基于MATLAB的IIR滤波器的设计及应用样本

目录前言---------------------------------------------------3数字滤波器--------------------------------------------41.1数字滤波器技术发展状况----------------------------41.2MATLAB软件简介-------------------------------------51.3数字滤波器及其MATLAB实现----------------------------71.4IIR数字滤波器基本概念-----------------------------8IIR数字滤波器设计办法比较--------------------------112.1概述----------------------------------------------112.2四种设计办法比较-----------------------------------122.3比较成果分析--------------------------------------14IIR数字滤波器设计过程及办法---------------------16IIR数字滤波器实现办法----------------------------174.1脉冲响应不变法-------------------------------------174.2双线性变换法---------------------------------------194.2.1巴特沃斯低通滤波器设计---------------------224.2.2切比雪夫低通滤波器设计---------------------245.各种设计办法MATLAB实现---------------------------295.1基于模仿低通滤波器原型MATLAB实现----------------295.2基于适当类型模仿滤波器MATLAB实现----------------305.3基于直接原型变换法MATLAB实现--------------------31IIR数字滤波器应用-----------------------------------33——————————————————————————————————结论--------------------------------------------------36参照文献-------------------------------------------------37摘要依照IIR数字滤波器设计原理，提出了IIR数字滤波器迅速设计办法，并在matlab环境下做出了实现迅速设计IIR数字滤波器设计系统.在该系统中，只需要将数字滤波器技术性能指标依照指定或是需要设计办法（如双线性变换法或脉冲响应不变法等），转换为模仿滤波器技术性能指标，依照指定模仿滤波器设计出相应数字滤波器，该系统中指定模仿滤波器为巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器，该系统为迅速、高效地设计IIR数字滤波器提供了一种可靠而有效工作平台.本文一方面对MATLAB软件进行了简介，并对数字滤波器在其环境下如何实现进行了简介；另一方面描述了数字滤波器基本概念，其涉及系统描述、系统传递函数、基本构造运算单元；本文重点描述了IIR数字滤波器设计过程及几种设计办法，并对IIR滤波器仿真做了某些简介。核心词：IIR数字滤波器；模仿滤波器；脉冲响应；数字频率；设计系统；双线性变换；幅频特性AbstractThefastdesignmethodofIIR(InfiniteImpulseresponse)filterisprovidedbasedontheprincipleoffilterdesign，andthedesignsystemoftheIIRfilterworkedoutundertheMATLABenvironment.Itisnecessarythattheparameterofdigitalfilteristransformedtotheparameterofanalogfilterbasedontheindicatedmethod(forexample，themethodofdoublelineartransformorthemethodofnon-changingimpulseresponse，etc.),andthedigitalfilterisdesignedbasedontheindicatedanalogfilter.TheButterworthfilterandtheChebyshevfilter(bothareanalogfilter)areindicated.Areliableandefficientworkstationisprovidedinordertodesignfilterquicklyandefficiently.FirstthistextcarriesontheintroductiontothesoftwareofMATLAB，anddescribesthedesignofdigitalfilterbasedonMATLAB;Describesthebasicconceptofthedigitalfilterthenextinorder，itincludesthedescriptionofsystem,deliveringfunctionofthesystem,thebasicstructureoperationunit;ThistextpointdescribesdesignprocessandseveraldesignmethodsoftheIIRdigitalfilterandthesimulationoftheIIRfiltertodosomeintroduction.Keywords：IIRdigitalfilter；analogfilter；impulseresponse；digitalfrequency；designsystem；doublelineartransformation；characterofmagnitudeandfrequency基于MATLABIIR滤波器设计及应用前言数字滤波器(DigitalFilter)是指输入、输出都是离散时间信号，通过一定运算关系变化输入信号所含频率成分相对比例或者滤除某些频率成分器件。数字滤波器在数字信号解决中起着非常重要作用，在信号过滤、检测与参数预计等方面，是使用最为广泛一种线性系统。实现数字滤波器办法有两种，一是采用计算机软件进行，就是把所要完毕工作通过程序让计算机来实现；二是设计专用数字解决硬件。这个地方重要用到就是第一种办法。即是用Matlab提供信号解决工具箱来实现数字滤波器。Matlab信号解决工具箱提供了丰富设计办法，可以使得繁琐程序设计简化成函数调用，只要以对的指标参数调用函数，就可以对的快捷地得到设计成果。数字滤波器1.1数字滤波器技术发展状况数字滤波器是数字信号解决理论一某些。数字信号解决重要是研究用数字或符号序列来表达信号波形，并用数字方式去解决这些序列，把它们变化成在某种意义上更为有但愿形式，以便预计信号特性参量，或削弱信号中多余分量和增强信号中有用分量。详细来说，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、均衡、增强、压缩、固定、辨认、产生等加工解决，都可纳入数字信号解决领域。数字信号解决学科一项重大进展是关于数字滤波器设计办法研究。关于数字滤波器，早在上世纪40年代末期就有人讨论它也许性问题，在50年代也有人讨论过数字滤波器，但直到60年代中期，才开始形成关于数字滤波器一整套完整正规理论。在这一时期，提出了各种各样数字滤波器构造，有以运算误差最小为特点，有则以运算速度高见长，而有则两者兼而有之。浮现了数字滤波器各种通近访法和实现办法，对递归和非递归两类滤波器作了全面比较，统一了数字滤波器基本概念和理论。数字滤波器领域一种重要发展是对有限冲激响应(FIR)和无限冲激响应(IIR)关系结识转化。在初期，普通以为IIR滤波器比FIR滤波器具备更高运算效率，因而明显倾向前者，但当人们提出用迅速傅立叶变换(FFT)实现卷积运算概念之后，发现高阶FIR滤波器也可以用很高运算效率来实现，这就促使人们对高性能FIR滤波器设计办法和滤波器频域设计办法进行了大量研究，从而浮现了此后数字滤波器设计中频域办法和适于办法并驾齐驱局面。然而，这些均属数字滤波器初期研究。初期数字滤波器尽管在语音、声纳、地震和医学信号解决中曾经发挥过作用，但由于当时计算机主机价格很昂贵，严重地阻碍了专用数字滤波器发展。