2023年高考数学理一轮复习教学案第4章4-5三角函数的图象与性质

4.5三角函数的图象与性质

【考试要求】

1.能画出三角函数的图象.

2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.

3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2π］上，正切函数在（一去F）上的性质.

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

⑴在正弦函数y=sinx,χC［0,2π］的图象中，五个关键点是：（0,0）,（|，1），（π,0）,（当，-1）,

（2π,0）.

（2）在余弦函数y=cosx,χd［0,2π］的图象中，五个关键点是：（0,1）,原，。），（兀，T），（苧。），

（2π,1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中JtCZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanX

Vy

_豆1_jr1π

图象20回ɪ∖ɪ誉n学一2

定义域RR{x∣x≠⅛π

值域LLIl[-1,11R

周期性2π2ππ

奇偶性奇函数偶函数奇函数

Ttπ伍冶,kπ+v

递增区间2⅛π-2»2⅛π÷2[2♦兀­兀,2kπ]

,.π,.3π

递减区间2λE+/,λ2kπ+-[2⅛π,2⅛π+兀]

「十去0）

口。）

对称中心(⅛π,0)

对称轴方程x=kπ+^X=kπ

【常用结论】

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是;个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是1个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.奇偶性

若yU)=Asin(cυx+3)(4,ω≠0),则

(1求力为偶函数的充要条件是9=^+kπ(k∈Z).

(2)/U)为奇函数的充要条件是9=E(Z∈Z).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.(X)

⑵已知y=Zsinx+l,x∈R,则y的最大值为k+l.(X)

(3)y=sin园是偶函数.(√)

(4)若非零实数T是函数y(x)的周期，则ZT(Z是非零整数)也是函数段)的周期.(√)

【教材题改编】

1.若函数y=2sin2x—1的最小正周期为T,最大值为A,贝∣J()

A.T=ZTtfΛr~1B.7=2Jr,Λ1

C.T=HfA=2D.T=2兀,A=2

答案A

2.函数段)=-2tan(2x+*)的定义域是()

A.lx∈R}

B.jx∈Rx≠-I

C.∣xeRx≠⅛π+∣(⅛∈Z)}

D.jx∈Rx≠γ+^(⅛∈Z)[

答案D

JTTT

解析由2X+Z≠E+5,&∈Z,

0Z

,kιtτι,„

仔zptx≠τ7+i2Zc∈Z.

Z0

3.函数y=3cos(2x—的单调递减区间是.

■JI

令2EW2χ-g<2E+兀，⅛≡Z,

求得与，⅛∈Z,

Oɔ

-ɔ-

可得函数的单调递减区间为［*π+畜E+制，⅛∈Z.

题型一三角函数的定义域和值域

例1(1)函数y="I的定义域为________

IanX1

答案∣.v∣x≠^+⅛π,且x≠^+E,fceZ\

解析要使函数有意义，

tanχ-1≠0,

π

{x≠2÷⅛π,⅛∈Z,

'Tl

x≠^÷⅛π,fc∈Z,

即《

Tr

x≠τ÷⅛π,Λ∈Z.

故函数的定义域为

jx∣x≠^+⅛π,且工吟+E,⅛∈Z}.

（2）函数y=sinχ-cosx+sinxcosX的值域为.

1+2也ɪ

答案

1-t2

角星析设I=SinX—cos”，则Z2=si∏2χ+cos2χ-2SinX∙cosx,SinXeOSX=

2，

且一√5W∕W√5.

i211

.∙.y=—ɪ÷∕÷2=-2（LI）2+1，

t^[-y∣2,y∣2],

当£=1时,ymax=l;

当，=一也时，）'min=_1+*

.∙.函数的值域为一上号亚，1.

【备选】

1.函数y=∙χ∕SinX-COSX的定义域为.

答案2⅛π+^,2Λπ+y(⅛∈Z)

解析要使函数有意义，必须使sinx—cosx20.利用图象，在同一坐标系中画出［0,2π］上y=

sinX和y=cosX的图象，

y=COSX

如图所示.1尸

2ττ.

π5π。手X

在［兀］内，满足的为不彳，再结合正弦、余弦卜

0,2SinX=COSXX-14v=sιnX

函数的周期是2π,所以原函数的定义域为｛12E+m≤xW2E+中，

2.函数yζr)=si∏2χ+小COSX—∖(χe［θ,)的最大值是.

答案1

解析由题意可得

2

4∕(x)=­cosx÷√3cosx+(

.∖cosx∈［0,l］.

