苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题15中点四边形(原卷版+解析)

专题15中点四边形【例题讲解】问题背景：△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI是菱形.理由：如图①，连接AE,BD，∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，FG＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四边形FGHI是菱形；（2）解：如图②，过点D作DM⊥EC于点M，∵△CDE为等边三角形，∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，在Rt△DMC中，DM＝，在Rt△BDM中，BD＝，∴GH＝BD＝，由(1)知四边形FGHI是菱形，∴.四边形FGHI的周长为4GH＝4.（3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.∴AN＝BN，DN＝EN，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，∴FGAE，IHAE，FIBD，GHBD.∴.FGAEIH，FIBDGH，∵四边形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．无法确定（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形是和美四边形，若，求的长．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是．（填序号）①对角线所夹锐角为60°的平行四边形；②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，请直接写出AB＋CD与AC的大小关系；(3)请判断AD＋BC与AC的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为（30︒﹤﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．8．综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、．(1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积．9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有（只填序号）；①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．10．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．11．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．专题15中点四边形【例题讲解】问题背景：△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI是菱形.理由：如图①，连接AE,BD，∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，FG＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四边形FGHI是菱形；（2）解：如图②，过点D作DM⊥EC于点M，∵△CDE为等边三角形，∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，在Rt△DMC中，DM＝，在Rt△BDM中，BD＝，∴GH＝BD＝，由(1)知四边形FGHI是菱形，∴.四边形FGHI的周长为4GH＝4.（3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.∴AN＝BN，DN＝EN，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，∴FGAE，IHAE，FIBD，GHBD.∴.FGAEIH，FIBDGH，∵四边形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析(3)≤m≤【分析】（1）连结BD，根据三角形中位线的性质可得MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD，进而可得MQPN，MQ＝PN，根据平行四边形的判定定理即可求解；（2）连结BD、AC，同理可得四边形MNPQ为平行四边形证明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根据中位线的性质，即可得出MQ＝MN，根据平菱形的判定定理即可求解；（3）连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位线，根据三角形三边关系即可求解．（1）解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD∴MQPN，MQ＝PN∴四边形MNPQ为平行四边形．（2）四边形MNPQ为菱形，连结BD、AC∵点M、N分别是边AB、BC的中点.∴MN＝AC在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD∴MQMN，MQ＝PN∵四边形MNPQ为平行四边形

∴平行四边形MNPQ是菱形．（3）解：如图，连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10，∵点P是BD的中点，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5，∵点Q是AD的中点，点P是BD的中点，∴PQ是△ABD的中位线，∴PQ＝AB＝，在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ，∴＜m＜，∵点C、点Q是定点，点P是动点，∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值，当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值，综上，m的取值范围为：≤m≤．【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．无法确定（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形是和美四边形，若，求的长．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A．（3）由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴△AOE的面积＝△BOE的面积，△BOF的面积＝△COF的面积，△COG的面积＝△DOG的面积，△DOH的面积＝△AOH的面积，∴S1+S3＝△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积＝S2+S4；（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=．【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】(1)证明见解析；(2)菱形，证明见解析.【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．【详解】（1）如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EHBD．∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FGBD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．理由如下：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EFAC，FGBD．∵AC=BD，∴EF=FG．∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是．（填序号）①对角线所夹锐角为60°的平行四边形；②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，请直接写出AB＋CD与AC的大小关系；(3)请判断AD＋BC与AC的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．【答案】(1)②③(2)(3)(4)【分析】（1）根据定义即可求解．（2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解；（3）过作交的延长线于点，求得中间量，根据，结合不等式的性质即可求解；（4）根据（2）（3）的结论代入数据即可求解．(1)对角线所夹锐角为60°的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“60°等角线四边形”；②对角线所夹锐角为60°的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“60°等角线四边形”；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“60°等角线四边形”．故答案为：②③；(2)△ACE是等边三角形，，，四边形是平行四边形中，即；(3)如图，过作交的延长线于点，；(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则由（2）（3）可得，．该四边形周长的最小值为．【点睛】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为（30︒﹤﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,【答案】(1)①证明见解析;②四边形BGED面积的最大值为6+4;（2）正方形,3+2.