70年代科学技术蓬勃发展，数字信号解决开始与大规模和超大规模集成电路技术、微解决技术、高速数字算术单元、双极性高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引进了计算机辅助设计办法，它使数字滤波器设计不但仅是对相应模仿滤波器逼近。普通说来，通过对模仿滤波器函数变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲激响应，而采用计算机辅助设计则有也许实现频域或时域最佳逼近，或频域时域联合最佳逼近。这样，数字滤波器分析与设计其内容也更既丰富起来，各种新数字信号解决系统，也都能用专用数字硬件实时加以实现。数字信号解决理论与技术发展，重要是由于电子计算机与大规模集成电路大量生产和广泛应用，代替了本来模仿信号解决中线性滤波与频谱分析所应用模仿计算机和分立元件L、C、R线性网络，高度发挥了计算技术与数字技术相结合特色和优越性。特别是微解决器和微型计算机技术日新月异发展，经更有助于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能等方向发展，促使它们成为富有智能型电子系统。当前，涉及数字滤波在内数字信号解决技术正以惊人速度向纵深和高档方向发展；据记录这种趋势还要持续一种较长时期，将来发展也许会比过去进程更为激动人心，必将引起某些领域奔腾性发展。1.2MATLAB软件简介MATLAB是英文MatrixLaboratory(矩阵实验室)缩写。它是由美国Mathworks公司推出用于数值计算和图形解决数学计算环境。在MATLAB环境下，顾客可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文献管理等各项操作。它先进数值计算能力和卓越数据可视化能力使其不久在同类软件中脱颖而出。MATLAB系统最初是由CleveMoler用FORTRAN语言设计，当前MATLAB程序是Mathworks公司用C语言开发。它第一版(DOS版本1.0)发行于1984年；通过不断改进，MATLAB已经成为国际上最流行科学与工程计算软件工具，最流行计算机高档编程语言了，有人称它为“第四代”计算机语言，它在国内外高校和研究部门正扮演着重要角色。MATLAB语言功能也越来越强大，不断适应新规定提出新解决办法。可以预见，在科学运算、自动控制与科学绘图领域MATLAB语言将长期保持其独一无二地位。MATLAB语言之因此能如此迅速地普及，显示出如此旺盛生命力，是由于它有着不同其她语言特点。1．语言简洁紧凑，使用以便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，运用其丰富库函数避开了繁杂子程序编程任务，压缩了一切不必要编纂工作。由于库函数都是由本领域专家编写，因此顾客不必紧张函数可靠性。2．运算符号丰富。由于MATLAB是用C语言编写，因此MATLAB提供了C语言几乎同样多运算符，灵活使用MATLAB运算符将使程序变得极为简短。3．高效以便矩阵和数组运算。MATLAB语言像Basic、Fortran、C语言同样规定了矩阵算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，并且这些运算符大某些可以毫无变化地照搬到数组间运算，此外，它不需要定义数组唯数，并给出矩阵函数、特殊矩阵函数、特殊矩阵专门库函数，使之在求解诸如信号解决、建模、系统辨认、控制、优化等领域问题时，显得大为简捷、高效、以便，这是其他高档语言所不能比拟。在此基本上，高版本MATLAB已逐渐发展到科学及工程计算其他领域。因而，不久将来，它一定能名副其实地成为“万能演算纸式”科学算法语言。4．MATLAB即具备构造化控制语句，又有面向对象编成特性。5.语法限制不严格，程序设计自由度大。为了充分运用Fortran、C等语言资源，涉及顾客已编好Fortran、C语言程序，通过建立M文献形式，混合编程，以便地调用关于Fortran、C语言子程序。6.程序可移植性较好，基本上不做修改就可以在各种型号计算机和操作系统上运营。7.MATLAB图形功能强大。在C和FORTRAN语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据可视化非常简朴。此外，MATLAB还具备较强编辑图形界面能力。8.MATLAB具备一项重要特色是拥有功能强大工具箱。MATLAB包括两个某些；核心某些和各种可选工具箱。