四川省高二年级上册期末考试数学（理）试题（解析版）

一、单选题

1.已知点Z(3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则|/例=()

A.25B.12C.10D.5

【答案】C

【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.

【详解】因为点血3,0,-4)关于原点的对称点为8,所以8(-3,0,4),

因此|/例=J(_3-3)2+(0-0)2+(4+4)2=10)

故选：C

2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事

件“至少有1名女生”().

A.是对立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件

【答案】D

【解析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.

【详解】事件“至少有1名男生”与事件"至少有1名女生“能同时发生，即两名学生正好一名男生，

一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.

故选：D

【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.

3.设直线，：ax+(a-2)y+l=0,l2-.x+ay-3=0.若…,贝匹的值为()

A.0或1B.0或-1C.1D.-1

【答案】A

【分析】由两直线垂直可得出关于实数。的等式，即可解得实数。的值.

【详解】因为则a+a("2)=a(a-l)=0,解得°=0或1.

故选：A.

4.已知三条不同的直线/,小,〃和两个不同的平面a,P，下列四个命题中正确的是()

A.若则机〃〃B.若〃/a,机ua,则〃

C.若a上月」ua,贝！|/J■夕D.若///a,/_!_£,则al■力

【答案】D

【解析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.

【详解】若可以有或加，”相交,故A错;

若IUajnua,可以有"/4或/、加异面，故B错；

若可以有/_!_£、/与/斜交、/〃力，故C错;

过/作平面/a=n,则〃/〃，又/_L£,得〃，£,〃u£,

所以故D正确.

故选:D

【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.

5.已知直线1：3x+4y-12=0,若圆上恰好存在两个点P,Q,且它们到直线1的距离都为1,贝U

称该圆为“完美型''圆，则下列圆中是“完美型”圆的是

A.Y+yJlB.x2+y2=l6

C.(X-4)2+(J；-4)2=1D.(X-4)2+(^-4)2=16

【答案】D

【分析】根据题意，算出到直线1距离等于1的两条平行线方程为3x+4y-7=0或3x+4y47=0,当圆

与这两条直线共有2个公共点时满足该圆为“完美型”圆.由此对A、B、C、D各项中的圆分别加以

判断，可得本题答案.

【详解】解：设直线±3x+4y+m=0,屿1的距离等于1则匚!——^1,解之得tn=.7或」7,即F

的方程为3x+4y.7=0或3x+4y/7=0,可得当圆与3x+4y.7=0,3x+4y.l7=0恰好有2个公共点时，满足

该圆为“完美型”圆.

对于A,因为原点到直线r的距离d=7(或1号7，两条直线都与x2+y2=l相离，故x2+y2=l上不存在

点，使点到直线1：3x+4y/2=0的距离为1,故A不符合题意.

对于B,因为原点到直线的距离d=(或g两条直线都与x2+y2=16相交，故x2+y2=16上不存在

4个点，使点到直线1：3x+4y42=0的距离为1,故B不符合题意.

对于C,因为点(4,4)到直线r的距离d=］或三，两条直线都与(X.4)2+(y.4)2=4相离，故

(x-4)2+(y-4)2=4上不存在点,使点到直线I：3x+4y42=0的距离为1,故C不符合题意.

2111

对于D,因为点(4,4)到直线1，的距离d=不或所以两条直线中3x+4y一7=0与(x-4)2+

(y.4)2=16相离，而3x+4y」7=0(x.4)2+(y.4)2=16相交，故(x.4)2+(y.4)2=16上恰好存在两

个点P、Q,使点到直线1：3x+4y」2=0的距离为1,故D符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题.

6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输

入x=2,n=2,依次输入。的值为1,2,3,则输出的5=()

A.10B.11C.16D.17

【答案】B

【分析】根据循环结构，令〃=1，2,3依次进入循环系统，计算输出结果.

【详解】解：:输入的x=2,〃=2,

当输入的。为1时，S=l,k=l,不满足退出循环的条件；

当再次输入的。为2时，S=4,k=2,不满足退出循环的条件；

当输入的。为3时，5=11,笈=3,满足退出循环的条件；

故输出的S值为11.

