2023年中考数学考前精练：锐角三角函数

2023年中考数学考前精练：锐角三角函数

一、单选题

1.在RtZ∖A3C中，NC=90。，AB=IBC,贝IJCoSA的值是()

A.昱B.yC.巫D.在

2255

4

2.如图，。为RtZ∖45C的AC边上一点，ZC=90o,ZDBC=ZA,AC=4,cosA=-,则CD=

()

3.如图，在一ABC中，/8=90。,47=30。,4。是一ASC的角平分线，若囱）=1,则AC长度是（）

4.如图，A3为。直径，一ABC内接于O,/为内心，A7交圆于。，且OUAP于/,

贝IJSinNeW的值为（）

ASB-fC.亭D-T

5.如图，已知直线y=-Kx+3与X轴交于点/1,点8与点Z关于y轴对称.M是直线上的动点，

将OM绕点。顺时针旋转60。得ON.连接BN,则线段BN的最小值为（）.

Vi

A.3C.2√3D.3-√3

6.如图，点4B、C。在。。上，AClBC,AC=4,NWC=300,则8C的长为()

A.2√2B.4C.4√2D.46

7.如图，在边长为4正方形ABCO中，点E在以8为圆心的弧AC上,射线DE交48于尸,连接

€'£,若。£_1£＞尸，则£)£：=()

C.然D.∣√^

8.如图，AB为，。的切线，切点为A,连接04、08,OB交)0于点C,点。在。上，连接

CD、AD,若NAZ）C=30。，OC=X,则AB的长为（）.

A.1B.√3C.2D.4

9.在AfiC中，NABC=90。，AB=I,AC=√5,过点A作直线〃?〃3C,将ABC绕点8顺时

针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C’恰好落在直线ml.,则NCBC'的度数为（）

A.30oB.450C.60oD.75°

10.如图，在矩形ABC。中，AT>=4,AB=2√5,以相>为直径作。，E为BC的中点，AE交O

C.2√3-2D.√3+l

11.如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶4处看乙楼楼顶8处仰角为30°,

则甲楼高度为（）

A.15米B.（36-10√i）米C.15√5米D.（36-156）米

12.如图，点/I是反比例函数.V=-,图像上一动点，连接力。并延长交图像另一支于点8.又C

X

,4

为第一象限内的点，且AC=BC,当点/运动时，点。始终在函数y=-的图像上运动.贝IJNe48

X

的正切值为（

y

A.2B.4cTDT

13.如图，电线杆的中点C处有一标志物，在地面。点处测得标志物的仰角为35°,若拉线Co

的长度是。米，则电线杆A3的长可表示为（）

A.2Q∙COS35米B.户米C.2tz∙sin35米D.-米

sin35tan35

14.如图，Z,尸，8,C是。上的四点，ZAPC=NCPB=60。.若四边形APBC面积为亍6,

且幺：「8=1:2,则，。的半径为（）

C.我

15.如图，在矩形A3CZ）中，DC=3,AD=6DC,尸是AO上一个动点，过点Q作PG_LAC,

垂足为G,连接BP,取BP中点E,连接EG,则线段EG的最小值为（）

BC

33

A.-B.-C.3D.√3

42

二、填空题

16.某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m,当无人机飞行

至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30。，继续飞行20m到达8处，测得旗杆顶部的俯角为60°,则

旗杆的高度约为m.(结果保留根号)

17.两个形状大小相同的菱形在矩形ABCO内按如图所示方式摆放，若菱形的边长为2cm,

NF=I20。，且EFLEG,则AO的长为Cm.

18.如图，在矩形ABCD中，Afi=IO,AD=6.矩形ABC。绕点力逆时针旋转一定角度得到矩

形A8C'。.若点8的对应点3'落在边8上，连接，则Ar)D的面积为.

19.如图，在菱形43C。中，8。为对角线，过点。作DEJL即交BC的延长线于点E,连接AE交

CO于点尸，DF=√13,tanZABO=|,则Z)E的长为.

