《数轴》名师教案

.2.2数轴（蒋庆东）一、教学目标（一）学习目标1.理解数轴的意义和数轴上的点与有理数的对应关系；2.会正确画出数轴，会根据数轴上的点读出所表示的有理数，会用数轴上的点表示给定的有理数；3.掌握从数与形两方面考虑问题的方法，能够用数轴解决现实生活中的实际问题。（二）学习重点理解数轴上的点与有理数的对应关系（三）学习难点用数轴上的点表示有理数，并用数轴解决现实生活中的实际问题。 二、教学设计（一）课前设计1.预习任务规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫作数轴；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的原点表示的数是0；一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示数的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。2.预习自测（1）下列表示的数轴，正确的是（）-2-20-121-1-20123-3-10123-202ABCD【知识点】数轴【解题过程】解：单位长度不统一，故A错误；－1、－2标反了，故B错误；没有正方向，故D错误，所以应选C【思路点拨】根据数轴的三要素即可判断.【答案】 C（2）在数轴上，原点及原点右边的数是（）A．正数B．负数C．整数D．非负数【知识点】数轴【解题过程】解：在数轴上，原点及原点右边表示的数是非负数。【思路点拨】根据数轴的概念即可求解；【答案】D（3）在数轴上表示－3，0，5，4，的点中，在原点左边的点有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【知识点】数轴【解题过程】在数轴上表示－3，0，5，4，的点中，在原点左边的点有－3，【思路点拨】根据数轴的概念知，在原点左边的点表示负数即可求解.【答案】C（4）如图，在数轴上，A、B、C、D、E各表示什么数？-33-33-44-22-110123ABCDE【知识点】数轴【解题过程】解：由图可知：A表示－1，B表示1.5，C表示－1.5，D表示－3.5，E表示3.【思路点拨】可先观察该点在原点的左侧或是右侧，判断其正负，再看该点到原点的距离即可判断.【答案】A表示－1，B表示1.5，C表示－1.5，D表示－3.5，E表示3.课堂设计知识回顾什么叫正数？什么叫负数？整数和分数统称什么数？整数包括哪些数？分数包括哪些数？问题探究探究一理解数轴的意义★●活动探究：在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.师问：（1）用什么可表示马路？方向呢？可以以什么地方为基准点？为什么？(分组讨论,交流合作,动手操作）师生合作画出对应的图形师问：能否用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系呢？生答：问题中，由于“东”与“西”、“左”与“右”都是具有相反意义，所以可以用正、负数来表示它们。(分组讨论,交流合作,动手操作并画出相应的图形）师追问：你能说出图中各个数所表示的实际意义吗？总结：可以用数来表示各个点的位置，反之，各点的位置也可用数来表示。生活中的温度计也是这样的应用。【设计意图】先给出情境,学生观察、思考、研究、表示，增强学生的合作意识.让学生初步了解生活中的位置可以用数来表示其位置，为后续的学习作铺垫●活动师问：生活中，可以用一条直线上的点来表示数，把这条直线叫做数轴。那么如何建立数轴，它又需要满足哪些条件呢？（师生共同完成数轴建立）总结：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.三要素相辅相成，缺一不可。为画图方便，通常把直线画成水平或竖直的；原点表示数0，原点向右（向上）为正方向，表示正数，原点向左（向下）为负方向，表示负数。单位长度要适中，要根据题目的具体情况出发。【设计意图】通过师生互动，相互合作，学生与老师一起完成数轴，让学生明确数轴的正确画法与注意事项，为后面的学习奠定良好的基础。探究二会正确画出数轴，会根据数轴上的点读出所表示的有理数，会用数轴上的点表示给定的有理数★▲●活动会根据数轴上的点读出所表示的有理数例1如图，在数轴上，A、B、C、D、E各表示什么数？-33-33-44-22-110123ABCDE【知识点】数轴【数学思想】数形结合【解题过程】解：由图可知：A表示－0.5，B表示1，C表示－1.5，D表示－4，E表示2.5.【思路点拨】可先观察该点在原点的左侧或是右侧，判断其正负，再看该点到原点的距离即可判断.【答案】A表示－0.5，B表示1，C表示－1.5，D表示－4，E表示2.5.同类练习：写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数:-33-33-44-22-110123ACBED【知识点】数轴【数学思想】数形结合【解题过程】解：由图可知：A表示0，B表示－2，C表示1，D表示2.5，E表示－3.【思路点拨】可先观察该点在原点的左侧或是右侧，判断其正负，再看该点到原点的距离即可判断.【答案】A表示0，B表示－2，C表示1，D表示2.5，E表示－3.