故选：B

7.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位

A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分

B.该同学8次测试成绩的众数是48分

C.该同学8次测试成绩的中位数是49分

D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

【答案】C

【分析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】对于A,由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为56-38=18>15,A正确；

对于B,散点图中8个数据的众数是48,B正确；

对于C,散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48,则8次测试成绩的中位数是48

分，C不正确；

对于D,散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，贝18次测试成绩与测试次数具有相关性，且

呈正相关，D正确.

故选：C

8.平面a过正方体ABCD—ABGDi的顶点A,a平面CS.2，ac平面/8CQ=〃?，

ac平面则m,n所成角的正弦值为

A.@B.正C.且D.-

2233

【答案】A

【详解】试题分析：如图，设平面C8.n平面/88=加，平面CB.n平面/8耳4=/，因为

a〃平面C5Q,所以施〃〃//〃',则也〃所成的角等于“,〃'所成的角.延长AD,过•作

D、E〃B、C,连接则CE为川，同理司环为而8O〃CE,8田〃48,则机〃'所成的角

即为4S皿所成的角’即为6。。，故〃，，〃所成角的正弦值为孝‘选A.

【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线

成形、解形求角、得钝求补.

9.曲线y=与直线y=Mx-2)+4有两个交点，则左的取值范围是()

151353

A.(§,+8)B.(-,+«))C.D.

【答案】D

【分析】化简y=可得为半圆，求出圆心和半径，再根据直线＞=%(》-2)+4过定点(2,4)

,数形结合求得临界条件分析即可

【详解】曲线可化为一+壮一1)2=4620),是圆心为(0,1),半径为2的圆的上半部

分，直线、=%^-2)+4过定点42,4),画出图象如下图所示.

4-13

由图可知，直线斜率的取值最大是77n4,设相切时斜率为左,则直线方程

y_4=A(x-2),即依一y+4・2斤=0,此时即(3-24)?=4r+4,解得力=以，

y/k2+l212

53

故取值范围为

10.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船

有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（）

11975

A.—B.-C.-D.—

16161616

【答案】B

【分析】先确定这是几何概型问题，可设甲乙分别先到的时间，建立他们之间不需要等待的关系

式，作出符合条件的可行域，并求其面积，根据几何概型的概率公式计算可得答案.

【详解】设甲、乙到达停泊点的时间分别是x、y点，

则甲先到乙不需要等待须满足x+6<y,乙先到甲不需要等待须满足v+6<x,

0<x<24

0<y<24

作出不等式组表示的可行域如图（阴影部分）：

y>x+6

y<x-6

正方形的面积为24x24=576,阴影部分面积为2x；xl8xl8=324,

故这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的32概4率9言，

57616

故选：B

11.设4,B,C,。是同一个球面上四点，口/8C是边长为3的等边三角形，若三棱锥。-Z8C体

9

积的最大值为去则该球的表面积为().

_75475)

A.14乃B.124C.---D.一；“

42

【答案】C

【分析】根据已知条件做出图像，结合勾股定理即可求出球的半径R,从而得到球的表面积.

【详解】因%18c是边长为3的等边三角形，故由正弦定理得，

□48C的外接圆半径厂=6，

又因三棱锥D-ABC体积的最大值为擀,

故此时点D到平面ABC的距离d=的”=2G,

^[ABC

由4B,C,。是同一个球面上四点，做出下图，

D

故图中，DE-d,OD=OA=R,AE=r,

由勾股定理得：OE2+AE2=OA2,^(d-R)2+r2=R2,

计算得/?=%叵，该球的表面积=4万公=冬

44

故选：C.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和

接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方

体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方

体的体对角线长等于球的直径.

12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推

理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：

就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线C围成的图形的面积是2+7；

②曲线C上的任意两点间的距离不超过2；

③若P（孙〃）是曲线C上任意一点，则即?+4〃-12|的最小值是I，一严.

