2023-2024学年黄冈中学数学高二年级上册期末检测模拟试题含解析

2023-2024学年黄冈中学数学高二上期末检测模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知双曲线=-斗=1（。>0,6>0）的两个顶点分别为A、B,点尸为双曲线上除A、5外任意一点，且点尸与点4、

ab

5连线的斜率为左，左2,若《•左2=3,则双曲线的离心率为（）

A.夜B.后

C.2D.3

2.已知直线6丁+6=0与圆好+；/=12交于两点，过A,3分别作/的垂线与x轴交于C,D两点，贝!]

31=

A.2B.3

7

C.-D.4

2

PA

3.抛物线V=4x的焦点为尸，点P（尤,y）为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则行的最

大值是（）

A.2B.0

4.如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法

有（）

ABC

A.3种B.6种

C.12种D.27种

5.我国古代铜钱蕴含了“外圆内方”“天地合一”的思想.现有一铜钱如图，其中圆的半径为r,正方形的边长为

a（O<a<r）,若在圆内随即取点，取自阴影部分的概率是p,则圆周率〃的值为（）

a2a2

B,F^F

a

,(1-P)rD，(l+p)r

6.如图，在四面体Q43c中，Q4=。，OB=b，OC=c>CQ=2QB,P为线段。4的中点，则PQ等于（）

1-1,2

A—。+—/?+—c

233233

D.」a+L+2

233233

7.已知函数〃x）=x（x-c）2在x=2处有极小值，贝！|c的值为（）

A.2B.4

C.6D.2或6

8.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3,0）,且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为。

2A222

A尤4y.

A.—+^—=1B.匕+±=1

99369

2A2222J2242

八元4y1―yx1nx4y1Ty4x1

C.—+^—=1或匚+—=1D.——+-^—=1或二+——=1

993699999

9.已知A,5c三个观测点，A在8的正北方向，相距2040m,。在3的正东方向，相距1360m.在某次爆炸点定位

测试中，A,3两个观测点同时听到爆炸声，。观测点晚2s听到，已知声速为340m/s,则爆炸点与。观测点的距离

是（）

A.680mB.1020m

C.1360mD.1700m

10.如图，耳和B分别是双曲线£=1（。〉0力〉0）的两个焦点，A和3是以。为圆心，以|。耳|为半径的圆

与该双曲线左支的两个交点，且A8是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A.百B.6

C色D.1+V3

2

11.点”是正方体ABCD-A4G2的底面ABC。内（包括边界）的动点.给出下列三个结论:

①满足〃台G的点”有且只有1个；

②满足DXM±B,C的点M有且只有1个；

③满足DXM//平面的点M的轨迹是线段.

则上述结论正确的个数是（）

A.OB.1

C.2D.3

12.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第

11日到第20日这10日共织布（）

A.30尺B.40尺

C.6尺D.60尺

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.定义离心率是避二1的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆E-.—+^=1（10〉机〉0）是“黄金椭圆”，则机=.

210m

22

若“黄金椭圆”C:=+A=1（。〉6〉0）两个焦点分别为片（c,0）、鸟（G0）（。〉0）,尸为椭圆C上的异于顶点的任意

ab

IPMI

一点，点M是耳心的内心，连接并延长交耳心于点N,则।MN।

22

14.过双曲线C：二y=1（。>03>0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交。于点P.若点P的横坐标为

ab2

2a,则C的离心率为-.

15.已知e为抛物线尸=6x的焦点，尸为抛物线上的任意一点,点3（4,3）,贝！］忸国+归川的最小值为.

16.曲线“xNYco&x在尤=1处的切线斜率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知三角形ABC内角A,3,C所对的边分别为a,dc,5asinC=3c且C为钝角.

（1）求cosA；

（2）若。=30，b=5,求三角形ABC的面积.

18.（12分）如图,在四棱锥「—4^8中，底面ABC。，AB//DC,DA±AB,AB^AP=2,DA=DC=1,

E为PC上一点，且PE=2PC.请用空间向量知识解答下列问题:

3

（1）求证：AE_L平面PBC；

（2）求平面AEB与平面AE。夹角的大小.

V221

19.（12分）设椭圆C：3+=v=1（a>b>。）的离心率为e=^,椭圆。上一点尸到左右两个焦点耳、工的距

a2b22

离之和是4.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过工的直线与椭圆。交于A、B两点,且两点与左右顶点不重合，若可加=44+63,求四边形4

面积的最大值.

