北师大版八年级数学下册举一反三 专题2.4 一元一次不等式与一次函数-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题2.4一元一次不等式与一次函数-重难点题型【北师大版】【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【例1】(2023秋•靖江市期末）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1【变式1-1】(2023秋•无锡期末）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（）A．x＜−32 B．x＞−32 C．x＜3【变式1-2】(2023秋•常州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1或x＜0 D．x＞1或x＜1【变式1-3】(2023•陕西模拟）如图，已知一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），则关于x的不等式mx+m+n＜3的解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【题型2一次函数的与一元一次不等式（多结论问题）】【例2】(2023秋•滨湖区期末）如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-1】(2023春•沂水县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，则以下结论：①y1随x的增大而增大；②m＞0；③n＞0；④不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】(2023春•高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c=14（d﹣A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式2-3】(2023春•中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；④d﹣b＝3（a﹣c）．其中正确的有（）A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③【题型3一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】【例3】(2023春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．（1）求点A的坐标；（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．【变式3-1】(2023春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．【变式3-2】(2023春•海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；【变式3-3】(2023春•赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y=−23x的图象交于点B（（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求（3）直接写出关于x的不等式0＜−23x＜kx+【题型4一次函数与一元一次不等式（面积问题）】【例4】(2023春•诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞−4（1）分别求出k，b，m的值；（2）求S△ACD．【变式4-1】(2023春•东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【变式4-2】(2023春•宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；（2）求出△OAP的面积．【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2=12（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3＞12x+2的解集为（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．【题型5一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.（1）求直线MN的解析式；（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为125，直接写出符合条件的点P【变式5-1】(2023春•顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．①求点B的坐标；②求a的值．【变式5-2】(2023秋•南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．【题型6一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】【例6】(2023春•开封期末）某同学用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题：（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象．①列表、填空：x…﹣2﹣1012…y…102…②描点．③连线．（2）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．（3）①在（1）中的平面直角坐标系中，再画出一次函数y=1②结合图象，直接写出不等式13x+43＞【变式6-1】(2023秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：（1）列表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…118m2﹣101n3…直接写出m、n的值：m＝，n＝；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）；（4）已知函数y=−13x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤−13【变式6-2】(2023春•九龙坡区期末）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y=−73|x|+观察下表，请按要求完成下列各小题．x…﹣3﹣2﹣10123456…y=−73|x|+…−19−14−7352ab1c0…（1）表中：a＝，b＝，c＝；（2）在给出的图中补全该函数的大致图象，并根据这个函数图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y=711x﹣2的图象如图所示，请你根据此函数的图象，直接写出不等式711x﹣2＞−73|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【变式6-3】(2023春•青岛期末）【问题提出】：如何解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2？预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．图①中给出了函数y＝x+1和y＝2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当x＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为．预备知识2：函数y＝|x|=x(x≥0)−x(x＜0)，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x﹣1|+|x﹣3|时，可令x﹣1＝0和x﹣3＝0，分别求得x＝1，x＝3（称1，3分别是|x﹣1|和|x﹣3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，（1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；（2）当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2；（3）当x≥3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4；所以|x﹣1|+|x﹣3|就可以化简为4−2x(x＜1)2(1≤x＜3)预备知识3：函数y＝b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．