.∙.当cosɪ=2,即X=5时，段)取最大值为1-

思维升华(1)三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.

(2)三角函数值域的不同求法

①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ox+°)的形式求值域.

②把sinX或Cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

③利用SinXicosx和SinXCOSX的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1(l)(2021∙北京)函数yU)=cosx—cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为^D.偶函数，最大值为五

OO

答案D

解析由题意,

/(-x)=CoS(—ɪ)-cos(-2x)

=cosχ-cos2x="x),

所以该函数为偶函数，

又/(x)=COSX

I9

所以当COSX=Z时，y(x)取最大值Q.

4O

(2)函数y=lg(sin2%)+留9一%2的定义域为.

答案［-3,-飘(0,ɪ)

解析,/函数y=lg(sin2x)+√9-χ2,

sin2x>0,

应满足

9-χ2≥0,

π

kπ<x<2+kπ,

解得1其中⅛∈Z,

,-3≤x≤3,

兀、71

/.-3Wx<—5或O<χv∕,

函数的定义域为-3,一习U(O&

题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2(1)(2019・全国∏)下列函数中，以］为周期且在区间仔，号上单调递增的是()

A./(x)=∣cos2x∣B./(x)=∣sin2x∣

C.於)=COSlxlD.於)=sin∣x∣

答案A

解析A中，函数於)=∣cos2x∣的周期为冬当XG仔，3时，2x∈(f,π),函数外)单调递增,

故A正确；B中，函数/(x)=kin2Λ∣的周期为会当XG值方)时，2x∈^,π),函数KX)单调

递减，故B不正确；C中，函数√U)=cos∣Λ∣=cosX的周期为2兀，故C不正确；D中，八%)=

fsinx,x≥0,

SinR=I由正弦函数图象知，在XNO和x<0时，y(x)均以2兀为周期，但在整

Lsinx,x<0,

个定义域上式对不是周期函数，故D不正确.

(2)函数/)=3Sin(ZV—生+，+1,eG(0,π),且於)为偶函数，则9=,段)图象的

对称中心为

...5πfπ,kπA

答案y<4+T,√,kQz

解析若y(x)=3sin(2x—鼻+，+1为偶函数，则一会+叱也+宏⅛∈Z,

Sir

即(P=《+kτt,⅛∈Z,

又∖∙3∈(O,π),

・・9=不.

•9•fix)=3sin^2x÷^+1=3cos2x+1,

兀兀kτc

由2x=]+E,左WZ得X=^+了，⅛≡Z,

.,孙)图象的对称中心为(；+竽，1),z∈z.

【备选】

1.下列函数中，是周期函数的为()

A.y=sin∣x∣B.y=cos∣x∣

C.y=tan∣x∣D.y=(χ-1)0

答案B

解析TcosH=COSX,.∙.y=CoSlXl是周期函数.其余函数均不是周期函数.

2.函数y(x)=3sin(2x—三+，，^∈(0,π),若HX)为奇函数，则勿=.

答案≡

解析若Ar)=3sin(2x—J为奇函数，

则一1+(p=k‰fc≡Z,

TT

即9=g+Aπ,⅛∈Z,

又∙.∙9∈(0,π),

.π

,∙(P=W

思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx

的形式，而偶函数一般可化为J=Acosωx的形式.

2TT

(2)周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx+^),y=Acos(0λx+p)(m>0)的周期为无^,函数y=

Atan(CoX+3)(cu>O)的周期为击求解.

跟踪训练2（1）（2021•全国乙卷涵数段）=sin耒+cos］最小正周期和最大值分别是（）

A.3π^∏√2B.3π和2

C.6兀和√5D.6π和2

答案C

YY

解析因为函数4r)=sin3+cos,

=λ∕2^^sin]+乎COS§

ɪ∙∖∕2^sin^cos；+COS^sin:

=Vising+；）,

所以函数yω的最小正周期T=竿2ιr=6兀，最大值为√1

3

(2)已知y(x)=Acos(5+9)(A>O,加>0,0<8<元)是定义域为R的奇函数，且当x=3时，<x)取得

最小值一3,当G取得最小正数时，#1)+/2)+八3)+…+负2022)的值为()

A.,∣B.—6—34

C.1D.-1

答案B

解析,∙,∕x)=Acos(ωx+^)(A>0,ω>0,0<夕VTr)是定义域为R的奇函数，

兀Tl

:∙φ='+kκ,kRZ,贝∣JS=/,

则TW=-Asinωx.

当x=3时，7U)取得最小值一3,

故A~35sin3(Z)Z=1,

兀

Λ3ω=2÷2⅛π,⅛∈Z.