其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】结合已知条件写出曲线C的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积

为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线。上的任意

两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直

线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.

111

2^2

--/=-

【详解】当x20且夕20时，曲线C的方程可化为:2+(22

11

2

l\=-

当x4O且夕20时，曲线C的方程可化为:2-z2

111

J\-1.-

当x±0且y40时，曲线C的方程可化为:2-/2/2

111

\,-V-

当x40且＞40时，曲线C的方程可化为:2-ZJ2)2

曲线C的图像如下图所示：

由上图可知，曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为正的正方形的面积之和,

从而曲线C所围成的面积4xg》xg+（应了=2+乃，故①正确；

由曲线C的图像可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即

*x2+收=2应>2,故②错误;

|3w+4/7-12113阳+4〃-121

因为到直线3x+4y-12=0的距离为"=

互+。5

所以\3m+4〃-12|=5d,

当d最小时，易知P（孙〃）在曲线C的第一象限内的图像上，

因为曲线C的第一象限内的图像是圆心为（；,；），半径为孝的半圆，

所以圆心（；,；）到3X+4尸12=0的距离d=%的"一口=17,

227^7^io

从而4nin="一曰=[:二'即|3机+4"-121n=5dmM="，故③正确,

故选：C.

二、填空题

13.将某班的60名学生编号为01,02，.…60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机

抽得的第一个号码为03,则抽得的最大号码是.

【答案】51

【分析】根据总体容量和样本容量，得到抽样间隔求解.

【详解】因为总体容量是60,样本容量是5,

所以抽样间隔为12,

又因为第一个号码为03,

所以所有号码是03,15,27,39,51,

所有最大号码是51,

故答案为：51

x>0

14.已知实数X、y满足约束条件=20,则目标函数z=2x-y的最大值为.

x+y-2W0

【答案】4

【解析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点8（2,0）时目标函数

z=2x-y最大.

x>0

【详解】由题意可知，约束条件为卜20

x+y-2«0

则4(0,2),5(2,0),

结合可行域易知：

目标函数z=2x-y过点8(2,0)时取最大值，最大值为z=2x2-0=4,

故答案为：4.

15.已知直线"zx+"=1(其中白力为非零实数)与圆/+/=4相交于43两点，。为坐标原

点，且408==,则1的最小值为.

3ab

【答案】8

【分析】根据圆的性质可得圆心到直线的距离d=l,根据点到直线的距离公式可得2/+从=1,再

将31+城7变形为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

【详解】设圆心。(0,0)到直线/”+如=1的距离为“，圆/+_/=4的圆心为。(0,0),半径厂=2,

因为N/O8=空，所以/048=工，所以d=1r=1x2=l,

3622

所以/2,2=1，即2/+/=1,

yJ2a2+b2

因为a,b为非零实数，所以g-42>0,

11”212、，11、

12_1=L==2S+—)(/+「)

Ucl

2---------------------------2

=2(1+—^—+^-^-+1)>2(1+2+1)=8,

—1a2a~

2

当且仅当时，取得等号，

42

所以点1+本2的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，考查了基本不等式求最值，属于中档

题.

16.在棱长为1的正方体Z8CQ-48cA中，点用是对角线/G上的动点（点"与A、G不重

合），则下列结论正确的是.

①存在点也，使得平面J•平面8G0；

②存在点材，使得//平面8c2；

③口4。河的面积不可能等于恪；

④若岳，S?分别是口4。/在平面N4G2与平面B8CC的正投影影的面积，则存在点M,使得

S\=S「

【答案】①②④.

【分析】当M是/G中点时，可证明平面平面8G。：②取/G靠近A的一个三等分点记

为M,可证明。胡〃平面片CR；③作4"_L/G，则用40“=4x五xj立］一［立］=立；

Vv7X/

④当£=邑.

