湖南省怀化市楠木坪乡中学高二数学理期末试卷含解析

湖南省怀化市楠木坪乡中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“?，使”的否定是（

）

A.?，使＞0 B.不存在，使＞0C.?，使

D.?，使＞0参考答案：D2.曲线过点的切线条数为A.条

B.条

C.条

D.条参考答案：B3.在△ABC中，已知，则角A为（

）A．

B．

C． D．或参考答案：C略4.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是A．甲做对了

B．甲说对了

C．乙作对了

D．乙说对了参考答案：B5.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点在(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B7.在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（

）．A．12

B.

18

C.

24

D.

32参考答案：B略8.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（）（A）48（B）64（C）96（D）192

参考答案：B9.“”是“方程表示圆”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①∥

②与是异面直线③与成600角

④与是异面直线以上命题中，正确命题的序号是（

）A．①②③

B．②④

C．③④

D．②③④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体中，AB=12，=5，与面的距离为_________________；参考答案：12.计算=

参考答案：-1略13.抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.参考答案：

解析：

14.某学院的三个专业共有名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．参考答案：

15.已知过点（1，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y+2=0相切，则圆C的半径为

，直线l的方程为．参考答案：，x﹣y=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆C的方程化为标准方程，写出圆心与半径，验证点P（1，1）在圆C上，求出直线CP的斜率，从而求出直线l的斜率和方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y+2=0，化为标准方程是：x2+（y﹣2）2=2，所以圆心坐标为C（0，2），半径r=；又点P（1，1）满足方程x2+y2﹣4y+2=0，所以点P在圆C上，又直线CP的斜率为kCP==﹣1，所以直线l的斜率为k=1，直线l方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．故答案为：，x﹣y=0．16.在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是

．参考答案：略17.若直线是曲线的切线，则实数的值为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：

污水量[230,250)[250,270)[270,290)[290,310)[310,330)[330,350)

频率

0.3

0.44

0.15

0.1

0.005

0.005

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）采取方案二最好，理由详见解析.【分析】（Ⅰ）先求污水排放量的概率0.25，然后再求未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）分别求解三种方案的经济损失的平均费用，根据费用多少作出决策.【详解】解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为Y，则设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件A，则．在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为．（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，．用，，分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则万元．的分布列为：

2

62

P

．的分布列为：

0

10

60

P

．三种方案中方案二的平均损失最小，采取方案二最好．【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，数学期望是生活生产中进行决策的主要指标，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.19.某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．参考答案：【考点】程序框图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，可得A和B至少有一人上台抽奖的概率；（2）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件，到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）6位嘉宾，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分，由2x﹣y﹣1=0，令y=0，可得x=，令y=1，可得x=1，∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为S阴=（1+）×1=．∴该代表中奖的概率为=．20.如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.(1)求证：；(2)在任意中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明参考答案：(1)证：；（4分）(2)解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角.

上述的二面角为,在中，，由于，∴有（12分）21.如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(Ⅰ)

求异面直线AP与BC所成角的大小；(Ⅱ)

在上是否存在一点，使得二面角E-BC-A的大小为．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

参考答案：解法一：（Ⅰ）过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角．可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．则AF=CF=，PF=，在中，tan∠PAF==，即∠PAF=．∴异面直线PA与BC所成的角为．（Ⅱ）假设点E存在，过E作EFCA于E，过F作FOBC于O．∵PC平面ABC，∴平面PCA平面ABC，∴EF平面ABC．由三垂线定理，得EOBC．∴为二面角E-BC-A的平面角．设，则，．由∽，得，即．．∴当时，二面角E-BC-A的大小为．解法二：（Ⅰ）AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则，，，．，．

∴==．

∴异面直线AP与BC所成的角为．（Ⅱ）设，则，∴．设平面PBC的法向量为=，则，即，令，得．取平面ABC的法向量为．

由，得．∴当时，二面角E-BC-A的大小为．略22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且，CD=1（1）求证：平面PCD；（2）求证：平面平面PBD；（3）求三棱锥P－ABC的体积。参考答案：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以，，又ME，平面MNE，，所以，平面平面PCD，又因为平面MNE，所以，MN//平面PCD。