2023- 2024学年杭州市高一数学下学期开学检测卷附答案解析

2023-2024学年杭州市高一数学下学期开学检测卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2024年2月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本答题卡一并交回.4．测试范围：人教A版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．若，则2．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．3．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．或4．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（）A．的定义域是 B．在其定义域内为减函数C．是奇函数 D．是偶函数5．“实数”是“函数在上具有单调性”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题，其中是真命题的有（

）A．命题“”的否定是“”B．设向量的夹角的余弦值为，且，则C．函数（且）的图象过定点D．若某扇形的周长为6cm，面积为，圆心角为，则10．若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值C．的最小值是10 D．11．函数在其定义域上的图像是如图所示折线段，其中点的坐标分别为，，，以下说法中正确的是（

）A．B．为偶函数C．的解集为D．若在上单调递减，则的取值范围为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义函数，则.13．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点.14．已知，，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知.(1)化简；(2)已知，求的值.16．已知，，且为偶函数.(1)求实数的值；(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.17．已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数在区间的最大值和最小值；(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．19．已知(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：①求k的值；②若关于x的不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；(2)当是偶函数时，设，那么当n为何值时，函数有零点．1．C【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A错误；对于B，表示有理数集，为无理数，则，故B错误；对于C，表示自然数集，表示整数集，则，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：C2．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．3．C【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.【详解】由不等式的解集为或，得是方程的两个根，且，因此，且，解得，不等式化为：，解得，所以不等式为.故选：C4．D【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，其定义域为全体实数，且它在内单调递增，又，所以是偶函数，故ABC错误，D正确.故选：D.5．A【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可.【详解】当时，，则在上单调递增，即其在上具有单调性，则正向可以推出；若函数在上具有单调性，则对称轴，解得，则反向无法推出；故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.故选：A.6．D【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵，故选：D.7．C【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8．D【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.【详解】由解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，所以.当时，由在区间上单调递增可知，得；当时，由解得；当时，无实数解.易知，当或时不满足题意.综上，ω的取值范围为.故选：D9．ACD【分析】利用全称命题的否定可判定A，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B，利用对数函数的性质可判定C，利用扇形的周长、面积公式可判定D.【详解】对于A，命题“”的否定是“”正确，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，设扇形半径，则或，又，所以成立，故D正确.故选：ACD10．AD【分析】利用可判断A；利用可判断B；展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；对于B，，∴，当且仅当时取到等号，∴B错误；对于C，，当且仅当即时取到等号，所以C不正确；对于D，∵，∴，∴D正确．故选：AD.11．ACD【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.【详解】由图像可得，所以，A正确；由图像可得关于对称，所以关于对称，B错误；由图像可得即的解集为，C正确；由图像可得在上单调递减，所以的取值范围为，D正确；故选：ACD12．49【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。【详解】因为，所以，因为所以故答案为：49.13．##0.625【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.【详解】设，则，，∴第一次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第二次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第三次取区间的中点.故答案为：.14．##【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可【详解】由题意可知，即，由题意可知，则.故答案为：【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可.15．(1)；(2)3.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；（2）根据同角关系式结合条件即得.【详解】（1）.（2）因为，所以，∴.16．(1)(2)或【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求；（2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案.【详解】（1）由，可知，又为偶函数，所以有，即，化简得，即，所以，得.经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数.故所求的值为2.（2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解，显然，所以上述方程可化为，即方程有且只有一个实数解，令且，则关于的方程有且只有一个不为1和的正根，，①当时，.（i）若，则方程化为，此时方程的解为，符合题意.（ii）若，则方程化为，此时方程的解为，不符题意，故舍去.②当时，需满足即解得.当时，即1为方程的解时，.当时.所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，.综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解.17．(1)(2)，(3)【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.（2）由，得，结合正弦函数单调性即可得解.（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.【详解】（1）.由，可得，即的单调递减区间为.（2）因为，所以，所以，所以，当时，即时，，当时，即时，.（3）因为，所以，同理由题意可得，.即，所以，所以，即可得，因为，所以，所以，所以，因为，可设，则，所以，因为，且，所以，所以.18．(1)每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元(2)3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元(3)答案见解析【分析】（1）列方程求解原价即可.（2）合理列出不等式组，确定方案个数，再求利润即可.（3）分析一次函数单调性求解即可.【详解】（1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，由题意，得：，解得：，经检验是原方程的解；∴；故每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，由题意，得：，解得：，为整数，，共3种方案；，随的增大而减小，∴当时，有最大值为元，即当购买电冰箱34台时，购进空调台，利润最大，为元．（3）由题意得：，当，即：，随的增大而增大，∴当购买电冰箱36台，购进空调台，利润最大，当，即：，随的增大而减小，∴当购买电冰箱34台，购进空调台，利润最大，当，即：，每种方案的总利润相同，均为元．19．(1)①；②；(2)当或时，函数有零点.【分析】（1）①根据函数的奇偶性列方程，由此求得；②化简已知不等式，利用换元法、分离常数法，结合对勾函数的知识求得的取值范围.（2）根据函数的奇偶性求得，转化，利用构造函数法，结合二次函数的知识进行分类讨论，从而求得的范围.【详解】（1）①当是奇函数时，，，解得.②由得，则不等式，可化为，令，因为为增函数，所以也为增函数，，，，由对勾函数的性质知，当的最小值为，，即实数m的取值范围为.（2）当是偶函数时，，，解得，，所以，即，令，则，则函数有零点，转化为关于t的方程在时有实数根，即是在时有实数根，令为开口向下的二次函数，当方程在有两相等实数根时，函数在上有一个零点，，即，解