功能性工具箱重要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字解决功能以及与硬件实行交互功能。功能性工具箱能用于各种学科。而学科性工具箱是专业性比较强；如Controltoolbox、Signalprocessingtoolbox、Communicationtoolbox等，这些工具箱都是由该领域内学术水平很高专家编写，因此顾客无需编写自己学科范畴内基本程序，而直接进行高、精、尖研究。9.源程序开放性。除内部函数以外，所有MATLAB核心文献和工具箱文献都是可读可变化源文献，顾客可通过对源文献修改以及加入自己文献构成新工具箱。MATLAB软件自1984年推向市场以来，历经十几年发展和竞争，现已成为(IEEE评述)国际公认最先进科技应用软件。它功能强大、界面和谐、语言自然、开放性强特点是它获得了相应用学科(特别是边沿学科和交叉学科)季强是赚钱，并且不久成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学乃至科技文字解决不可缺少基本软件。在欧美等高校，MATLAB已成为理工科高档课程基本工具，成为攻读学位大学生、研究生生、博士生必要掌握技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB已经成为研究和解决各种详细工程问题一种原则软件。近年来该软件系统开始在国内国内流行。受到理工科大中专院校释省级科研人员注重，这也是本文选取用它来设计实现数学滤波器因素所在。1.3数字滤波器及其MATLAB实现数字滤波器是数字信号解决中最重要构成某些之一。在许多科学技术领域中，广泛使用滤波器对信号进行了解决。滤波器是一种选频装置，它对某一种或几种频率范畴(频带)内电信号给以很小衰减：使这某些信号可以顺利通过，对其他频带内电信号则给以很大衰减，从而尽量地制止这某些信号通过。通过滤波器时不经受衰减或经受很小衰减频带称为通带，经受衰减超过某一规定值频带称为阻带，位于通带和阻带之间频带称为过渡带。于是，依照通带不同，滤波器可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。此外，依照它所解决信号型类，滤波器又可分为模仿滤波器和数字滤波器，模仿滤波器用来解决持续信号，而数字滤波器用来解决离散信号，后者是在前者基本上发展起来。数字滤波器与模仿滤波器比较，其重要长处精度和稳定性高，系统函数容易变化，因而灵活性高，不存在阻抗匹配问题，便于大规模集成，可以实现多维滤波。因而，当前在诸如通信、雷达、遥感、声纳、卫星通信、宇宙航行、测量、语言和生物医学等科学领域信号解决中，已经运用了数字滤波技术，并且随着大规模集成电路技术和数字计算技术发展，它应用会越来越广泛。数字滤波器事实上就是一种数字信号解决系统算法或设备。数字滤波器事实上是一种运算过程，数字滤波器功能是将一组输入数字序列通过一定运算后转变为另一组输出数字序列，因而它自身就是一台数字式解决设备。数字滤波器基本原理是：先运用取样开关和模仿——数字转换器将一种联系性信号转换成数字信号。在数字计算器中完毕所规定传播函数运算之后，再通过数字——模仿转换器和保持电路，使信号形成最后规定波形。数字滤波器普通可用两种办法实现：一种是依照描述数字滤波器数字模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门设备，构成专用信号解决机，这就是硬件实现方式；另一种办法就是直接运用通用计算机，将所需要运算编成程序来让计算机来执行，这就是软件实现方式。在硬件实现方式中，是一数字组件如延迟器、加法器和乘法器作为基本部件构成专用数字信号解决系统。不像模仿滤波器需要用电感和电容元件，因而数字信号解决机很容易用数字集成电路来制成，并且它转移函数可变，各回路之间不存在阻抗匹配问题，因而可以很容易做成最佳冲激响应和恒定延迟线性相移网络。在软件实现方式中，它是借助于通用计算机机器语言、汇编语言或高档语言程序来做数字滤波器运算过程。数字滤波器设计与实现，普通按下属环节进行：一方面，依照不同用途提出数字滤波器技术指标，在设计一种滤波器前，必要由某些指标，这些指标要依照应用规定拟定。然后，设计一种稳定、因果数字模型H(Z)来逼近所规定技术指标；最后，设计专用数字硬件来实现这个数字模型，或者用通用电子计算机来运营程序软件予以实现。