【详解】①如图1

当M是/G中点时，可知M也是4c中点且4CL8G，4与，8G，44nBe=4，所以BGJL

平面44。，所以同理可知8。，4河，且8。1口8。=8,所以42_L平面8CQ,又

平面4DW,所以平面/QMJ_平面8CQ,故①正确；

②如图2

取"G靠近A的一个三等分点记为“，记4Gn干2=。，ocn/G=N,

因为zc〃4G，所以吗=曾=:，

ACAN2

所以N为4G靠近C,的一个三等分点，则N为MG中点，

又。为4G中点，所以4MUN0,且/卢口BC，,

4A/E平面8CQ,4。＜z平面8c2，NOU平面8cQ,8Cu平面AC。,

所以〃平面BCR,4。〃平面8cA，且4Mu平面4Du平面4。旭，

4MD/Q=4

所以平面NQM//平面8c%,且£）加匚平面4。例，

所以。M//平面8c4,故②正确；

③如图3

作4/，46,在□//£中根据等面积得：==g

733

根据对称性可知：A1M=DM=旦,又AD=6，

3

所以口是等腰三角形，则Syngx及X[4]-jq

=—,故③错误;

6

④如图4,图5

设=口在平面48C4内的正投影为口4。"一口4。"在平面84GC内的正投影

为二81cM2，所以I=5口4.％=；x*x"j=^,S2=S0B>CM2=x-^--41ax72=|-y-|>当

5=邑时，解得：a=(，故正确.

故答案为：①②④.

三、解答题

17.平面直角坐标系中，己知口/8。三个顶点的坐标分别为血-1,2),6(-3,4),C(-2,6)

(1)求BC边上的高所在直线的方程；

(2)求口”C的面积.

【答案】(1)x+3y-3=0；(2)3

【分析】(1)求出直线BC的斜率，结合直线垂直的性质求出高线的斜率即可

(2)求出点到直线的距离，以及底BC的距离，结合三角形的面积公式进行计算即可

6-41

【详解】⑴由题意，直线BC的斜率k=_2_(_3)=2,则BC边上高的斜率k=-；,

则过A的高的直线方程为y-2=-1(x+1),即X+2y-3=0.,

（2）:8€：的方程为丫-4=2依+3）,.'.2x-y+10=0.

卜2-2+10|_6_6>/5

点A到直线2x-y+10=0的距离d=

6+j=忑==

|BC|=J(-2+3)2+(6-4>=二石,

【点睛】本题主要考查了三角形高线的计算，以及三角形的面积的求解，其中解答中结合距离公式

以及直线垂直的斜率关系是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

18.某种机械设备使用年限x和相应维修费用N（万元）有如下统计数据：

使用年限23456

维修费用2.23.85.56.57.0

已知x和y具有线性相关关系.

（1）根据以上数据求回归直线方程；

（2）该设备使用8年时，估计所需维修费.

,工为弘一加•歹

（参考公式：^=—n---------，a=y-hx）

Xxf-nx2

i=l

【答案】⑴?=L23x+0.08；（2）9.92万元.

【解析】（1）根据表格数据计算可得3,&,由此得到回归直线方程；

（2）将x=8代入回归直线方程即可求得结果.

【详解】（1）由表格数据知：£＞戊=4.4+11.4+22+32.5+42=112.3,

/=!

_2+3+4+5+6/_2.2+3.8+5.54-6.5+7

x=------------=4,y=-------------------=5r,

fx；=4+9+16+25+36=90,

i=\

»1123-5x4x5

=a=5-1.23x4=0.08,

90-5x16

线性回归方程为：j>=1.23x+0.08.

(2)将x=8代入回归直线方程可得：?=1.23x8+0.08=9.92,

即该设备使用8年时，估计所需维修费为9.92万元.