BE

20.已知钝角ABC内接于O,AB=BC,将_A3C沿AO所在直线翻折得到aA3'C'连接83'、

CC',如果班'：CC'=4：3,那么tan∕B4C的值为.

21.如图，半径为1的。与边长为的等边三角形ABC的两边AB,BC都相切.连接OC,

贝IJtanNoCA=.

22.如图，“ABC中，ZC=90o,ΛB=4√3,BC=2√3,以AC为直径的。交AB于点。，则Co

的长为_____________.

23.如图，轮船8在码头力的正东方向，与码头力的距离为IOO海里，轮船8向北航行40海里

到达C处时，接到。处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到。处，解教渔船

后轮船沿南偏西82。返回到码头Z,那么码头力与。的距离为海里.（结果保留整数，

参考数据：sin32o≈0.5,cos32o≈0.8,tan32o≈0.6.）

三、解答题

/ɔ,ʌ2i_2

24.先化简，再求代数式。一卫二二二的值，其中α=tan60°,b=6cos30°.

Ia）a

25.如图，为了测量东西走向的公路桥梁A8的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C,

测得/1在C北偏西37。方向上点8在C的北偏东53。方向上若测得AC=240米求公路桥梁A8

的长（精确到1米）.（参考数据Sin37。z0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75）.

AB

C

26.如图，在44BC中，AC=AB,ZfiAC=90°,。是AC边上一点,连接BD,A尸于点

F,点E在即上，连接AE,CE,ZEAF=45°,若tanNECD=：,BC=6,则BE的长为

27.如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3

是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆A3的长为60Cm,点。是AB的中点，前支撑板

（1）如图2,当支撑点E在水平线BC上时则支撑点£与前轮轴心B之间的距离BE的长为;

4

（2）如图3,当座板。E与地面保持平行时，求变形前后两轴心BC的变化量（参考数据：sin53°«-,

34

cos53o≈-,tan53o≈—）

5,3；

28.如图，A8是O的直径，AC是弦，。是AB的中点，CQ与A8交于点E,尸是A8延长线

上的一点，且CF=EF.

D

(1)求证：Cf■为。的切线；

(2)连接80,取BQ的中点G,连接AG.若b=4,tanZBDC=ɪ,求AG的长.

29.如图，。是JIBC的外接圆，AB为。的直径，点E为。上一点，EF/AC交48的延

长线于点尸，CE与AB交于氢D,连接BE,ZBCE=ZABC.

F

(1)求证：E尸是。的切线.

3

(2)若3尸=2,SinZBEC=-,求。的半径.

参考答案：

1.A

解：如图，

∙,∙Rt"BC中，ZC=90o,AB=IBC,设BC=αAB=2a,

2222

:.AC=√ΛB-BC=y∣(2a)-a=√3a,

：.COSA=世=回=2.

AB2a2

故选：A.

2.A

4

解:,.∙RtΔABC,AC=4,cosA=-

.AB=5,BCɪ√AB2-AC2ɪ√52-43ɪ3,

ADBC=ZA,NDCB=NBCA,

:.XDCBsfXBCk,

CD_BC

CBAC

.BC2=CDAC,

.3妇，

AC4

故选：A.

3.B

解：ZB=90o,ZC=30°,

Λ∠1R4C=600,

.∙A。是/3C的角平分线，

..ZBAD=30°,

∙,∙tanZBAD=—,

AB

,,-L=3，

AB3

"AB=C,

,∖AC=2AB=2y∕3,

故选：B.

4.B

解：连接加入Bl,

D

∙.A8为。直径，

：.?D90?,

∙./为工5。内心，

ZABI=NCBI,/CAD=/BAD,

∖ZCAD=ZCBD,

..ZBAD=ZCBD,

..ZIBD=ZIBC+ZCBD=ZABI+ZBAD=ABlD,

.BD=ID,

OILAD,0/过点O,

..AD=2D/,

.AD=2BD,

AB=√AD2+BD2=√5fiD,

.,.sinNCA£>=sin4AL>=^=」==@,

AB√55

故选：B.