1.4IIR数字滤波器基本概念这里所讲数字滤波器都是一种离散LTI系统，离散LTI系统模型如图1-1：图1-1注：X(n)、y(n)分别是系统输入输出序列，H(E)是系统自身特性(转移算子)。系统对于输入离散序列x(n)总有相应输出y(n)。x(n)是离散信号,每个x(i)也许有不同幅值,有了先后不同幅值变化,就可以引出离散信号频率这一性质。数字滤波器就是对不同频率数字信号从频域进行信号分离时序电路或器件或一段程序。数字滤波器按功能分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。（1-1）（1-2）由序列傅氏变换公式可知，离散信号傅氏变化是函数，周期为2。只需研究-，不需要在整个轴上分析其信号。因此，数字滤波器通带分布如图1-2：图1-2IIR数字滤波器设计办法比较2.1概述IIR数字滤波器最通用办法是借助于模仿滤波器设计办法。模仿滤波器设计已有了相称成熟技术和办法，有完整设计公式，尚有比较完整图表可以查询，因而设计数字滤波器可以充分运用这些丰富资源来进行。对于IIR数字滤波器设计详细环节如下：(1)按照一定规则将给出数字滤波器技术指标转换为模仿低通滤波器技术指标。(2)依照转换后技术指标设计模仿低通滤波器G(s)(G(s)是低通滤波器传递函数)。(3)再按照一定规则将G(s)转换成H(z)(H(z)是数字滤波器传递函数)。若设计数字滤波器是低通，上述过程可以结束，若设计是高通、带通或者是带阻滤波器，那么还需要下面环节：将高通、带通或带阻数字滤波器技术指标转换为低通模仿滤波器技术指标，然后设计出低通G(s)，再将G(s)转换为H(z)。Matlab信号工具箱提供了几种直接设计IIR数字滤波器函数，直接调用这些函数就可以很以便地对滤波器进行设计。这里选用巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、椭圆法四种办法进行比较。给出用上述办法设计数字滤波器函数如下：其中：Wp表达通带截止频率；Ws表达阻带截止频率；Rp表达通带纹波系数；Rs表达阻带纹波系数；N表达滤波器最小阶数；Wn表达截止频率。b，a分别表达阶次为N+1数字滤波器系统传递函数分子和分母多项式系数向量；Fs为采样频率；n为在区间[OFs]频率范畴内选用频率点数；f记录频率点数。n取2幂次方，可以提高运算速度，由于freqz函数采用基2FFT算法。ftype=high时，为高通滤波器；ftype=bandpass时，为带通滤波器；ftype=stop时，为带阻滤波器。2.2四种设计办法比较(1)在低通滤波器中比较如果：Wp=20Hz，Ws=50Hz，Fs=200，Rp=1dB，Rs=30dB，分别用Butterworth低通滤波器、ChebyshevI型低通滤波器、ChebyshevⅡ型低通滤波器、椭圆低通滤波器四种办法进行设计，如图1所示。(2)在高通滤波器中比较如果：Wp=50Hz，Ws=20Hz，Fs=200，Rp=1dB，Rs=30dB，分别用Butterworth高通滤波器、ChebyshevI型高通滤波器、ChebyshevⅡ型高通滤波器、椭圆高通滤波器四种办法进行设计，如图2所示。(3)在带通滤波器中比较如果：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3dB，Rs=30dB，Fs=1000，分别用Butterworth带通滤波器、ChebyshevI型带通滤波器、ChebyshevⅡ型带通滤波器、椭圆带通滤波器四种办法进行设计，如图3所示。(4)在带阻滤波器中比较如果：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3dB，Rs=30dB，Fs=1000，分别用Butterworth带阻滤波器、ChebyshevI型带阻滤波器、ChebyshevⅡ型带阻滤波器、椭圆带阻滤波器四种办法进行设计，如图4所示。2.3比较成果分析通过对各种类型滤波器通过不同办法进行设计，可以使某些结论得到验证。运用Butterworth滤波器、ChebysheveI型滤波器、Che-bysheveⅡ型滤波器、椭圆滤波器都可以进行低通、高通、带通、带阻滤波器设计，但是各有特点。Butterworth滤波器通带内幅频响应曲线能得到最大限度平滑，但牺牲了截止频率坡度。