2024年华师大二附中高一数学3月份检测试卷附答案解析

年华师大二附中高一数学3月份检测试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2024年3月一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．已知，，则．2．函数的单调递减区间为.3．若为第二象限角，，则．4．点从出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点，若点的坐标是,记,则=．5．已知，则．6．已知，为锐角，，，．7．已知扇形的周长为，当扇形的面积最大时，扇形圆心角弧度为．8．把化为的形式.9．若，则角的取值范围是．10．若对满足的任何都有，

则数组．11．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是．12．已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，；若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知为实数，则“”是“”的（

）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要14．如果是第一象限角，则（

）A．且 B．且C．且 D．且15．已知，以下命题中所有正确的命题有（

）个①已知的值，则可以确定的其余四个三角比的值②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值A．4 B．3 C．2 D．116．设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．已知，均为锐角，且，．(1)求的值；(2)求的值．18．定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值19．年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）年固定成本每节车厢成本每节车厢价格每年最多生产的节数传统型节智能型节已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.(1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式；(2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？20．已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为

(1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；(2)用表示梯形的面积；并证明：；(3)设，，试用代数计算比较与的大小.21．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制.(1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集；(2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围.1．【分析】解不等式，再求交集.【详解】等价于，解得，即.则.故答案为：2．【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】由，所以的定义域是，函数的开口向上，对称轴是直线；函数在上单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.故答案为：3．##【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于的方程，解得即可.【详解】，，解得或为第二象限角，.故答案为：4．【详解】点从出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点,且,所以点的坐标是,故,,=2,故填.5．##2.5【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.【详解】由题意得，，令，由，得，∴．故答案为：.6．【详解】试题分析：因为，为锐角，，，所以，，当时，，与矛盾，所以.所以答案应填：．考点：1、同角三角函数基本关系式；2、两角和差的正弦余弦公式．【思路点睛】先利用同角三角函数基本关系式中平方关系结合已知，为锐角，，，求出，，而有两个值，因此分和来讨论，当时，计算出，与矛盾，因此，再利用两角差的余弦公式求得．本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式的应用以及整体思想、分类讨论思想的运用．属于中档题．7．2【解析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论.【详解】因为扇形的周长为20，所以，即则扇形的面积为所以当半径时，扇形的面积最大为25，此时，故答案为：2【点睛】本题考查扇形相关性质，同时利用二次函数性质，难度较易.8．【分析】根据三角恒等变换公式化简计算即可.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，注意辅助角的范围，属基础题.9．【分析】首先构造函数，利用定义法证明函数恒单调递增，则将原不等式变形后可得，由单调性可得，则答案可求.【详解】构造函数，令，则，所以在R上单调递增，原式变形得，即所以，又，则.故答案为：.10．【详解】式①左边，与式①右边比较得故答案为11．【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当时，，当时，，当时，，则f(x)图像如图所示：当时，，当时，．令，则，∵关于x的方程恰有六个解，∴关于t的方程有两个解、，设＜，则，，令，则，∴且，要存在a满足条件，则，解得．故答案为：．12．【分析】采用赋值法可求得为奇函数，由奇函数性质可确定当时，；利用已知关系式可将不等式化为，令，采用分离变量法可得，结合对勾函数性质可求得结果.【详解】令，则，解得：；取，，则，即，为定义在上的奇函数；当时，，当时，；令，则，当时，，，；由得：；，即，，，，，在上单调递减，，，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够采用赋值法，结合抽象函数关系式得到函数的奇偶性，结合已知关系式可将恒成立的不等式转化为自变量满足的不等式，从而采用分离变量法进行求解.13．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及对数函数的性质判断.【详解】由或，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A14．C【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A.【详解】因为是第一象限角，则，，所以，，所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；又，，所以的终边在第一、第二象限或在轴正半轴，则，当的终边在轴正半轴时无意义，故排除A.故选：C15．B【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得.【详解】依题意，，，，，给定，可求出，，，，①正确；已知的两个三角比的值，如给出与的值，由于，相当于只给出其中一个值，显然值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，②错误；由的值，可求出的值，由及可求出，进而可求出，因此的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值，③正确；由的值，可求出的值，由结合的符号可求出，进而可求出，，，④正确，所以所有正确的命题有3个.故选：B16．D【解析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.【详解】因为,分别是函数和的零点则,分别是和的解所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标所以交点分别为因为所以,由于函数与函数和函数都关于对称所以点与点关于对称因为关于对称的点坐标为所以即,且所以,由于,所以不能取等号因为所以即故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.17．(1)(2)【分析】（1）法一，根据平方关系和是锐角即可得出，再利用基本关系式即可得出，利用两角和的正切公式即可得出，利用基本关系式可得，，利用两角和的余弦公式展开即可得出答案．法二：令，根据已知条件求出的范围，利用商数关系、平方关系求出可得答案；（2）由（1）可得.【详解】（1）法一：，，，，，解得，联立，为锐角，解得，；法二：令，因为，均为锐角，且，所以，由得，，解得，所以；（2）由（1）可得．18．【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得，再结合角的范围利用三角恒等变换分别求，注意三角函数值的符号.【详解】因为，可得，由可得，解得，且，则，可得，所以，所以，又因为，解得，由可知，则，所以.19．(1)答案见解析(2)①答案见解析；②答案见解析.【分析】（1）根据题意可得出、与年产量之间的函数关系式，并标出的取值范围；（2）①求出两种车厢平均利润的表达式，利用函数的单调性、基本不等式可求得两种车厢利润的最大值；②将两种车厢利润最大值作差，对实数的取值进行分类讨论，比较大小后可得出结论.【详解】（1）解：由题意可得，其中，，，其中，.（2）解：传统型车厢平均利润为，其中，，智能型车厢平均利润为，其中，，令，其中，，，其中，，①函数在上单调递增，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，传统型车厢平均利润的最大值为百万元，智能型车厢平均利润的最大值为百万元；②，当时，，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元；当时，，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元；当时，，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元.20．(1)，(2)，证明见解析，(3)【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解，（2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证，（3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解.【详解】（1）由题意可得，所以，如图：在单位圆中，设，,则，由于，所以，，因此.

（2），方法一：由.所以，由于，则，所以故，方法二：由于，令则，由于，所以，故，因此在单调递增，故，所以因此.（3）方法一：由于所以，由于，所以，故，，因此.方法二：：，记，，故在单调递减，故，所以，故在单调递减，由于，所以.【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键.21．(1)(2)(3)【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可.（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案.【详解】（1）设，则，函数为奇函数，故，，则，，函数为奇函数，满足，，设，，解得或（舍）即，解得，故（2）设，则，函数为偶函数，故，故，，，即，设，，