5.A

解：如图，设直线y=-Jix+3与JZ轴的交点为再取AE的中点。，连接OnAN,过B

作8〃_L4V于〃点.

对于y=-√Ir+3,令X=O,贝IJy=3,

.∙,E(0,3).

令y=o,贝IJX=6,

.∙,A(√3∙θ).

.∙.0A=√3,QE=3.

-.ZAOE=90°,

-AE=+OE2≈2√3,

.∙AE的中点为D,

DO=DA=DE=-AE=>β,

2

..DO=DA=OA=y∕3,

:.DAO为等边三角形，

.∙.ZA(9D=ZODA=60°,

:.NoDE=I20。.

由旋转的性质可知OM=ON,ZMON=60°=ZDOA,

..ZMON-ZDON=ZDOA-ADON,即ZMOD=NNOA,

「MODANOA(SAS),

.-.ZOAN=ZODE=∖20o.

M为定点，NaW=I20。为定值，

，当例在直线y=-百X+3上运动时，点/V也在定直线AN上运动，

..当点Λ/与点〃重合时，BN最短.

•.点B与点力关于。轴对称,

.∙.β(-√3,θ),

.∙.A5=2√3.

:ZBAH=ISOo-ZOAN=60°,

.βW=ΛB∙sin60o=3,即BN的最小值为3.

故选A.

6.D

解：连接AB,如图所示，

D

AClBC,

:.ZACB=90°.

√ZADC=3(f,

.∖ZABC=ΛADC=30°.

在RtzλABC中，

ΛΓ

tanZABC=——,

BC

.BC=———.

tanZABC

:AC=4,

.∙.BC=^--=4√3.

tan30°

故选：D.

7.C

,连接BG,

CELDF,

..GC是B的直径，

:,BC=IBC=?,,

:四边形ABCD是正方形，

..CD=BC=4,ZDCG=90°,

..NDCE=MZGDC=NG,GD=√CD2+GC2=4√5,

.小丁ED,CD

.,.SinZDCE=-------=SinG=--------,

CDGD'

FnCD2164√5

GD4√55

故选：C.

8.B

解：.NADC=30。，OC=I

,-.Z.COA=2ZCDA=60。,OA=I

∙.A8为。的切线，

：.ZOBA=90°,

在RtOAB中，BA=tanZBOA×OA=√3,

故选：B.

9.A

2222

解：由题意可求出在RtZ∖ABC中，BC=y∣AC-AB≈y∣(y∣5)-∖=2.

由旋转的性质可知8C'=8C=2,

m//BC,

...NBAC'=180°-ZABC=90°,ZCBC=ZACB.

又AB=I,

ARI

SinZACB=-=-,

BC2'

.-.ZACB=30°,

ΛZCBC=30°.

故选A.

10.A

•.四边形ABCD是矩形，AD=4,A8=2√5

.∙,DC=AB=2√3,AD=BC=4,ZB=NDABZADC=90°,

为BC的中点，

..BE=2,

,AanABAE=-=-,

AB3

.•.ZBA£=30o,ZFAD=60°,

.∙AD为。的直径，

.-.ZAFD=90°,

DF=AD-sinAFAD=2√3,ZADF=30°,

二。F=DC=2后C=60。,

二.ZVTQ是等边三角形，

：.CF=DF=DC=2-^3；

故选A.

11.B

解：过点A作ΛE,BD,交BD于点E,

B

□

口口36米

CZIC=]

吕10米T吕I

z∕∕z∕∕∕∕∕∕zz∕z/

甲CD乙

在RtAfiE中，AE=3O米，XBAE=30°,

.∙.βf=30×tan30o=10√3（米），

AC=EO=Bo-BE=（36-IO⑹（米）.