.∙.3的最小正数为会

π

.J(X)=-3sinʌr,

.∙√(x)的周期为12,

.∙.Λ1)+Λ2)+Λ3)+∙∙∙+Λ12)=O,

ΛΛD+Λ2)+Λ3)+-+Λ2022)

=168×0+ΛD+∕2)+∙∙∙+Λ6)

———6—3Λ∕3.

（3）（2022•郑州模拟）设函数於）=2sin（2x—：）+*则下列叙述正确的是（）

A.y（x）的最小正周期为2兀

B.於）的图象关于直线X=会对称

C.於）在悖可上的最小值为一彳

答案C

解析对于A,y（x）的最小正周期为7=π,

故A错误;

ππ

对于B,,/sinl2X

故B错误；

对于C,当XG去兀］时，2x—y,y,

；.sin（2jc——1,坐］,

Λ2sin（2χ-∣）+∣∈-∣,√3+∣,

在［与，兀上的最小值为一q,故C正确；

对于D,Y周=2sin（2X号一9+1=3

；.兀0的图象关于点传，§对称，故D错误.

题型三三角函数的单调性

命题点1求三角函数的单调区间

例3函数式X）=Sin（—2%+；）的单调递减区间为

A-ArJ7C.571

答案俨l兀一符Aπ+-j^J（⅛∈Z）

解析於）=sin（-2r+1）

由2人兀一,W2χ-⅛∈Z,

得"π一名WXWAπ+居，⅛≡z.

故所求函数的单调递减区间为

「，π,5π-l,

—石，E+l司(%∈Z).

延伸探究府)=§m(一2¥十?在［0,兀］上的单调递减区间为

π

答案[°-SH⅛]

71571

[E一行，^π÷⅛，kGZ,

B=［0,π］,

.∙.ACB=［θ,间UH,π］,

.∙√U)在［0,兀］上的单调递减区间为［o,哥和［岩，兀］

命题点2根据单调性求参数

例4⑴若函数/)=Sins(SO)在区间［θ,T上单调递增，在区间［$T上单调递减，则3

3

答案2

解析TyU)=Sin①x(①>0)过原点，

Tl

当OWs≤/,

TT

即OWXWK时，y=sin①X单调递增；

当畀①XW当，

即/WxW羽时，y=sins单调递减.

Jl

由yU)=sin3r(m>0)在O,ɜ上单调递增，

在后，外上单调递减，知券=*

.,_3

•∙CO-ɔ.

(2)已知加>0,函数段)=sin(3r+j)在4Tr)上单调递减，则口的取值范围是

Mgrɪ5］

答案2,4

Tt

解析由2<χVπ,ω>0,

COTlI兀I兀I兀

付彳+^〈5+炉①兀+不

因为y=sinx的单调递减区间为2E+，，2E+引，⅛∈Z,

fv+∑≥5+2⅛π,

所以V2Jt∈Z,

,π,3π.c,

[ft)7t+aW5+2fat,

解得4k+gw(υW2A+ak∈Z.

又由必+3—(2A+Jwo,⅛∈Z,

ɪ2⅛+∣>O,A∈Z,

解得k=O,

所以s∈.

【备选】

(2022・定远县育才学校月考)已知函数«x)=Sin3zr+9)(o>0,I夕∣W^),x=一;为段)的零点，X

=；为y=∕2图象的对称轴，且左)在(⅛工)上单调，则。的最大值为()

A.IlB.9C.7D.1

答案B

TT

解析因为X=-W为yu)的零点，

Tr

X=W为y=>(χ)图象的对称轴，

”-2〃+1π

所以4°T=/eN)，

2”+12ππ

t即jrf丁』5∈N),

所以ω=2n÷l(n∈N),即ω为正奇数.

EsI(Tt5τC∖..,E

因为.*x)在院，拓J上单调，

则冷金咔§

即T=同，

解得ω≤12.

当口=11时，一∙^+°=⅛π,⅛∈Z,

因为∣d≤冬

所以9=_今此时於）=sin（ll∙r-*富

当x≡（⅛•时，

江仲46πλ

ɪɪɪ4<36,36，

所以yu）在（∙⅞,If）上不单调，不满足题意;

9Ti

当ω=9时，一彳+3=也，fc∈Z,

因为侬音,

TT

所以3=?

此时/（x）=Sin（91+彳）.

当x≡（⅛•时，

9x+；G仔¾）,

此时7U）在信，箱上单调递减，符合题意.

故。的最大值为9.

