第6章质点系力学基础与刚体运动

第6章质点系力学基础刚体的运动6.1

质心和质心运动方程6.2

质心参考系6.3

刚体的定轴转动6.4

旋进6.5

两体问题

质点系整体随质心的平动；各质点相对于质心的运动。质心运动质心参考系◆基本的动力学方程一般原理典型运动◆质点系复杂运动的处理：“分解”16.1

质心和质心运动方程(已讲）一.质心定义质心的位矢回顾：二.质心的速度三.质心运动定理（方程）26.2

质心（参考）系质心系是固结于质心上的平动参考系（一般原点选在质心上）。质心系不一定是惯性系（系统可能受外力）。一.质心系是特殊的参考系1.是零动量系2.3.对质心无论是否是惯性系，在质心系中均满足下述规律！3由质心系中的速度＋质心定义易证结论2：结论3：惯性力对质心的力矩之和为零（质心系中质心的位移＝0）结论1：证明：设C.M系为非惯性系,需考虑惯性力的功（课下证）即：质心系中惯性力的总功恒为零。4二.系统的运动与质心运动之间的关系：结论不是不言自明的！对同一点C.M系，对质心运动学量：动力学量对实验室参考系5注意：从运动学的角度，运动可任意分解但动力学量关系和动力学方程却只有选择相对质心的运动才能简化！如动能关系：=0构成解决质点系运动的基本动力学方程组+守恒定律动量定理角动量定理功能原理＋质点系的◆质心运动方程+

6例1

讨论两自由粒子碰撞的动能损失解：“自由”→动量守恒弹性碰撞完全非弹性碰撞向粒子内部自由度转移（粒子物理〕最大可利用动能——资用能等于质心系中系统初动能，两种极端7设为两相同粒子碰撞：全部动能可用→对撞机的思路！②若以相等速率对撞：①若其一运动，其一静止资用能

Ek0/2按狭义相对论计算，二者相差很大。如北京正负电子对撞机：对撞能量2×2.2GeV

相同资用能，单粒子的能量需1.9×104GeV8例2

如图，轻质杆长l，两端固结球；球A以速度v0，⊥杆与杆端球碰；

mv0O轴mmCA水平光滑求：碰后1)角速度;2)对杆的作用力碰后粘合，三球质量同为m。解：1)对三球系统，碰撞过程只有轴处有外力

所以角动量（对O）守恒。9末态：2)碰后均匀转动。系统的质心作匀速圆周运动质心的半径：运动方程：初态：(l/2)mv0轴力牛Ⅲ10例3

如图，例2中连球杆自由平放，碰撞为弹性。其他条件不变，求碰后杆的运动。ABv0解：三球系统，碰撞前后动能、动量、角动量（对任一定点）不变，设碰后分别为：v1;v2c，ω；

有无约束选择与Α重合的定点，由角动量守恒：11三式联立解得：三个守恒式化简为：碰撞后球1静止；杆既平动又转动。126.3

刚体定轴转动刚体：特殊质点系——相对位置不变运动：平动、定轴转动平面平行运动、定点运动…分解一.运动描述刚体

OvP×ω,αrr定轴

参考方位θz角速度角加速度—对圆心的位矢。13二.转动方程对O点讨论对转轴z的分量式：方程的得出：由质点系角动量定理：刚体

O×ω,α定轴zri

θviri

miΔi与力沿转轴的分量无关！分解：14令刚体对z轴的转动惯量则转动方程是刚体定轴转动的基本动力学方程！所以刚体定轴转动时，质点系角动量定理沿转轴的分量式可简化为：15三.转动惯量（rotationalinertia）（自学）定义：连续质量分布Jz反映转动的惯性；取决于质量相对于转轴的分布。计算：◆平行轴定理：以过质心的平行轴的转动惯量最小◆可叠加Cdmz—到转轴的距离演示：转动定理（KL013）16四.功和能力的功：力矩的功转动动能：质点刚体◆定轴转动刚体与直线运动质点之间的对比：定轴转动时，功和动能可用角量表示。（课后自己导出）17例1

如图，定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌面水平光滑。已知m1,m2,m3，R.