20.（12分）如图，点。是曲线炉+£=1（＞20）上的动点（点。在y轴左侧），以点。为顶点作等腰梯形ABC。,

使点C在此曲线上，点A3在x轴上.设CD=2x,等腰梯ABC。的面积为S（x）.

（1）写出函数S（x）的解析式，并求出函数的定义域；

（2）当》为何值时，等腰梯形ABC。的面积最大？求出最大面积.

21.（12分）已知数列｛4｝中，％=1,且a”+i=2%+2"5eN*）

（1）求证：数列（三,是等差数列，并求出

（2）数列｛%｝前7项和为S“,求S“

22.（10分）已知抛物线V=2px（p〉0）的准线方程是x=—g.

（I）求抛物线方程；

（II）设直线y=左（》-2）（左/0）与抛物线相交于河，N两点，。为坐标原点，证明：OMLON.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

222

【解析】根据题意设4（—。⑼1⑺⑼设/龙/），根据题意得到f^=3,二=1,进而求得离心率

x—aa3ci

222

【详解】根据题意得到A（—a,O）,5（a,O）设因为秘？=3,所以—^=3,二一二=1,

x—aa3ci

所以62=3/，贝！Ie=Jl+[=2

Va

故选：c.

2、D

【解析】由题意，圆心到直线的距离=3,

d=-^=\AB\=2V12-9=26,•直线/：X—百y+6=0.•.直线/的

V1+3

倾斜角为30。，1♦过A,3分别作/的垂线与x轴交于C,。两点，./⑦k苧=,，故选口.

3,B

【解析】设直线的倾斜角为凡设PP垂直于准线于P，由抛物线的性质可得怛尸|=归耳，则

PA\PA\1\PA\

万三=扁=一当直线物与抛物线相切时，cos。最小，舄取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线

PF\PP|cos6*\PF\

相切时的点尸的坐标，然后进行计算得到结果.

【详解】设直线的倾斜角为。，设FP垂直于准线于P，

由抛物线的性质可得|PP'|=|P司，

|PA|1PAi1

所以则说后=而亓=---->

\PF\\PPIcos3

当cos。最小时，则震值最大,

\PF\

所以当直线M与抛物线相切时，，最大，即cos。最小,

由题意可得4(—1,。)，

设切线出的方程为：x^my-1,

x=my-lc

2，整理可得V—4根y+4=0,

y=4x

A=16m2—16=0,可得机=±1,

将加=±1代入J-4冽>+4=o,可得y=±2,所以］=1,

即产的横坐标为1,即尸的坐标(1,±2),

所以|PH=V2172r=20，|PP|=1—(—1)=2,

所以然的最大值为：述=亚，

回|2

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和抛物线有关的小

题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目，一

般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化

4、C

【解析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.

【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：

用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有A；种方法，用2色，矩形A,C涂同色，有A；种方法,

由分类加法计数原理得A；+A；=12(种),

所以不同的涂法有12种.

故选：C

5、B

【解析】根据圆和正方形的面积公式结合几何概型概率公式求解即可.

2_2

【详解】由夕=万厂可得.=

nr(l-p).

故选：B

6、D

【解析】根据空间向量的线性运算求解

【详解】由已知

21212112I

PQ=OC+CQ-OP=c+-CB--OA=c+-(OB-OC)--a=c+-(b-c)--a=--a+-b+-c9

故选：D

7、A

【解析】根据/'(2)=0求出c,进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.

【详解】由题意，f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(%-c)(3%-c),贝！J/'(2)=(2_c)(6_c)=0,所以c=2或c=6.

若c=2,则于(x)=(x_2)(3x_2),xe1—8,|1时，rW>0,单调递增，时，/(%)<0,/(%)

单调递减，时，/'(X)>0,〃尤)单调递增.函数“X)在x=2处有极小值，满足题意；

若c=6,则/(x)=3(x-2)220,函数/(x)R上单调递增，不合题意.

综上：c=2.

故选：A.

8、C

【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.

o2九2

【详解】当椭圆的焦点在X轴上时，由题意过点(3,0),故4=3,b=-,椭圆方程为三+三=1,

22

当椭圆焦点在y轴上时，b=3,a=6,椭圆方程为工+±=1,

369

故选：C.

