江苏省南京市小庄学院附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

江苏省南京市小庄学院附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式的解集是(

)A．

B．

C．（-2，1）

D．∪参考答案：C2.等比数列的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（

）A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1参考答案：C略3.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取3对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为()父亲身高x(cm)174176178儿子身高y(cm)176175177

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．参考答案：B4.如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为(

)A． B． C． D．参考答案：B5.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（

）

（A）k＞4?

（B）k＞5?

（C）k＞6?

（D）k＞7?

参考答案：A略6.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（）A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的参考答案：C【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中有10只螺丝钉，从盒中随机地抽取4只的总数为：C104，其中有3只是坏的，则恰有1只坏的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根据古典概型的计算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104=210，∵其中有3只是坏的，∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只坏的概率分别为：=，恰有2只好的概率为=，4只全是好的概率为，至多2只坏的概率为=；故选C7.在复平面内，与复数（为虚数单位）对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限参考答案：D

8.命题p：?x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是(

)A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：由△≤0，即可判断出p的真假；对于命题q：若一条直线不在平面内，则这条直线与这个平面平行或相交，即可判断出q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：对于命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，∴?x∈R，x2+ax+a2≥0，因此p是真命题；对于命题q：若一条直线不在平面内，则这条直线与这个平面平行或相交，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q，而p∧q，（￢p）∨q，（￢p）∨（￢q）都是假命题．故选：A．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C10.在2010年广州亚运会上，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(

)A．1205秒

B．1200秒

C．1195秒

D．1190秒参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C1：（x﹣a）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+5=0外切，则a的值为．参考答案：8或﹣2【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解a的值．【解答】解：由圆的方程得C1（a，0），C2（3，0），半径分别为1和2，两圆相外切，∴|a﹣3|=3+2，∴a=8或﹣2，故答案为：8或﹣2．【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和．12.用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是

参考答案：

2(2k+1)(其他形式同样给分)略13.已知集合，，若，则实数的值为____________.参考答案：214.半径为r的圆的面积，周长，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：____________________。上式用语言可以叙述为_________________________。参考答案：；球的体积函数的导数等于球的表面积函数略15.空间中点M（—1，—2，3）关于x轴的对称点坐标是

参考答案：（—1，2，—3）16.已知，若存在，当时，有，则的最小值为__________．参考答案：【分析】先作出函数的图像，由题意令，则与有两不同交点，求出的范围，再由，求出，将化为，即可求出结果.【详解】作出函数图像如下：因为存在，当时，有，令，则与有两不同交点，由图像可得，由得，解得；所以，因为，所以当时，取最小值，即的最小值为【点睛】本题主要考查函数零点问题，以及二次函数最值问题，通过数形结合与转化的思想，将问题转化为求二次函数最值的问题，即可求解，属于常考题型.17.已知直线和两个不同的平面、，且，，则、的位置关系是_____.参考答案：平行三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4．由得2y2﹣（8+p）y+8=0①②∴又∵，∴y2=4y1③由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．

（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）由得：x2﹣4kx﹣16k=0④∴．∴BC的中垂线方程为∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．∴b∈（2，+∞）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类问题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．19.某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.（1）求这2人来自两个不同年级的概率；（2）设X表示选到三年级学生的人数，求X的分布列和数学期望.参考答案：(1).(2)见解析.【分析】（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；

（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求时对应的概率P进而得到分布列，利用计算可得数学期望。【详解】（1）设事件表示“这2人来自同一年级”,这2人来自两个不同年级的概率为.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,,,所以的分布列为012

【点睛】本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。

20.已知圆C：，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点，定点P的坐标为（）。（1）若点D（），求的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，是定值？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由。参考答案：解析:（1），∴圆D的半径r＝5－2＝3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）∴……3分（2）设D点坐标为，圆D半径为r，则，A、B的坐标分别为，∴，，∴，∴，∴∴……8分（3）假设存在点Q（b,0）,由，，得，∴欲使的大小与r无关，则当且仅当，即，此时有，即得为定值，故存在或，使为定值。……14分21.设命题p：?x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；命题p：不等式ax2﹣ax+2＞0对任意x∈R恒成立．若￢p为真，且p或q为真，求a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用若?p为真，且p或q为真，即可求a的取值范围．【解答】解：若：?x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0成立，则△≥0，即△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，得a≤﹣2或a≥1，即p：a≤﹣2或a≥1，若x∈R，恒成立，当a=0时，2＞0恒成立，满足条件．当a≠0，要使不等式恒成立，则，解得0＜a＜4，综上0≤a＜4．即q：0≤a＜4．若?p为真，则p为假，又p或q为真，∴q为真，，∴a的取值范围为[0，1）．22.目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数469634（1）若从年龄在[15，25）、[25，35）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．态度年龄赞成不赞成总计中青年

中老年

总计

参考公式和数据：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B关联性无关联90%95%99%参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和期望；（2）根据所给做出的列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（1）X的取值为