2022年天津杨柳青第四中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年天津杨柳青第四中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为（

）A.0

B.1或3

C.0或3

D.1或0参考答案：D略2.设a>b>c，n∈N，且+≥恒成立，则n的最大值为（

）（A）2

（B）3

（C）4

（D）5参考答案：C3.如图，长方形的长度为4cm，宽度为2cm，向这个长方形投一块小石头落在阴影部分的概率（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C4.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6参考答案：D【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，…，xn，若其平均数是4.8，方差是3.6，则有1=（x1+x2+…+xn）=4.8，方差S12=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]=3.6；若将这组数据中的每一个数据都加上60，则数据为60+x1，60+x2，…，60+xn，则平均数2=[（60+x1）+）60+x2）+…+（60+xn）]=60+4.8=64.8，方差S22=[（60+x1﹣64.8）2+…+（60+xn﹣64.8）2]=3.6；故选：D．【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据方差、平均数的计算公式．5.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．6.在三角形ABC中，如果，那么等于A．

B．

C．

D．（改编题）参考答案：B7.若复数

（为虚数单位)，是z的共轭复数，则在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°故选D【点评】本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法9.4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种 B．504种 C．288种 D．252种参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法共有?不同的站法；再把男生甲与女生乙放入，符合条件的是??种不同的站法．【解答】解：4个男生4个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，有?=6×24=144种不同的站法；现在有7个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：??=×7×144=504．故选：B．10.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是

（

）A. B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前n项和，则＝___________参考答案：12.幂函数的图象过点，则其解析式为

参考答案：13.中，若，，，则_______

参考答案：14.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解.【详解】由是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，；当时，，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，且，结合图象，可得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题，其中解答中根据函数的奇偶性，把函数的零点转化为直线与曲线有两个交点，利用导数得出函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为________________．参考答案：略16.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则|

|的值是__________参考答案：略17.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：价格x55.56.57销售量y121064通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中，，=﹣．=146.5．参考答案：【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把y=13代入回归方程计算x．【解答】解：（Ⅰ）==6，==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4，=8+4×6=32．∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的价格定为4.75元．【点评】本题考查了线性回归方程的解法和数值估计，属于基础题．19.（本小题满分14分）

某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元，在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动，第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，如果则电脑显示“中奖”，抽奖者获得9000元奖金；否则若电脑显示“谢谢”，则不中奖。

（I）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

（II）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；

（III）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款，问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标。参考答案：共9个，…………2分设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，且事件所包含的基本事件有共2个，∴．

……5分（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为．

………6分，，．

…………9分∴的分布列为9009900………10分∴．

…………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为．∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为元=万∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标………………14分略20.已知函数f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）（1）若函数f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；（2）若b=﹣4a，解关于x的不等式f（x）＞﹣8．参考答案：解：（1）函数f（x）有最小值3，∴a＞0，=3，∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．即f（1）+2a的最小值为4﹣1．（2）当b=﹣4a时，不等式f（x）＞﹣8，可化为ax2﹣4x﹣4a+8＞0，①当a=0时，不等式即为﹣4x+8＞0，x＜2，②当a＞0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，当a＞1时，x＞2或x＜﹣2，当a=1时，x≠2，当0＜a＜1时，x＞﹣2或x＜2，③当a＜0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，∴当a＜0时不等式的解集为（﹣2，2），当a=0时，不等式的解集为（﹣∞，2），当1＞a＞0时，原不等式解集为（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）当a=1时，原不等式解集为（x|x≠2，x∈R}，当a＞1时，原不等式解集为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）略21.已知圆O：，直线.（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值.（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值.参考答案：（1）∵∠AOB=，∴点O到l的距离

………2分∴=·

………4分（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设.其方程为：即

又C、D在圆O：上∴

即

………7分由

得

∴直线CD过定点

………9分（3）设圆心Ogc直线EF、GH的距离分别为.则

………11分∴

∴当且仅当即时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为.