【分析】（1）①由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如图所示，EB交AG于点H，利用等角的余角相等得到∠GMH=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.(2)根据中点四边形的性质可知四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为四边形MNPQ面积的最大值是：【详解】(1)①∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=，AG=AE，∠DAB+∠GAB=∠GAB+∠GAE∠DAG=∠BAE在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴∠AGD=∠AEB，DG=BE,如图所示，EB交AG于点H，在△AEH中,∠AEH+∠AHE=，∠AEH=∠BHG,∴∠AGD+∠BHG=，在△HGM中,∠AGD+∠BHG+∠GMH=，∴∠GMH=，则DG⊥BE；②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.此时：DG=BE四边形BGED面积(2)连接BE,DG，根据中位线的性质可得,,四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为四边形MNPQ面积的最大值是：故答案为正方形,3+2.【点睛】考查正方形的性质，中位线的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大.6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【答案】（1）是平行四边形，理由见解析；（2）①AC=BD；证明见解析；②AC⊥BD．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；②若四边形EFGH是矩形，则∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，则AC⊥BD．【详解】解：（1）是平行四边形．理由如下：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）①AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点睛】此题主要考查了中点四边形，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形、菱形及矩形的判定是解题的关键．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．【答案】(1)△OMN为等腰三角形，理由见解析；（2）△AGD是直角三角形，理由见解析．【详解】试题分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．试题解析：：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．考点：1．三角形中位线定理；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理．8．综合与探究：如图1，四边形中，、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、．(1)猜想四边形的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，在四边形内一点，使，，，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，，，，，求四边形的面积．【答案】(1)平行四边形(2)菱形，见解析(3)【分析】(1)连接AD，利用三角形中位线定理，证明EH=FG，且EH∥FG即可得证．(2)连接AD，BC，证明，得到AD=CB，结合三角形中位线定理，得到四边形EFGH的四边相等，即可得到菱形EFGH．(3)连接AD，BC，交点为M，设BC与EH的交点为Q，AD与EF的交点为O，证明，判定四边形EOMQ是平行四边形，证明∠HEF=60°，连接，过点作，垂足为，求得EH，HN的长度即可．（1）平行四边形．理由如下：如图1，连接AD，∵、、、分别是、、、的中点，∴EH∥AD，EH=，FG∥AD，FG=，∴EH=FG，且EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）菱形.理由：如图2，连接，.∵，∴，即.又∵，，∴，∴.∵、、、分别是、、、的中点，∴、、、分别是、、、的中位线，∴，，，，∴，∴四边形是菱形.（3）连接AD，BC，交点为M，设BC与EH的交点为Q，AD与EF的交点为O，∵，，∴是等边三角形.∵是中点，∴平分，，∴，点、、共线.在中，，在中，，∴.∵，∴，∴.∵，，∴四边形EOMQ是平行四边形，∴.在中，，，∴菱形的面积.【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有（只填序号）；①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，AC=DB，AB＞CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD=2∠B，AC=BC=5，AB=6，CD=4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）④；（2）见解析；（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，DE＝【分析】（1）根据中点四边形的特征，结合邻对等四边形的定义求解即可；（2）延长CD至E，使CE=BA，根据“SAS”可证△ABC≌△ECB，从而BE=CA，∠BAC=∠E．利用等量代换可证BD=BE，从而∠BDE=∠E，然后可证明结论成立；（3）在BC延长线上取一点E，使得CE=4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．连接AE，BD，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．通过证明CE≌△BCD，可证BD=AE，从而四边形ABED为邻对等四边形．通过证明△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可求出DE的长.【详解】（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，菱形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，矩形具备一组邻角相等且对角线相等，故是邻对等四边形；故答案为④；（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE=BA，在△ABC与△ECB中，，∴△ABC≌△ECB．∴BE=CA，∠BAC=∠E．∵AC=DB，∴BD=BE．∴∠BDE=∠E．∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．即∠BAC与∠CDB互补．（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE=4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．理由如下：连接AE，BD，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∵∠BCD=2∠B，∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD．∴BD=AE，四边形ABED为邻对等四边形．∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，∴△ABC∽△DEC．∴，∴.【点睛】本题考查了信息迁移，中点四边形的特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并理解“邻对等四边形”的含义是解答本题的关键.10．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．【答案】[探究]平行四边形；[应用]（1）添加AC=BD；（2）【分析】[探究]利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EFGH，继而可判断出四边形EFGH的形状；[应用]（1）添加条件AC=BD，同[探究]的方法判断出FG=BD，即可判断出EF=FG，即可得出结论；（2）先判断出S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，进而得出S四边形EFGH=，再判断出OM=ON，进而得出S阴影=S四边形EFGH即可．【详解】解：[探究]平行四边形．理由：如图1，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EFAC，EF=AC，同理HGAC，HG=AC，综上可得：EFHG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形．[应用]（1）添加AC=BD．理由：连接AC，BD，由（1）知，EF=AC，∵G是CD的中点，F是BC的中点，∴FG=BD，∵AC=BD，∴EF=FG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形；故答案为AC=BD；（2）如图2，由[探究]得，四边形EFGH是平行四边形，∵F，G是BC，CD的中点，∴FGBD，FG=BD，∴△CFG∽△CBD，∴，∴S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，∵四边形ABC