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如y=Asin（<ox+p）或y=4cos（3x+°）（其中s>0）的单调区间时，要视"3x+φ”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果。<0,可借助诱导公式将。化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练3（1）（2021・新高考全国I）下列区间中，函数7U）=7sinG-∣）的单调递增区间是

)

C.(τr,半)Dc，2ττ)

答案A

解析令一⅛∈Z,得一与+2EWXW母+2Zπ,%£Z.取k=0,则一日

ZOZɔɔɔ

4W竽因为（0,习[―$y],所以区间（0,9是函数段）的单调递增区间.

（2）（2022・开封模拟）己知函数y=sin（Gx+§

（G>0）在区间（一/§上单调递增，则①的取值范围是（）

/I-IΓl

A.（0,2jB.[],1

CG|]D.修2_

答案A

解析当一点<x<⅞时，

Oɔ

πω.π.ππcυ.兀

-τ-+3<ωx÷3<-+ɜ,

兀71

当X=O时，ωx+^=y

因为函数y=sin（5+§（cD>0）在区间（一去上单调递增，

πω,π.π

~T+3^~2'

πω.π.π

{~+3^2'

解得ω≤∣,

因为fy>0,所以3的取值范围是（0,I.

课时精练

1.y=∣cosx∣的一个单调递增区间是（）

答案D

解析将y=cosx的图象位于X轴下方的部分关于X轴对称向上翻折，X轴上方（或X轴上）的

图象不变，即得y=∣cosx∣的图象（如图）.

故选D.

B.∣+4⅛,∣+4ΛBeZ)

-冗5兀-

C.^+4⅛π,-^^+4kπ(⅛∈Z)

D.∣+4⅛,∣+4⅛(fc∈Z)

答案B

解析由题意，得2sin会一120,

π兀

∈[d+2E,∈

2x(⅛Z),

则x∈[;+4Z,∣+4⅛(⅛∈Z).

函数式X)=Sin(X+居)cosg-fθ是(

3.)

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为兀的偶函数

C.最小正周期为2π的非奇非偶函数

D.最小正周期为π的非奇非偶函数

答案D

解析由题意可得

√(x)=sin

=SinG+1

=sin2%

∙∖Ax)=AECOS

故yω的最小正周期τ=^=π,由函数奇偶性的定义易知，yω为非奇非偶函数.

ςinγ+Y

4.函数段）=+⅛¾Lτr,句的图象大致为（）

COSXIX

答案D

sin(-x)+(—x)

解析`ʌX)cos(-x)÷(-x)2

--T=-Λx）,得火X）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；

COSXIX

Tr

_］不排除

Hπ)=πp>0,B,C.

5.关于函数y（x）=sin2χ-cos2x,下列命题中为假命题的是（）

A.函数y=∕（x）的周期为π

Ir

B.直线X=W是y=√U）图象的一条对称轴

C.点你0）是y=∕（x）图象的一个对称中，I

D.y=∕（x）的最大值为限

答案B

解析因为於)=sin2χ-cosZr

所以人X）的最大值为媳，故D为真命题；

2TT

因为G=2,故T=E=兀，故A为真命题;

当X=彳时，2工一彳=今终边不在y轴上，故直线X=；不是＞=«¥）图象的一条对称轴,

故B为假命题;

TTTT

当冗=6时，2χ-τ=0终边落在X轴上,

O49

故点（I，0）是y=Λx）图象的一个对称中心，故C为真命题.

6.（2022•广州市培正中学月考）关于函数＜X）=Sink∣+∣SinX下列叙述正确的是（）

A.左)是奇函数

B../U)在区间e，兀)上单调递增

C.T(X)的最大值为2

D.y(x)在［一π,用上有4个零点

答案C

解析Λ-χ)=sin∣—M+∣sin(-χ)∖

=sin∣x∣÷∣sinx∖=J(x)9

AC)是偶函数,A错误；

当兀)时，7U)=sinx+sinx=2sinx,

单调递减，B错误；

Xx)=sin∣x∣÷∣sinXlW1÷1=2,

且/(D=2,C正确；

在［―兀，兀］上，当一兀VX<0时，

fix)=sin(—x)÷(-sinx)=_2sinx>0,

当0<x<π时,=SinX+sinx=2SinX>0,

“r)的零点只有π,0,一π共三个，D错误.

7.写出一个周期为兀的偶函数TU)=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.(2022•上外浦东附中检测)若在0,5内有两个不同的实数值满足等式CoS2x+√5sin2x=A

+1，则实数大的取值范围是.