9、D

【解析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.

【详解】设爆炸点为。，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点。位于43的垂直平分线上，又。在5的正东

方向且。观测点晚2s听到，则点。位于43的左侧，AB=2040m,5C=1360m,OC—QB=340x2=680m,

设OB=xm,

BC

222

n„「亦X+1360-(X+680)V%-1020

I2)2x4360x

解得x=1020,则爆炸点与C观测点的距离为1020+680=1700m,

故选：D.

10>D

【解析】解：，设FIF2=2C,

•••△F2AB是等边三角形，

.,.ZAFIF2==30°,

AFi=c,AFi=^C,

，a=(QC-C)+2,e=2c+(6c-c)=石+1,

故选D

11、C

【解析】对于①，根据线线平行的性质可知点〃即为A点，因此可判断①正确；

对于②，根据线面垂直的判定可知4CL平面QAB,,由此可判定”的位置，进而判定②的正误;

对于③，根据面面平行可判定平面ABC平面2AC,因此可判断此时“一定落在AC上，由此可判断③的正误.

【详解】如图:

对于①，在正方体—中，DXABCX,

若闻异于A，则过。点至少有两条直线和Bq平行，这是不可能的,

因此底面ABC。内(包括边界)满足2M〃台G的点”有且只有1个，即为A点,

故①正确；

对于②，正方体ABCD—A4GA中，平面3CG4,用Cu平面3CC4,

所以A3,与C,

又B[CAXD,\D±ADX,所以用C，A2，

而ABAR=A,A5,AD]u平面2A5,故耳CL平面QAB,

因此和B}C垂直的直线OM]一定落在平面2AB内，

由M是平面ABC。上的动点可知，”一定落在AB上，这样的点有无数多个，故②错误;

对于③，AC,\AC,ACu平面，AC，则AG"平面，AC,

同理BC]//平面AAC,而4G?BQC],

所以平面平面AC,而RM〃平面

所以D}M一定落在平面D.AC上，

由是"平面ABC。上的动点可知，此时“一定落在AC上，

即点”的轨迹是线段AC,故③正确，

故选：C.

12>A

【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.

【详解】由题女子织布数成等差数列，设第”日织布为4,有%=5,%0=1,所以

au+an++a20=]0x（旬720）=5（%+%（））=30，

故选:A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①.5石-5②.心口

【解析】第一空，直接套入“黄金椭圆”新定义即可，第二空，从内切圆入手，找到等量关系

1I।1II1।।〃+CSPFF尸N

51P耳卜+5归闾r+5寓引进而得到丁=4：=宙，求解即可

【详解】由题，e=Jl_4=J，=叵2所以机=5百一5

V«V102

X

如图，连接"片,叫，设内切圆半径为厂，

则卜闾/+g区用"SgFj即，2a+2c)r=Sp"j

••耳闺闾r=SMFiF2=—•2c-r,

.〃+c_s也尸2_|PN|

••,丁二1^7二所

-\MN\=^\PN\

.”L

.\PM\175+1

\MN\CCy/5-12

a+c2

故答案为：575-5;县口

2

【点睛】本题从新定义出发，第一空直接套用定义可得答案，第二空升华，需要在理解新定义的基础上，借助内切圆

a+cSPF、F,|PN|

的相关公式求解，层层递进，是一道好题.关键点在于找到“——=丁4=—"这一关系

cS\MN\

14、2+A/3

2

Y2v

【解析】双曲线「-当=1的右焦点为9,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线y=2%平行，其方程为

aba

i222222

y=g(x—C),代入与—1=1求得点P的横坐标为x=t^,由巴士1=2。，得(£)2—4£+1=0,解之得

aab~2c2caa

£=2+6,-=2-V3(舍去，因为离心率£>1),故双曲线的离心率为2+6.

aaa

考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.

11

15、

~2

【解析】由抛物线的几何性质知：|尸盟=|PN|,由图知忸山为忸围+忸目的最小值，求忸耳长度即可.

【详解】

33

点/(],0)是抛物线V=6x的焦点，其准线方程为作PNLI于N,作明人/于A,

311

+|PF|=|PB|+\PN\>\BA\=4-(--)=万，当且仅当P为BA与抛物线的交点时取得等号,

+盟的最小值为*

故答案为：?