19.如图，在直角梯形ABCP中，AP//BC,APVAB,AB=BC=^AP,。是/P的中点，E、F

分别为PC、尸。的中点，将△产□)沿CD折起得到四棱锥P-ABCD,

(1)G为线段8C上任一点，求证：平面E尸GJ.平面尸Z。；

(2)当G为BC的中点时，求证：/P〃平面EFG.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)先利用线面垂直的判定定理得到CQJ■平面4。，结合E尸〃可得到E/U平面

PAD,接着利用面面垂直的判定定理即可求证；

(2)先利用线面平行的判定定理得到GE〃平面尸/8,EF//平面PAB,然后利用面面平行的判定

定理得到平面EFG〃平面P/8,即可证明结论

【详解】(1)•••△POC中，E、尸分别是P。、尸C的中点，.•.£：&/CD

■■■CDA.PD,CDLAD,PD[\AD=D,PD、/Du平面「力。，

・•.CZ)_L平面PAD,

平面PAD,

••,EFu平面EFG,

平面£■厂GJ■平面PAD

(2)rG为8c的中点，E为尸C的中点，

■■.GE//BP,

••,GE(Z平面尸BPu平面P/B,

；.G£7/平面尸N8,

由(1)知，EF//DC,

"ABIIDC,.-.EF//AB,

••,EFa平面P/8,N8u平面尸48,

.•.EF〃平面PAB,

■：EF{\GE^E,EF、GEu平面E『G,

平面ER?〃平面PAB,

••・P/u平面PAB,

.,•月尸〃平面EFG.

20.某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身

高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组［155,160）,第二组

［160,165）,第八组［190,195］,并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组

［180/85）和第七组［185,190）还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人

数的比为5:2.

（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；

（3）用分层抽样的方法在身高为口70,180］内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男

生，求这两位男生身高都在口75』80］内的概率.

【答案】（1）见解析；（2）174.5cm；（3）0.3.

【详解】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全

直方图；（2）利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（3）先借助分层抽样的特征求出第

四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算

公式求解：

解：(1)第六组与第七组频率的和为:

l-(0.008x$4-0.016x50.04x5*0.04x540.06x54-0.008x5)=0.14

纵坐标为0.008.

0.008x5+0.016x$^0.04x5*0.04<.r-170)=0.5

x=174.5

估计这50位男生身高的中位数为174.5

(3)由于第4,5组频率之比为2：3,按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1,2,

第5组应抽取3人记为3,4,5

则所有可能的情况有：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},

{3,4},{3,5},{415}共10种

满足两位男生身高都在［175,180］内的情况有{3,4},{3,5},{415}共3种,

因此所求事件的概率为10.

21.如图，已知平面四边形/8CP中，。为/〃的中点，PALAB,CD//AB,且

PA=CD=2AB=4.将此平面四边形/8C尸沿8折成直二面角P-OC-8,连接P4PB,设P8

中点为E.

(1)在线段8。上是否存在一点尸，使得平面尸8C?若存在，请确定点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

(2)求直线AB与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】(1)点尸存在，且为线段8。上靠近点。的一个四等分点，即DF:F8=1:3；

⑵B

6

【分析】(1)以。为原点建立空间直角坐标系如图所示，由EF工平面P8C,则

EFPB=O,EFPC=O,列方程即可得出答案.

(2)求出直线的方向向量与平面尸8c的法向量，由线面角的表示方法即可求出答案.

【详解】(I)由题知，平面/BCD/平面尸DC,平面/8C0C平面P〃C=C。，

因为尸£)1QC,尸。u平面尸。C,所以产平面48C。，

又因为QNu平面/8CZ),所以PD_L£M,

则,则以。为原点建立空间直角坐标系如图所示.

结合已知可得42,0,0）,8（2,2,0知C（0,4,0知P（0,0,2知

则尸8中点1,1）.•.•尸e平面08,丽=（2,2,0）,故可设尸（4几0）,

则乔=,VEFA.PBC,:.EFPB=0,EFPC=0,

—一2（/l-l）+2（Z-l）+2=0

又尸8=（2,2,-2）,PC=（0,4,-2）,所以+，

解得4=；,即尸（；,；,0）,

故点尸存在，且为线段8。上靠近点3的一个四等分点，即。尸:尸8=1:3.

一11一

(2)由(1)得■=(—],—于一1)是平面P3C的一个法向量，又45=(0,2,0),

EFAB_1___V|

则得cos小£'8

记直线力5与平面P8C所成角为。，贝Usin8=