【知识迁移】：如图④，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是．【问题解决】：结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2．在平面直角坐标系内作出函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象，如图⑤．在同一平面直角坐标系内再作出直线y＝x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是，；通过观察图象，便可得到不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集．这个不等式的解集为．专题2.4一元一次不等式与一次函数-重难点题型【北师大版】【题型1由图象确定一元一次不等式的解集】【例1】(2023秋•靖江市期末）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1分析：先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，然后解关于x的不等式即可．【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得，﹣k+b＝0，解得b＝k，则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，即k（x﹣2+1）＞0，而k＞0，所以x﹣2+1＞0，解得x＞1．故选：D．方法二：一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移2个单位得y＝k（x﹣2）+b，∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＞0）的图象过点（1，0），由图象可知，当x＞1时，函数y＝k（x﹣2）+b＞0，∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＞1，故选：D．【变式1-1】(2023秋•无锡期末）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（）A．x＜−32 B．x＞−32 C．x＜3分析：根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k，k＜0，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（3，0），k＜0，∴3k+b＝0，∴b＝﹣3k，∴不等式可化为：2kx+3k＞0，解得x＜−3故选：A．【变式1-2】(2023秋•常州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1或x＜0 D．x＞1或x＜1分析：由题意不等式x（kx+b）＞0，则x＞0kx+b＞0或x＜0kx+b＜0，根据函数的图象与【解答】解：∵不等式x（kx+b）＞0，∴x＞0kx+b＞0或x＜0∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），由图象可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．故选：C．【变式1-3】(2023•陕西模拟）如图，已知一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），则关于x的不等式mx+m+n＜3的解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2分析：由一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3）可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点（﹣3，3），然后根据图象即可得到不等式mx+m+n＜3的解集．【解答】解：∵一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），∴一次函数y＝m（x+1）+n的图象经过点（﹣3，3），由图象可知，关于x的不等式mx+m+n＜3的解集为x＞﹣3．故选：A．【题型2一次函数的与一元一次不等式（多结论问题）】【例2】(2023秋•滨湖区期末）如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＜0；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2；当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，故①②正确；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2，故③正确；当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2，故④正确；故选：D．【变式2-1】(2023春•沂水县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，则以下结论：①y1随x的增大而增大；②m＞0；③n＞0；④不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析：根据一次函数的性质可对①②③直接进行判断；结合函数图象，根据直线y2＝mx+n不在直线y1＝kx+b的下方所对应的自变量的范围对④进行判断．【解答】解：一次函数y1＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y1随x的增大而增大，所以①正确；一次函数y2＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，则m＜0，n＞0，所以②错误；③正确；不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2，所以④正确．故选：C．【变式2-2】(2023春•高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c=14（d﹣A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【解题思路】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答过程】解：由图象可得，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；4a+b＝4c+d可以得到a﹣c=14（d﹣b），故故选：B．【变式2-3】(2023春•中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；④d﹣b＝3（a﹣c）．其中正确的有（）A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③【解题思路】仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论；②观察函数图象可以直接得到答案；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④根据两直线交点可以得到答案．【解答过程】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方，∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，∴3a+b＝3c+d∴3a﹣3c＝d﹣b，∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确，故选：C．【题型3一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】【例3】(2023春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．（1）求点A的坐标；（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．【解题思路】（1）由直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A，故可联立方程组：y=x+1，y=2x−2．得x=3y=4，故（2）根据函数图象，可知：当y1＞y2时，x＜3．（3）当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，故当x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，得1≤k≤2．