求：两侧绳拉力。

m1

m2

m3RT1T2解：各物受力如图对m1,m2，由牛顿定律对m3,由转动定理无相对滑动：解得18例2

如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，角时的角求：杆摆到速度和对轴的作用力解：杆摆动过程，机械能守恒。轴Oωθ··CABl,ml/419解得应用质心运动定理求轴力：NnNtmg设轴对杆的力方向如图，有质心加速度：20以上方程联立解得轴对杆的力：解中“－”号表示Nt方向与所设方向相反。由牛顿第三定律，杆对轴的力与上解等值反向。转动定理21五.角动量守恒单一刚体：物体：刚体系：例：冰上芭蕾22*特例：质量对转轴对称分布时L如图：若Lz守恒即总L守恒p1·r1L1p2×r2L2m2=m1m1Oωzl/2l/2演示：茹可夫斯基凳；

角动量合成和守恒仪；陀螺仪。（KL016，022，029）mm23例转盘上站立一人，沿边缘行走一周。求:转盘转过的角度。解：人＋转盘，守恒：解得相对运动：z24*六.刚体平面运动平面运动随质心的平动绕过质心的轴的转动例1

如图，已知m1,m2,R,桌面水平光滑，滑轮质量不计求：圆盘角加速度解：对m1,由牛Ⅱ对m2，由质心运动方程相对质心的转动方程运动学关系：25例2

匀质球由静止沿斜面无滑动滚动（纯滚动）求质心下降h时的vc及斜面的摩擦力fr解：无滑动，不作功球(＋地)E

守恒无滑动：由质心系中动能定理：代入ω值得26结果讨论：静摩擦力在能量转换中的作用把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为：

随质心的平动＋绕质心的转动等值，反向摩擦力对此作负功摩擦力对此作正功二者之和为零，摩擦力使减少的势能不是全部转换为平动动能，而是部分地转换为转动动能。276.4

陀螺的旋进（进动）precession质量呈轴对称分布的刚体（陀螺）：一.旋进现象·mgO不转，倾斜放置重力矩使之倾倒。绕对称轴高速旋转不倒，其对称轴旋转·mgO28二.旋进的产生因为质量对称分布，陀螺自转：‖‖对称轴×MdLω∥L·mgθO在对称轴上：由角动量定理，∵∴只变方向，不变大小旋进产生高速旋转的物体，其（自）旋转轴绕另一轴旋转的现象称为旋进29三.旋进角速度演示：车轮的旋进（KL023)旋进方向？如图：由角动量定理：dΘΩθLsinθLOθ亦即之间的夹角。30关于旋进方向：×①如图例：×②自转方向不变，

m1>m2,Ω③m1<

m2,自旋与①反，Ω反向。m1m2ll31*说明：讨论有近似！只有才有的影响：自转轴在旋进中出现微小的上下的周期性摆动——章动（nutation）。特征：不屈从于外力矩，保持对称轴的稳定。应用：炮弹出口时的旋转以维持飞行的稳定四.地球的旋进：1)地球的非球形（赤道半径较大）；

2)地球自转平面与公转平面不重合。地球旋进的成因:32旋进相关天文现象：1）岁差：春分点和秋分点的位置沿黄道西行，导致一个回归年<一个恒星年，即岁差。

2）北天极（地理北极的指向）的变动：四千多年前：北天极为天龙座α星，三千多年前：北天极为小熊星座β星，现在：小熊星座α星；12000年后：将是织女星。旋进周期是25800年旋进结果：赤道平面在太空的方位发生改变。黄道平面（公转）赤道平面北天极地轴天轴上述原因造成引力对地球质心的力矩→旋进336.5

两体问题两体问题：两体在相互作用下的相对运动：约化质量（reducedmass)一.两体运动的动力学方程相对参考系为非惯性系，所以应考虑惯性力，有即：以μ代替惯性质量，相对运动方程形式与惯性系中形式相同！341.相对运动的动能、角动量中的惯性质量代之以2.万有引力势能不变！例双星（质量相同）相互作圆周运动，测定T,r12,求m。

二.相关的动力学量（系统的引力势能与参考系无关）35三.应用——太阳参考系严格：太阳和行星相互作用为两体问题，修正——*氢原子能量：观察光谱的精细结构可验证。开普勒第三定律*行星运行周期的修正长半轴36*四.从三体问题说开去初始条件：无初速；初位置：A点附近两大星间距离=1单位，小星初始位置:A点正上方0.1单位的范围内的十个不同点——初位置仅相差0.01单位，t=1s，5s,25s

质点的各对应位置如下图示意例：两大星，一小星。在两大星的质心系中考察小星的运动——非线性方程，数值解三体如何？新情况！AM1M20.111137t=1st=5st=25s123456910A