，所以A正确；对于B，由，可得，因为，所以，故B错误；对于C，由得，所以，故C正确；对于D，，设与的夹角为，所以，又，所以为钝角，故D错误.故选：AC.14．（2022春·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）（多选）已知向量，（），则下列命题正确的是（