【解答过程】解：（1）由题意得：y=x+1，解得：x=3，∴A（3，4）．（2）如图，当y1＞y2时，x＜3．（3）当x＜3，y3＞y2恒成立，则x＜3，y3﹣y2＞0恒成立．∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2，∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3．∴若x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0．当k﹣2＝0，即k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0．当k﹣2＞0，即k＞2，[（k﹣2）x+3]min不存在．当k﹣2＜0，即k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故k≥1．综上：1≤k≤2．【变式3-1】(2023春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．【解题思路】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组y=−x−2y=x−4，解此方程组即可求出点A（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．【解答过程】解：（1）解方程组y=−x−2y=x−4，得x=1所以点A坐标为（1，﹣3）；（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴△ABC的面积=1【变式3-2】(2023春•海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；【解题思路】（1）把A（1，4）代入y1＝ax+b求得a+b＝4，得到b＝4﹣a，于是得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；【解答过程】解：（1）∵y1＝ax+b的图象过点A（1，4），∴a+b＝4，∴b＝4﹣a，∴y1＝ax+（4﹣a），y2＝（4﹣a）x+a，∵y1和y2的图象重合，∴a＝4﹣a，∴a＝2，b＝2；即当a＝2，b＝2时，y1和y2的图象重合；（2）∵a+b＝4，如图1，∴a＝4﹣b，∴y1＝（4﹣b）x+b，y2＝bx+（4﹣b），∵0＜a＜4，0＜4﹣b＜4且x＜1时，y1＞y2成立，∴由图象得4﹣b＜b，∴2＜b＜4；【变式3-3】(2023春•赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数y=−23x的图象交于点B（（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y=−23x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求（3）直接写出关于x的不等式0＜−23x＜kx+【解题思路】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式；（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；（3）找出直线y=−23x落在y＝kx+b的下方且在x轴上方的部分对应的【解答过程】解：（1）∵正比例函数y=−23x的图象经过点B（∴2=−23a，解得，∴B（﹣3，2），∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），∴−2k+b=4−3k+b=2，解得k=2∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8；（2）∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，∴C（﹣4，0），∵正比例函数y=−23x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点∴平移后的函数的解析式为y=−23x﹣∴0=−23×（﹣4）﹣m，解得（3）∵一次函y＝kx+b与正比例函数y=−23x的图象交于点且一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C（﹣4，0），∴关于x的不等式0＜−23x＜kx+b的解集是﹣3＜【题型4一次函数与一元一次不等式（面积问题）】【例4】(2023春•诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞−4（1）分别求出k，b，m的值；（2）求S△ACD．【解题思路】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞−45得到点D的横坐标为−45，再将x=−45代入y=32x+3，得：y=95，将x=−（2）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3），−2k+b=0b=3解得：k=32，∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x＞−4∴点D的横坐标为−4将x=−45代入y=32x∴D（−45，将x=−45，y=95代入解得：m＝1；（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，则DH=对于y＝1﹣x，令y＝0，得：x＝1，∴点C的坐标为（1，0），∴S△ACD=12•AC•DH=1【变式4-1】(2023春•东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【解题思路】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标；（2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积．【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），∴5k+5＝0，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．联立直线AB、CD的解析式成方程组，y=−x+5y=2x−4，解得：x=3∴点C的坐标为（3，2）．（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，∴点D的坐标为（2，0），∴S△ACD=12（xA﹣xD）•yC【变式4-2】(2023春•宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；（2）求出△OAP的面积．【解题思路】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征先求出a的值，然后观察函数图象，写出直线y＝kx+3在直线y＝2x上方所对应的自变量的取值范围即可；（2）先求出直线l2的解析式，再求出A点坐标，然后利用三角形面积公式求解．【解答过程】解：（1）把P（a，2）代入y＝2x得2a＝2，解得a＝1，则P（1，2），当x≤1时，2x≤kx+3，所以不等式2x≤kx+3的解集为x≤1；（2）把P（1，2）代入y＝kx+3得k+3＝2，解得k＝﹣1，所以直线l2的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），所以△OAP的面积=1【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2=12（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3＞12x+2的解集为x（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．【解题思路】（1）先求出直线y1＝﹣2x﹣3，y2=12x+2与x轴和（2）直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2=12x+2上方的部分对应的x的取值范围就是不等式﹣2x﹣3＞（3）根据三角形的面积公式求解即可．【解答过程】解：（1）函数y1＝﹣2x﹣3与x轴和y轴的交点分别是（﹣1.5，0）和（0，﹣3），y2=12x+2与x轴和其图象如图：（2）观察图象可知，函数y1＝﹣2x﹣3与y2=12当x＜﹣2时，直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2=12x+2的上方，即﹣2x﹣3＞所以不等式﹣2x﹣3＞12x+2的解集为故答案为x＜﹣2；（3）∵y1＝﹣2x﹣3与y2=12x+2与y轴分别交于点A（0，﹣3），∴AB＝5，∵y1＝﹣2x﹣3与y2=12x+2交于点∴△ABC的边AB上的高为2，∴S△ABC=1【题型5一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.