ChebysheveI型滤波器通带内等波纹，阻带内单调；ChebysheveⅡ型滤波器通带内单调，然而阻带内等波纹；椭圆滤波器阻带和通带内都是等波纹，但下降坡度更大，并且可以以更低阶数实现和其她两类滤波器同样性能指标。IIR数字滤波器设计过程及办法1、按设计任务，拟定滤波器性能规定，制定技术指标2、用一种因果稳定离散系统系统函数H(z)逼近此性能指标3、运用有限精度算法实现此系统函数：如运算构造、字长选取等4、实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法IIR数字滤波器系统函数是z有理函数，可表达为：（3-1）系统函数设计就是要拟定系数或者零、极点，以使滤波器满足给定性能规定。这种设计普通有3种办法。1、零极点位置累试法。当滤波器性能未达到规定期，通过多次变化零极点位置来达到规定。此办法只合用于简朴滤波器。2、用模仿滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器设计中较多采用这种办法。本节将详细简介这种办法。用计算机辅助设计，优化技术设计。4.IIR数字滤波器实现办法4.1脉冲响应不变法要设计一种数字滤波器去仿真一种模仿滤波器有脉冲响应不变法和双线性变换法。其设计过程都是由给定模仿滤波器系统函数去变换出相应数字滤波器系统函数。脉冲响应不变法设计过程如下：1、已知一模仿滤波器系统函数：(设M<N)（4-1）2、为以便求出其时域单位脉冲响应，将上式化为某些分式之和形式：（4-2）3、由拉氏反变换得模仿滤波器在时域单位脉冲响应：4、由时域数字仿真条件(即脉冲响应不变准则)可得到相应数字滤波器脉冲响应：(4-3)5、再对两边进行Z变换，即可得到数字滤波器系统函数：(4-4)用脉冲响应不变法来设计数字滤波器，只需将给出模仿滤波器系统函数化为某些分式之和形式，找出极点和系数，带入数字滤波器传函当中即可。（4-5）由上述和表达式可看出：是模仿滤波器一种极点，则相应就是数字滤波器里一种极点。推而广之，则可得到脉冲响应不变法下s平面和z平面映射关系：令，可得z平面模、幅角和s平面实部、虚部之间关系：，图4-1由周期是2可推得周期是2/T。注意,由周期性可见,必要满足模仿滤波器最高频率或频率响应必要在[-/T，/T]上严格限带。4.2双线性变换法双线性变换法思想是：将模仿滤波器传递函数形式化为完全以积分器（1/s）构成网络函数形式。然后由数字网络来代替模仿积分器，从而整个滤波器网络都转化成了数字。双线性变换法设计过程如下：1.由积分器构成模仿滤波器系统函数形式：（设M=N以以便阐明）（4-6）2.由传递函数得信流图：图4-2积分器数字形式推导已知：，若积分器输入输出为、，则有：（4-7）设有0<<,可得：（4-8）当趋于时，可得：（4-9）令=nT-T，=nT，即，则T0时，有下式成立：（4-10）令y(n)=(nT),x(n)=(nT),得到数字式积分器差分方程：（4-11）对数字式积分器差分方程两边进行Z变换，可得数字式积分器传递函数：（4-12）4.当T足够小时候，信流图当中模仿积分器传递函数就可以由数字积分器传递函数代替。从而得到性能与模仿滤波器相近数字滤波器。（4-13）5.从而可得到模仿滤波器复频率与数字滤波器复频率之间关系：或（4-14）因此，用双线性变换法来设计数字滤波器，只需将给出模仿滤波器系统函数当中s替代为一种关于z成双线性关系网络即可。（4-15）6.令s=+j,z=r可得z平面与s平面映射关系：（4-16）即：图4-3讨论s平面虚轴与z平面单位圆之间映射关系，令=0可得到双线性变换法下模仿滤波器角频率与数字滤波器角频率之间关系：或（4-17）由关系式可知与之间非线性关系如图：图4-4从而使所设计数字滤波器截止频率发生变化。设计当中应式子：把已经得到数字滤波器截止频率预先变换为。4.2.1巴特沃斯低通滤波器设计巴特沃斯滤波器，又被称为“最平”幅频响应滤波器。这是由于，该滤波器在通带内具备最大平坦幅度特性，并且随着频率升高呈现出单调减小特点。N阶低通巴特沃斯滤波器特性函数为（4-18）其中，为通带宽度，即截止频率。当阶次N增大时，滤波器特性曲线变得更加陡峭，其特性就越接近于抱负矩形幅频特性。巴特沃斯滤波器属于全极点设计，它极点由下式决定。（4-19）式中，。因此，在s平面上有2N个极点等间隔地分布在半径为圆周上，并且极点都是成复共轭对浮现，极点位置与虚轴对称，但不在虚轴上。下面结合一种详细实例，来阐明巴特沃斯滤波器设计过程。