答案OWKl

解析函数√(x)=cos2x+小sin2%

=2sin(2x+§,

当Xeo,会时，

fix)=2sin(2%+单调递增；

当XeL不5」时，

氏X)=2sin(zx+单调递减，

π

√(0)=2sin4=1,

∕⅛(π∖r2sinπ5=2,

所以在O,5内有两个不同的实数值满足等式cos2x+45sin2x=Z+l,

则l≤Jt+l<2,

所以OWkL

9.已知函数7U)=4sin5sin(Gx+§—l(m>0)的最小正周期为π.

⑴求口及7U)的单调递增区间；

⑵求7U)图象的对称中心.

解(1次r)=4SinSɑsin(υx+坐COSS•)—1

=2sin2ωx+2√3sinωxcosωχ-1

=1-cos2ωx÷√3sin2ωχ-1

=√3sin2ωχ-cos2ωx

=2sin(2cox一到

・・•最小正周期为π,

.2n

•\/(x)=2sin(2x-袭),

♦•①=1,

TtTtJU

令-尹2EW2x-胪/2kπ,⅛∈Z,

TTTT

解得一5+⅛π≤x≤2÷kπ,⅛∈Z,

，段)的单调递增区间为[一季+E,∣+Λπ

(⅛∈Z).

Tl

(2)令2χ-d=ht,)t∈Z,

解得χ=∙^+”,%ez,

；.左)图象的对称中心为信+苧，0),⅛∈Z.

10.(2021•浙江)设函数y(x)=sinx÷cosX(Λ∈R).

⑴求函数y=[∕(x+圳2的最小正周期；

(2)求函数3在[θ,手上的最大值.

解⑴因为∕x)=sinx+cosx,

所以/G+∕)=sin(x+舒+cosQ+习

=cosχ-sinx,

所以y=[∕Q+圳2=(CoSX-SinX)2

=1-sin2x.

所以函数》=匕(冗+到2的最小正周期T=苧=兀

=√2sinx(sinx+cosx)

=也(Sinxcosx÷sin2x)

当x∈[θ,U时,2χ-J∈[-J用,

所以当2^-4~2,即》=争时，

函数y=∕w(x-分在[θ,外上取得最大值，且ymax=l+#.

11.(2022.苏州模拟)已知函数兀V)=SinQ+知，则下列结论不正确的是()

TT

A.尤=一%是函数大无)的一个零点

B.函数大外在区间[一招，制上单调递增

C.函数y(x)的图象关于直线x=∙⅞对称

D.函数/(T)是偶函数

答案D

解析对于A选项，因为/（Y）=SinO=O,

TT

故X=—%是函数yu）的一个零点，A对；

对于B选项，当一品≤x≤*时,

兀ZCI兀.兀

-尹2x+产子

可上单调递增，B对;

ITIT

对于C选项，因为对称轴满足2r+g=］+⅛π,⅛∈Z,

解得X=强+与，％≡Z,当Z=O时，X=专，C对；

对于D选项，

则庶）=0,

g（T=si∏（一⅛）≠0,

故函数"不是偶函数，D错.

12.（2022•厦门模拟）已知函数y（x）=CosG一京）一cos则下列结论正确的是（

)

A.y（x）的最大值为£I

B.小）的图象关于点传，（ɔ对称

C.段）的图象的对称轴方程为X=驾+果%∈Z）

D.«r）在［0,2π］上有2个零点

答案C

1÷cos

解析段)=2cos2x

坐∙sin^2χ-≡)+∣,

则y（x）的最大值为'+?,A错误;

易知./U）图象的对称中心的纵坐标为右

B错误；

Tl-Ji

令2x—G=,+E（ZWZ）,

得X=相+飘k∈Z）,

此即AV）图象的对称轴方程，C正确；

由∙Λx）=坐Sin（2%-：）+^=0,

得sin（2x_：）=—半，

当x∈［0,2τr］时，2x—卜［一号，ɪɪ

作出函数y=sinx（x∈［一小半。的图象，如图所示.

所以方程sin(2x—§=一坐在[0,2n]上有4个不同的实根，

即.大力在[0,2π]上有4个零点，D错误.

13.(2022•绵阳中学实脸学校模拟)已知Sinx+cosy=；,则SinX—sin2y的最大值为

答案⅛

解析∖∙sinx+cosy=1,sinx∈[-1,1],

.β.sinX=I-COSγ∈[-I,1J,

O-35]

・・cos4,

即COSy∈[-χ,1J,

VsinJV-sin2y=^-cosy-(1—cos2y)

2

=COSy-COS>-I

=(COSy