..甲楼高为（36-106）米.

故选B.

12.A

解：连接。C,过点A作AELy轴于点E,过点C作CF_LX轴于点尸,如图所示：

由直线A8与反比例函数y=-'的对称性可知A、B点关于。点对称，

.-.AO=BO.

又AC=BC,

.∙.COLAB.

ZAOE+ZEOC=90o,ΛEOC+ZCOF=90°,

.∙.ZAOE=ZCOF,

又NAEo=90°,ZCFO=90°,

.∙.ΔAOE<^ΔCOF,

.AEOEAO

'^CF~~OF~^OC

AEOE=∖-l∖=↑,CFoF=4,

1

.ΛE^QEOE

CF~±~OF

OF

差=2（负值舍去）,

UtL

"C4B的正切值为岩=器=2

故选：A.

解:.CD=a,NCDB=35。,ABVBD,

.∙,BC=CDsin35o=∙sin35o,

一.点C是AB的中点，

..AB=2BC=2α∙sin35o.

故选：C.

14.C

解：如图，过A作4），BP于。，

由题意知，ZAP£)=60。，？。90?,ZACB=I80。一ZAPB=60。，AC=BC,

:.ZPAD=30o,ABC是等边三角形，AB=AC,

如图，连接,过。作OE_LAB于E,

ΛΓ-ɪADCA4Eʌ/ɜ

4E=_AB04=--------=—AλBd,

2cos3003

设PD=X,贝IJAP=2x,BP=Ax,BD=5x,AD=———=也X,

tanZPAD

在Rt.48。中，由勾股定理得，AB=y∣AD2+BD2=2√7x,

ɪɪ36

•S四边形Apse=SABP+SABc=eXBPXAD÷—×AB×AC×sin60o=ʒ-x∣3,

s.-×4x×∖∕3x-{--×2∖∕7x×2∖∕lx×-=-y∕3,

2227

解得，石=迈,χ2=—巫（不合题意，舍去）

7-7

..AB=4.

.百八*4G

..QA=—Λβ=-----,

33

二.半径为逑，

故选：C.

15.A

解：如图所示，取AP的中点尸，连接£尸,作G”,AE＞于H,作ETLGH于T,

iS.AP=m,

四边形ABCQ是矩形，

/.ZD=90o,AB=CD=3,

CDCD√3

tanZDAC=

AD-辰D-3

.∙.NfiAC=30。，

PG.LAC,

ZAPG=900-ZDAC=60°,

:.PH=PGcosZAPG=-mcos60o=-m,

24

1n

GH=PG∙sinZAPG=-m∙sin60o=—m,

24

NPFE=NBAP=90°,ZEPF=NBPA,

：..EPFSLBPA,

PFEFPEI

'~AP~~AB~~BP~2,

131

EF=-AB=-,PF=-m,

222

.∙.GT=GH-HT=GH-EF=-m--,

42

ET=FH=PF-PH=-m--m=-m,

244

222222

在RLEGT中，FG=GT+ET=(^/??-1)+(1m)=ɪ(>M-ɪ)+ɪ,

当m=也时,EG?取得最小值多,

216

:EG>0,

3

.〔EG的最小值为：.

4

故选：A.

16.30-10√3

解：设旗杆底部为点C,顶部为点。,延长8交直线AB于点E,依题意则小，AB,

贝IJCE=30m,AB=20m,ZEAD=30°,NEBD=60。,

设DE=ΛTΠ,

在Rtz∖83E中，tan600==2-=G

解得BE=3X

3

贝IJAE=AB+BE=(20+^x)加，

*an°_OE_%√3

.,tan30---------7=——-—

在RtZʌAOE中，AEMK3,

20+——X

3

解得X=IO石rn,

CD=CE-DE=30-Wyfi.

故答案为：30-10√3.