兀?12

16、—##——"2

44

【解析】首先求得/(%)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率般

【详解】因为函数/(X)ufco&x的导数为/'(X)=2xcosx—%2sinx,

TT71(»丫.兀/

所以可得在X=1■处的切线斜率k=f----sin—=-----

2^2)24

故答案为：-J

4

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、(1)-

5

⑵—

2

【解析】(1)由正弦定理边化角，可求得角A的正弦，由同角关系结合条件可得答案.

4

⑵由（1）cosA=-,由余弦定理，求出边。的长，进一步求得面积

【小问1详解】

因为5asinC=3c,由正弦定理得5sinAsinC=3sinC

3

因为sinCwO,所以sinA=（.

因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以cosA=Jl—sin2A=1

小问2详解】

4

由（l）cosA=不，由余弦定理〃2=/+。2-2bccosAa—3y/2,b=5,

#18=25+C2-2X5CX1,所以C?—8C+7=0，

解得c=7或。=1,。=1<4不合题意舍去，「.0=7

11321

故一ABC的面积为一bcsinA=—x5x7x—=—

2252

18、（1）证明见解析

⑵-

3

【解析】（1）以A为原点，AB.AD,AP分别为左轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，证明出3CLAE,BP±AE,

结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得平面A£B与平面AEO夹角的大小.

【小问1详解】

证明：上4,底面ABC。，AB±AD,故以A为原点，AB.AD,项分别为了轴、V轴、z轴建立如图所示的

则4(0,0,0)、P(0,0,2)、C(1,1,O),5(2,0,0)、D(O,1,O),

(222、uuu

所以，AE=\-,-,-\,BC=(-1,1,0),BP=(-2,0,2),

则3CAE=0，BPAE=O,即3CLAE，BP±AE,

又BCBP=B,所以，AE，平面PBC.

【小问2详解】

(222、uuu

解：知AE=H，g,AB=(2,0,0),">=(0,1,0),

设平面A£B的法向量为"=(x,y,z),则AB.“=0，AEn=0>

2x=。.

即(2x2y2z_>令y=L可得7=(0」,—1),

--------1----------1--------=0

I333

设平面AE。的法向量为"z=(a,0,c),由A。•加=0，AEm=0>

必=0

即,2。+2)+2c_0，令。=1,可得加=(1,0,-1),

_T+T+T-

/.、\mA11

cos(m,n)—■；—i~7—7=-T=—产——,

'|zn|-|n|2

JI

因此，平面AEB与平面AE。夹角的大小为一.

3

22

19、(1)=1；(2)6.

43

【解析】(1)本小题根据题意先求。，b,c,再求椭圆的标准方程；

(2)本小题先设过工的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.

【详解】解：(1)・・・椭圆。上一点尸到左右两个焦点片、尸2的距离之和是4,

•••2〃=4即〃=2,

・・

・e=—c=—l・.・c=l1

a29f

又■:a2=b2+c29b2=3•

22

...椭圆C的标准方程为L+2L=1；

43

(2)设点A、3的坐标为5(%，%)，

因为直线过点B，所以可设直线A3方程为％=冲+1,

x=my+1

联立方程f2,消去%可得：3(mj+l)2+4y2=12,

—+—=1

[43

化简整理得(3m2+4)/+6my-9=0,

22

其中A=36/n+36(3^2+4)=144(m+1)>0,

-6m-9

所以另+%=——i---，X,%=——5

3m2+43/n2+4

因为耳〃=片4+片3,所以四边形AM5片是平行四边形,

设平面四边形AM3耳的面积为S,

1.I27

则S=2sAK=2x^x闺巴卜卜]一％|=2^/(%+%)?-4yly2=24x~-，

25m+4

设1=J*+1，则"Z2=/—1(?>!)，

S=24x^—=24x^-

所以3/+1Q-1，

t

因为所以3/+44,Se(O,6],

所以四边形AM3耳面积的最大值为6.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.

20、(1)S(X)=2(X+1)V1-X2,(0<X<1);

⑵当x时S(x)取到最大值，s(x)max=g=等

【解析】⑴设点。(―羽丁)，则根据题意得|/叫=2,/=4(l-x2),故S(x)=2(x+l)JI=Z(O<x<l)；

(2)4/(X)=S2(X)=^X4-8X3+8X+4,0<X<1,研究函数的单调性，进而得〃龙)的最值，进而得S(x)的最

大值.

【详解】解：(1)根据题