例：设计一种性能指标为：通带截止频率=10000rad/s，通带最大衰减=3dB，阻带截止频率=40000rad/s,阻带最小衰减=35dB巴特沃斯滤波器。解：（1）求有关参数（2）拟定参数N（3）取N=3，依照得到因此，极点形式可表达为即满足系统性能指标函数程序：Wc=10000;Ws=40000;Ap=3;As=35;Np=spt(10^(0.1*Ap)-1);Ns=sprt(10^(0.1*As)-1);n=ceil(log10(Ns/Np)/log10(Ws/Wc));[z,p,k]=buttap(n);Symsrad;Hs1=k/(i*rad/Wc-p(1))/(i*rad/Wc-p(2))/(i*rad/Wc-p(3));Hs2=10*log10((abs(Hs1))^2);ezplot(Hs2,[-60000,60000]);4.2.2切比雪夫低通滤波器设计切比雪夫滤波器振幅特性就具备这种等波纹特性。它有两种形式：切比雪夫I型滤波器，即振幅特性在通带内是等波纹，在阻带内是单调；切比雪夫II型滤波器，即振幅特性在阻带内是等波纹，在通带内是单调。下面重要简介切比雪夫I型滤波器设计原理。切比雪夫I型滤波器幅度平方函数为：(4-20）其中，表达通带内振幅波动限度，它为一种不大于1正数，其值越大波动就越大。为通带宽度，也是截止频率。是切比雪夫多项式，定义为：（4-21）切比雪夫多项式递推公式为:（4-22）通过上面简介，可以看出拟定切比雪夫滤波器需要3个参数：、和N。（1）拟定通带波纹定义为（4-23）而又由于因此得到即（4-24）（2）N拟定阶数N等于通带内最大和最小值个数总和。如果N是奇数，则在=0处有一最大值，如果N为偶数，则在=0处有一最小值。令阻带截止频率为，阻带容许衰减为，则（4-25）又由于，因此（4-26）因此，化简后得到（4-27）又由于因此滤波器阶数N为N（4-28）这样，、和N数值拟定后来，就可以求出滤波器极点，并拟定了。（3）滤波器系统函数极点拟定滤波器系统函数极点由下式拟定：（4-29）可解得：其中，由此可见，滤波器极点分布在一种椭圆圆周上。求得滤波器系统函数极点后，即可求出切比雪夫I型滤波器系统函数为：（4-30）而切比雪夫II型滤波器幅度平方函数为：（4-31）Cheb1ap函数：设计切比雪夫I型滤波器调用方式：[z,p,k]=cheb1ap(n,rp):返回设计切比雪夫I型滤波器零点、极点和增益。n为滤波器阶数。另一种输入参数rp为滤波器在通带内最大衰减值。例：设计一种在阻带内最大衰减为0。05dB5阶切比雪夫I型低通模仿滤波器原型。程序：n=5;rp=0.05;[z,p,k]=cheb1ap(n,rp);[b,a]=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-1,1);freqs(b,a);运营成果：z=[]p=-0.1913+1.1185i-0.5008+0.6913i-0.6190+0.0000i-0.5008-0.6913i-0.1913-1.1185ik=0.5808Cheb2ap函数：设计切比雪夫II型滤波器调用方式：[z,p,k]=cheb2ap(n,rs):输出参数z、p和k分别返回设计切比雪夫II型滤波器零点、极点和增益。输入参数n为滤波器阶数。另一种输入参数rs为滤波器在阻带内最小衰减值。例：设计一种在阻带内最小衰减为60dB3阶切比雪夫II型低通模仿滤波器原型。程序：n=3;rs=60;[z,p,k]=cheb2ap(n,rs);[b,a]=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-1,1);freqs(b,a);运营成果：z=0+1.1547i0-1.1547ip=-0.0784-0.1375i-0.1597-0.0000i-0.0784+0.1375ik=0.00305.