17.2√6

解：连接EB,EC,过点F作"/_L3E于H,

:两个菱形形状大小相同，即两个菱形全等，

,EB=EC,NBEF=NCEG,

,EFLEG,即:ZFEG=90o=ZFEC+ZCEG,

ZFEC+ZBEF=90o=ZBEC,

.∙.BEC是等腰直角三角形，贝,

∙.∙BF=EF=2cm,/BFE='20。,FH±BE

：.NFBH=NFEH=30。,BH=EH=LBE

2

.∙.β∕7=BF-cos30o=√3cm,

BE=2Λ∕3CΓ∏

又∙.∙四边形ABCQ是矩形，

AD=BC=∖plBE=2∖∕6cm,

故答案为：26.

54

d1θ8.—

5

解：如图，过点。《作OEJ_A。于点

MB=IO,AD=6,由旋转的性质可得AB'=10,

在Rt中，由勾股定理可得DQ=JlO?-6?=8,

又•：/£>'A8'=90°,

.∙,ZD'AD=90°-NDAB'=NDB'A,

.∙,cosZD'AD=cosZDB'A=-=—=-,

AB'105

AE4

''~AD'~~5

,Y

18

在Rt△。/E中由勾股定理，得DEADAE

'=72-2T

_1八七_1,18_54

c=2A4nDDE=2X(>X~5=~5∙

故答案为：］54.

19.8

解：如图所示，连接AC,交80于点。，过点/作于点/,

・「四边形ABCQ是菱形，

..AClBD,OD=OB,

:.FM//OC,

DE工BD

,DE//OC1

OD=OB,

BCBO

W=而=I1

即BC=CE,

,OC=-DE,

2

.∙.AC=DE,

又AC〃DE

•・四边形AC%）是平行四边形，

.DF=FC,

MF//OC,

DMDF

~0M~'FC'

,OM=MD,

MF=-OC,

2

AB//CD

:./CDB=ZABD

√DF=√13,tanZABD=-

3

.∙.tan∕MOb=2="1

3DM

设MF'=2α,贝IJZW=3α,

22

.∙.DF=λ∕(2rz)÷(3t/)=y∕∖3a

：.a=\

.FM=2i

,∖DE=2OC=4MF=S,

故答案为：8.

2°∙f

解：延长Ao交。于尸，设BB'、CC'交AF于N、E,连接OC,OB,如图，

B'--------

--------C

:BB'：CC'=4：3,

设B8'=4%CC'=3x,

由翻折知A尸是88'、CC'的垂直平分线，

,∖BN=2x,CE=-,

2

AB=BC,

∙'.AB=BC,

NAOB=/BOC,

在一BON和一CoM中，

NBoN=ZCOM

<NCMo=NBN0=96,

OB=OC

.BONACOM(AAS),

..CM=BN=2x,

.AC=2CM=4x,

:ZAMO=ZAEC,ZOAM=ZCAE,

..AMO^AEC,

OMOA

~CE~^AC

..OM=1r,

O

在RjAOM中，由勾股定理得，（2x）?+

解得r=电叵

55

.*2√55

..BM=------X.

11

2√55x

.∙.tan∕8AC=BMZnZ=叵.

AM2x11

故答案为：3I.

11

21.—

9

解：连接8。并延长，交AC于点。,过点。作OEI_BC于点E,

A

∙.∙半径为1的。与边长为36的等边三角形ABC的两边AB,3C都相切，

ΛZABC=60o,AC=BC=3√3,OBZABC,OE=],

.∙,ZOBC=30o,BDIAC,

RQ1OFy

..BO=2OE=2,BD=BC∙cosZDBC=3y∕3×-=-,CD=-AC=-

2222

..OD=BD-OB=-,

2

5

Kn/。CA=翁式二竽

2

故答案为：地.