（1）求直线MN的解析式；（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为125，直接写出符合条件的点P【解题思路】（1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值；（2）直线y＝kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求；（3）作△OMN的高OA．根据三角形的面积公式求出OA=OM⋅ONMN=3×45=125，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），所以3k+b=0b=4解得：k=−4∴直线MN的解析式为：y=−43（2）根据图形可知，当x≤3时，y＝kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0，则不等式kx+b≥0的解集为x≤3；（3）如图，作△OMN的高OA．∵S△OMN=12MN•OA=12∴OA=OM⋅ON∴点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为125所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）．【变式5-1】(2023春•顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2；（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．①求点B的坐标；②求a的值．【解题思路】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集；（2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标；②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值．【解答过程】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2；（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，∴b=4−2k+b=0，得k=2∴一次函数y1＝2x+4，∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，∴点B的横坐标是x＝1，当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，∴点B的坐标为（1，6）；②∵点B（1，6），∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，即a的值是10．【变式5-2】(2023秋•南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．【解题思路】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；（3）关于x的不等2x﹣4＞kx+b的解集就是函数y＝kx+b的图象在下边的部分自变量的取值范围．【解答过程】解：（1）根据题意得5k+b=0k+b=4解得k=−1b=5则直线AB的解析式是y＝﹣x+5；（2）根据题意得y=−x+5y=2x−4解得：x=3y=2则C的坐标是（3，2）；（3）根据图象可得不等式的解集是x＞3．【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．【解题思路】（1）对于y＝﹣2x+1，计算自变量为﹣2时的函数值可得到B点坐标，然后把B点坐标代入y＝x+k可得到k的值；（2）先确定两直线与y轴的交点A、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，写出直线y＝﹣2x+1在直线y＝x+k上方所对应的自变量的范围即可．【解答过程】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）．把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7；（2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）；当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7）所以AC＝7﹣1＝6，所以S△ABC=1x＜﹣2．【题型6一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】【例6】(2023春•开封期末）某同学用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题：（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象．①列表、填空：x…﹣2﹣1012…y…21012…②描点．③连线．（2）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；②当x＝0时，函数有最小值0（答案不唯一）．（3）①在（1）中的平面直角坐标系中，再画出一次函数y=1②结合图象，直接写出不等式13x+43＞|x分析：（1）把x＝﹣2，1分别代入y＝|x|，求出对应的函数值即可填表，然后画出函数y＝|x|的图象；（2）根据图象得出函数性质即可（答案不唯一）；（3）①根据一次函数的性质画出函数y=1②根据图象，写出直线y=13x+43【解答】解：（1）①∵y＝|x|，∴当x＝﹣2时，y＝2，当x＝1时，y＝1，②和③如右图所示．故答案为：2，1；（2）由图象可得，①当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．②当x＝0时，函数有最小值0．故答案为：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，函数有最小值0（答案不唯一）；（3）①函数y=1②由图象可得，不等式13x+43＞故答案为：﹣1＜x＜2．【变式6-1】(2023秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：（1）列表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…118m2﹣101n3…直接写出m、n的值：m＝5，n＝2；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而减小（填写“增大”或“减小”）；（4）已知函数y=−13x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤−13x+4的解集分析：（1）把x＝﹣3、2分别代入y＝2|x+1|﹣x﹣2即可求得m、n的值；（2）描点连线即可作出函数图象即可；（3）观察函数图象，即可得出当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，（4）观察函数图象即可求解．【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝5；把x＝2代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝2；∴m＝5，n＝2，故答案为：5，2；（2）描点连线作出如下图所示函数图象，（3）观察图象，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，故答案为：减小；（4）从图上看，两个函数的交点为（﹣3，5）、（3，3），故不等式2|x+1|﹣x﹣2≤−13x+4的解集为：﹣3≤【变式6-2】(2023春•九龙坡区期末）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y=−73|x|+观察下表，请按要求完成下列各小题．x…﹣3﹣2﹣10123456…y=−73|x|+…−19−14−7352ab1c0…（1）表中：a＝2，b＝32，c＝12（2）在给出的图中补全该函数的大致图象，并根据这个函数图象写出该函数的一条性质：x＞0时，y随x的增大而减小（x≤0时，y随x的增大而增大，性质不唯一，合理即可）；（3）已知函数y=711x﹣2的图象如图所示，请你根据此函数的图象，直接写出不等式711x﹣2＞−73|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）分析：（1）把x＝2，x＝3，x＝5分别代入函数解析式，求出a，b，c；（2）从增减性，函数值等方面分析性质，答案不唯一，合理即可；（3）结合函数图象，找到两个函数的交点，再写出不等式