各种设计办法MATLAB实现5.1基于模仿低通滤波器原型MATLAB实现%通过模仿低通原型滤波器进行数字带通设计程序：fp=480%模仿低通通带上限频率fs=520%模仿低通阻带下限频率wp=2*pi*fp%模仿低通通带上限角频率ws=2*pi*fs%模仿低通阻带下限角频率rp=3%通带波动rs=20%阻带衰减%巴特沃斯模仿低通原型滤波器设计[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s’)[z,p,k]=buttap(n)%模仿低通原型零、极点系数[b1,a1]=zp2tf(z,p,k)%零、极点系数转换为传递函数%巴特沃斯模仿低通原型滤波器频率响应[h1,w1]=freqs(b1,a1)mag1=abs(h1)%模仿低通原型滤波器幅频特性曲线subplot(221);semilogx(w1,mag1)fw=40%模仿带通滤波器带宽频率bw=2*pi*fw%模仿带通滤波器带宽角频率%由模仿低通原型转变为模仿带通滤波器[b2,a2]=1p2bp(b1,a1,wn,bw)%模仿带通滤波函数%巴特沃斯模仿带通滤波器频率响应[h2,w2]=freqs(b2,a2)mag2=abs(h2)%模仿带通滤波器幅频特性曲线（db）subplot(222);plot(20*log10(mag2))%冲击响应不变法进行离散化设计fo=%采样频率[bz,az]=impinvar(b2,a2,)%数字带通滤波函数系数%巴特沃斯数字带通滤波器频率响应[hz,w]=freqz(bz,az)magz=abs(hz)phz=unwrap(angle(hz))subplot(223);plot(magz)%数字带通滤波器幅频特性曲线subplot(224);plot(phz)%数字带通滤波器相频特性曲线5.2基于适当类型模仿滤波器MATLAB实现%通过适当类型模仿滤波器进行数字带通设计程序：fp=[480,520]:fs=[450,550]%模仿通带、阻带频率wp=[480,520]*pi*2%模仿通带角频率ws=[450,550]*pi*2%模仿阻带角频率rp=3;rs=20%通带波动、阻带衰减%巴特沃斯模仿带通滤波器设计[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s’)[b,a]=butter(n,wn,’s’)%模仿带通滤波函数系数%巴特沃斯模仿带通滤波器频率响应[ha,w]=freqs(b,a)ma=abs(ha);pha=unwrap(angle(ha))subplot(421);plot(w/(2*pi),ma)%模仿幅频曲线subplot(431);plot(w/(2*pi),pha)%模仿相频曲线%冲击响应不变法进行离散化设计fo=5000%采样频率[bn,an]=impinvar(b,a,5000)%数字带通滤波函数系数%巴特沃斯数字带通滤波器频率响应[hz,w]=freqz(bn,an)mz=abs(hz);phz=unwrap(angle(hz))subplot(422);plot(w,mz)%数字滤波器幅频曲线subplot(424);plot(w,phz)%数字滤波器相频曲线hi=impz(bn,an)%数字滤波器冲击响应subplot(425),plot(hi)%冲击响应曲线n=0:300;t=n/fox1=2*square(2*pi*500*t)%500Hz方波波形yi=conv(hi,x1)%时域卷积输出subplot(427);plot(yi)%卷积输出波形y1=filter(bn,an,x1)%数字滤波函数输出subplot(428);plot(y1)%数字滤波器输出波形5.3基于直接原型变换法MATLAB实现%数字带通滤波器直接设计程序fp=[480,520];fs=[450,550]%模仿通带、阻带频率rp=3;rs=20%通带波动、阻带衰减 fo=10000%采样频率%频率指标变换wp=2*pi*fp/fo%数字通带频率wp=2*pi*fs/fo%数字阻带频率%切比雪夫I型数字带通滤波器直接设计[n,wn]=cheblord(wp/pi,ws/pi,rp,rs)[b,a]=cheby1(n,rp,wn)%数字带通滤波器系数%切比雪夫I型数字带通滤波器频率响应[h,w]=freqz(b,a,128,10000)mag=abs(h):pha=unwrap(angle(h))subplot(321);plot(w,mag)%幅频曲线subplot(322);plot(w,pha)%相频曲线hi=impz(b,a)%冲击响应subplot(324);plot(hi)%响应曲线n=0:500;t=n/fcx1=2*square(2*pi*500*t)%500Hz方波信号subplot(323);plot(t,x1)%500Hz方波波形yi=conv(hi,x1)%时域卷积输出subplot(326);plot(yi)%卷积输出波形y1=filter(b,a,x1)