9

22.冗

解：连接0。，

√ZC=90o,ΛB=4√3,βC=2√3,

sin'C=生=挛」

AB4√32

/.ZBAC=30°,

.∙.ZCOD=60o,cosZBAC=-=—,

AB2

.-.AC=6,

..OC=3,

60°X万χ3

.1C。的长为-----------------=71

180°

故答案为：万.

B

23.105

解：过点。作E>F_LAB于F,过C作CE_L£>F于£,

则NCEF=NCED=ZEFB=ZB=90°,

四边形为BCEF矩形，

..砂=BC=40海里,CE=BF,

由题意，ZCDE=ZDCE=45°,

.DE=CE=BF,

在Rt4D尸中，AF=AB-BF=∖QQ-BF,DF=EF+DE=4Q+BF,

AP1QO_RF

由tan320=—=---≈0.6得BF=47.5海里,

DF40+BF'

.∙,AF=100-47.5=52.5(海里)，

-AD=-af-≈-=105(海里)

Sin32°0,5S壬八

故答案为：105.

D

20£

a-b

24.

a+b

解：原式=回"Xa-b

a(α+⅛)(β-⅛)a+b

:a=y∣3,b=6×——=3Λ∕3.

2

百T√3-3√3-261

；原式=7-----7=L=一二・

√3+3√34√32

25.约400米

解：作C"LAB于点“，则NA”C=90。,

在一ABC中，ZACB=37°+53°=90°,

.∙.ZA+ZB=90°,

√ZACW+ZA=90°,

^ABC=ZACH=37°,

ΔΓ,

VsinZABC=-,

AB

Ar?40

.∙.A8=上一≈竿=400（米）,

sin3700.60'f

答：公路桥梁/18的长约为400米.

26.亚

5

解：如图，作A∕∕J∙E4交8。的延长线于“,连接C”,

,ZEAH=ZBAC=fXr,

.∙.Z1=Z2,

AFlEF,ZEAF=45o,

:.ZAEH=45°,

.•.△A£W是等腰直角三角形，

:.AE=AH,

在ABE和Ae”中，

AB=AC

LZ1=Z2

AE=AH

..AftE-AC”(SAS),、

.BE=CH,

如图，延长CE交A3于7,

3

.∙.tanZ.ECD=tanZTCA=—,AC=AB=3y/i,

,-,AT=—,CT=^-,tanZCTA=,

443

.∙,βτ=Aβ-AΓ=3√2--=—,

44

如图，作ECAB于L,

设包=4a,贝∣j7L=34,ET=5α,BL=8T+7X=逑+34,AL=AT-TL=^■-3a,

44

CE=CT-ET=^!^-5a,

4

在RtBEL中,由勾股定理得8后2=8必+后乙2=(乎+3。)2+(44,

在RtVA皮中，由勾股定理得4后2=4/?+£/?=(呼_3〃)2+(44)2,

.∙,C∕∕2=5E2=(^+3α)2+(4α)2,AH2=AE2=(^-3a)2+(4a)2,

.∙,E∕∕2=2[(^-3α)2+(4a)2],

4

√ZA77C=ZAEB=180o-z×AEF=135°,

.∙.ΔEHC=ZAHC-ZAHF=135o-45o=90o,

在Rtz∖CE”中，由勾股定理得CE2=CH2+E犷，即

(ɪ^ɪ-50f=(哼+3α)2+(4a)2+2[(呼-3a)2+(4a)」，

解得:"=吟＞

.M3后

..θɛ=---,

故答案为：巫.

5

27.(1)36cm

(2)4cm

(1)解：过点。作DFLBE,

由题意可知：Afi=60,点。是AB的中点，DE=30,ZABC=53°,

..B。」AB=30

2

:,BD=DE=30,

..BF=BDcosZABC=30×-=18,

..BE=23尸=36(Cm).

故答案是：36cm.

图2

(2)(2)过点。作。MLBC,过点E作ENLBC,

由题意知四边形。Ew是矩形，

：.MN=DE=3。,