【设计意图】通过练习，让学生能正确画出数轴的同时，还能较熟练的根据数轴上的点读出所表示的数.●活动会正确画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数例2在数轴上表示下列各数：－2，0.4，1，，+2.5；【知识点】数轴【解题过程】解：【思路点拨】先根据题意画出合适的数轴，再把对应的数表示出来即可.【答案】同类练习：在数轴上表示下列各数：，0，﹣2.5，﹣3，．【知识点】数轴【解题过程】解：将各数用点在数轴上表示如下：【思路点拨】先根据题意画出合适的数轴，再把对应的数表示出来即可.【答案】【设计意图】通过练习，让学生能根据数据的大小画出合适的数轴，并能将所给的数在数轴上表示出来，初步体会数形结合的思想.探究三能够用数轴解决现实生活中的实际问题▲●活动例3在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬2个单位长度到达点B，然后向左爬了10个单位长度到达点C．（1）写出A、B、C三点表示的数；（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发向哪个方向爬了几个单位长度得到的？【知识点】数轴【解题过程】解：（1）依题意得：A：0+4=4，B：4+2=6，C：6﹣10=﹣4；（2）∵C点表示的数是﹣4∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到．【思路点拨】根据正负数在数轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答，还可以先画出数轴，由于数值不大，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优越性．【答案】（1）A：0+4=4，B：4+2=6，C：6﹣10=﹣4（2）从原点出发，向左爬行4个单位长度得到．同类练习：已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，若点A到原点的距离为3，那么B点所表示的数是多少？【知识点】数轴【解题过程】因为点A到原点的距离为3，所以点A表示的数为+3或－3，又A、B两之间的距离为1，所以B点所表示的数可能是－4，－2，2，4.【思路点拨】可以先画出数轴，再根据题意找出A点的位置，特别地当一个点到原点的距离为一个定值时，要注意这点可能在原点左侧，也可能在原点右侧；再根据AB两点的距离求出B的位置，注意分类讨论。【答案】－4，－2，2，4.【设计意图】通过练习，让学生感悟数轴在实际生活中的应用，解决与数轴有关的实际问题，同时让学生体会数形结合的优越性，引导学生在今后遇到相关问题时，也可用数形结合的方式来解决相关问题.3.课堂总结知识梳理规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫作数轴；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的原点表示的数是0；一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示数的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。重难点归纳（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.三要素相辅相成，缺一不可.（2）在画数轴时要注意：为画图方便，通常把直线画成水平或竖直的；原点表示数0，原点向右（向上）为正方向，表示正数，原点向左（向下）为负方向，表示负数；单位长度要适中，要根据题目的具体情况出发。（3）注意体会数形结合的思想，并能运用数形结合的方式解决相关问题。课后作业基础型自主突破1.下列数轴画得正确的是()【知识点】数轴【解题过程】解：没有正方向，故A错误；没有单位长度，故B错误；正方向方向错误，故C错误；所以应选D【思路点拨】根据数轴的三要素即可判断。【答案】D2.下列说法中正确的是()A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数；B．数轴上两个不同点可以表示同一个有理数；C．某些有理数不能在数轴上表示出来；D．任何有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点【知识点】数轴【解题过程】解：数轴上的每一点只能表示一个数，故A、B错误；每个有理数都可以用数轴上的点来表示，故C错误；所以应选D【思路点拨】可根据数轴上的每一个点都对应一个数且每一个有理数都可以用数轴上的点来表示进行判断.【答案】D在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是（）A．－2B．2C．D．不能确定【知识点】数轴【解题过程】解：在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是2或－2.【思路点拨】在数轴上到原点的距离等于一个定值的点有两个,一个在原点左侧,一个在原点右侧.【答案】C4.指出下面数轴上的点表示的有理数A，B，C，D.【知识点】数轴【解题过程】解：由题意得：A：－3，B：2，C：－1.5，D：－1【思路点拨】先根据该点的位置判断正负，再观察该点到原点的距离即可求解.【答案】A：－3，B：2，C：－1.5，D：－15.观察数轴可知，在－3与3之间（不包括－3和+3）的整数有个，它们是．【知识点】数轴【解题过程】解：观察数轴可知，在－3与3之间（不包括－3和+3）的整数有5个，它们是．【思路点拨】画出数轴，利用数形结合即可求解.【答案】5；．6.在数轴上分别表示下列各数：A（﹣1）；B（2）；C（0.5）；D（0）；E（2.5）；F（﹣2.5）；G（﹣6）．．【知识点】数轴【解题过程】解：由题意可得：【思路点拨】根据数轴的定义及点在数轴上的表示方法作答【答案】能力型师生共研1.如图所示，数轴上一动点A向左移动2个长度到达点B，再向右移动5个单位到达点C，若C点表示的数为1，则点A表示的数为（）AABC0125A．7B．3C．－3D．－2【知识点】数轴【解题过程】解：数轴上一动点A向左移动2个长度到达点B，再向右移动5个单位到达点C，若C点表示的数为1，则点A表示的数为－2.【思路点拨】先向左移动2个单位，再向右移动5个单位，相当于将点A向右移动3个单位得到C即1，进而可求A.【答案】D2.若A、B两点在同一条数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为．【知识点】数轴【解题过程】解:若A、B两点在同一条数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为5或－1.【思路点拨】根据到一个定点的距离等于一个定值的点有两个，再结合数形结合即可求解.【答案】5或－1.探究型多维突破1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出长为2015cm的线段，则线段盖住的整点个数是（）A．1012或2013B．2013或2014C．2014或2015D．2015或2016【知识点】数轴【解题过程】解：当线段两端点是整数点时，一条长2015cm的线段AB，则被线段AB盖住的整数有2016个，当线段的两端点不是整数点时，一条长2015cm的线段AB，则被线段AB盖住的整数有2015个，故选：D．【思路点拨】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案．【答案】D2.一只跳蚤在数轴上的某点P0处，第一次从P0向左跳1个单位长度到达点P1，第二次从点P1向右跳2个单位长度到点P2，第三次从点P2向左跳3个单位长度到点P3，第四次从点P3向右跳4个单位长度到点P4……按以上规律跳了100次后，它落在数轴上的点P100处，且点P100所表示的数恰好是2017，求这只小虫的初始位置点P0所表示的数是多少？【知识点】数轴【解题过程】解：设点A所表示的数为，则由题意可得：，解得【思路点拨】根据向左为负,向右为正，列出算式即可，然后再找出对应的规律，根据规律计算即可求解.【答案】1967自助餐1．若数轴上的点M对应的数是－3，那么将点M向右移动4个单位长度，此时点M表示的数是（）A．－7B．1C．－7或1D．都不是【知识点】数轴【解题过程】解：数轴上的点M对应的数是－3，则将点M向右移动4个单位，此时点M表示的数是1.【思路点拨】画出数轴利用数形结合思想即可求解.【答案】B2．在数轴上，表示到原点的距离为3个单位长度的点表示的数是（）A．3B．－3C．3或－3D．都不是【知识点】数轴【解题过程】在数轴上，表示到原点的距离为3个单位长度的点表示的数是3或－3.【思路点拨】在数轴上到原点的距离等于一个定值的点有两个,一个在原点左侧,一个在原点右侧.【答案】C3．一只蜗牛从原点出发，先向左爬行了4个单位，再向右爬了7个单位到达终点，规定向右为正，那么终点表示的数是．【知识点】数轴【解题过程】一只蜗牛从原点出发，先向左爬行了4个单位，再向右爬了7个单位到达终点，规定向右为正，那么终点表示的数是3.【思路点拨】画出数轴利用数形结合思想即可求解.【答案】34.数轴上与原点的距离小于5且表示整数的点有个，分别是．【知识点】数轴【解题过程】数轴上与原点的距离小于5且表示整数的点有9个，分别是±4，±3，±2，±1，0．【思路点拨】画出数轴，利用数形结合思想即可求解.【答案】9；±4，±3，±2，±1，0．5.小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；（2）求小彬家与学校之间的距离；（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？【知识点】数轴【解题过程】解：（1）如图所示：（2）小彬家与学校的距离是：2+1=3（km）．故小彬家与学校之间的距离是3km；（3）小明一共跑了（2+1.5+1）×2=9（km），小明跑步一共用的时间是：9000÷250=36（分钟）．答：小明跑步一共用了36分钟长时间．【思路点拨】（1）根据题意画出对应的图形即可；（2）计算2+1即可求出答案；（3）先求小明一共跑的路程，再根据时间=路程÷速度即可求出答案．【答案】（1）（2）3km；（3）36分钟.6.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