山西省2022-2023高三数学上学期开学摸底考试试题

山西省2022-2023高三上学期开学摸底考试

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合力=｛x|(x-4)(x+e)<0｝,8=｛x|-7iWx&兀｝,则=

A.[-兀，7r]B.[-e,e]C.(-e,n]D.(-兀，e]

2.已知复数2=。+为(凡6€11)满足2z=T-(l+J§i),且aVb,则复数z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.命题"Vxe｛；,2,e,兀｝,Inx>1”的否定是

A.Vxe,2,e,兀｝,InxWlB.Vxe,2,e,n｝,Inx^l

22

C.3XG,2,e,兀｝,Inx>1D.3XG,2,e,兀｝,InxWl

22

4.如图，小明从/地去往8地，且只沿向右或向上的方向行进.若在某个岔路口有।——,——

向右或向上的两种选择时，小明选择每一个前进方向的概率均为3，且每次选择||^_|

相互独立，则小明经过。地的概率为

112D.34

A.-B.-C.一

3234

1

5.设Q=log62,b=2^,c=4ab,则a,b,c的大小关系是

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

6.已知-展开式的二项式系数和为64,则该展开式中常数项为

X

A.15B.20C.-15D.—20

7.函1数/(x)=(2,L-27)ln421+0.01的图像J大致是L

--2W2x-3冏\之x：2fo^2x

ABCD

8.已知a,/?,y是三个不同的平面，，，加，〃是三条不同的直线，且an〃=/,m,nuy.在下列条件中,

数学试题第1页(共4页)

能推出/_Ly的是

A.nLI,mLIB.mLILaC.n±a,m±aD.m±a,n±P

已知尸均为锐角，且二；〃

9.a,sina=2sin/9,cosacos,则sin(a—/)=

34C20

A.-B.一C.-----D

553t

10.2022年4月某地突发严重新冠疫情，该地某厂根据防疫要

粽子元宵饺子合计

求暂停作业，所有人员在住宿地自我隔离.4月26日厂里

男201070100

为所有人员准备了免费的爱心食品，所有人员根据自己爱好

女302050100

选择一份（每一份只有一种食品）.厂餐饮部在选择粽子、合计5030120200

元宵和饺子的人员中随机抽取了男女各100名，具体人数如

右表：P(K?2总0.500.050.005

n(ad-bc)2

参考公式及数据：K2=

(a+b)(c+d)(Q+c)(c+d)k。0.4553.8417.879

若以下结论只限于该厂喜欢粽子、元宵和饺子的人员，则错误的是

A.喜欢糯米类食物（粽子，元宵）的人员比喜欢小麦类食物（饺子）多

B.有99.5%的把握认为是否喜欢糯米类食物（粽子，元宵）与性别有关

c.从喜欢粽子、元宵和饺子的人员中任取〃人，视频率为概率，其中喜欢粽子的人数g〜3（〃，；）

D.喜欢糯米类食物（粽子，元宵）的人中，是否喜欢粽子与性别没有明显关系

22

11.已知耳，鸟是双曲线C：六万一/Z_=1的左、右焦点，点?是抛物线产=2px（p〉0）上一点，P,

22

片关于c的一条渐近线对称，直线根与该抛物线的另一个交点为。，r表示以线段入。为直径的圆，下

列结论正确的是

A.直线片P与「相交B.y轴与「相切

c.直线片尸与r相切D.y轴与「相离

12.已知函数/（x）=ln（x+Vx2+l）+y,则下列结论错误的是

A./（X）是（-8,-1］上的减函数

X2

B.g（x）=/（x）—w是R上的增函数

*2

c.g（x）=/（x）-彳是R上的偶函数

D.不等式/（2-x）-/（x）+2x22的解集是{x|xWl}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试题第2页（共4页）

1,3

13.过点P(l,-1)且与曲线了=]/一相切的直线方程是

14.已知向量a,6满足|a|=2|6|,。/=一1,则|a+Z>|的最小值为

15.汉代大将韩信集合部队欲知部队总人数，只要求部下先后按1〜3、1〜5、1〜7报数，再报告一下每次报

的余数.这种算法，称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称韩信点兵，被誉为中国剩余定理，剩余定理是等差数列

的应用.明代数学家程大位用诗歌揭示了鬼谷算：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除

百零五便得知.即用3除所得余数乘以70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得余数乘以15,

就是所得数，若结果大于105(=3x5x7)则减去105的倍数.如52=3x17+1=5x10+2=7x7+3,则52

的鬼谷算式子为52=1x70+2x21+3x15-105.写出134的鬼谷算式子：134=

16.在三棱柱Z8c—中，平面Z8C,AB1BC,AB=BC=2^2,Z4=2百，则以线段力与

为直径的球被侧面截得的弧长为

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知向量a=(石，sin?x),6=(sinxcosx,-1),函数/(x)=a-6+g

(1)求/(x)的单调增区间；

(2)如图，在四边形Z8C。中，BC=CD=DA=1,

NBCD=NBDA.设/CD8=a,若/(a)=l,求/B?的值.

AB

18.(12分)

己知S“是等差数列｛4｝前〃项和，良=81,.+%=26.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)在｛4｝中，去掉以q为首项，以的为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为｛2｝，求

也｝前100项和7；0c.

19.（12分）

如图，在平面四边形Z8C。中，AB=BC,ABLBC,ACAD,ACVAD,F是平面Z8C。外

一点，£是尸。中点.

(1)证明：ZE〃平面P8C；

(2)若P4,平面Z8CD,PA=AB,

求平面P4D与平面P8C所成锐二面角的值.

数学试题第3页(共4页)

20.（12分）

某苗铺是培育、种植巨型景观树的大型企业.该企业为客户首次植树后客户数

免费补植全部未植活树.从种植了树的客户中随机抽取40个，并在给每个客12-------T

10■•

户的首次植树中随机抽取50棵，这每户50棵树的补植情况如图所示.

该企业将为M市的5条大道植树.经测算，该企业在M市每条大道植树

补植树棵数

纯利润(万元)与补种率f(f=)的关系如下表:

首次植树棵数

o12345补植树棵数

f00.020.040.060.080.10

纯利润(万元)503525155-15

(1)视频率为概率，在该企业客户中随机抽取一个，求这位客户的补种率超过0.06的概率；

(2)求该企业给M市植树的每条大道的植树纯利润数学期望Eo；

(3)如果这5条大道每条大道的植树纯利润或者是稣，或者是30万，获得它们的概率都为g,求该企业给

M市植树纯利润J(万元)的分布列和数学期望.

21.(12分)

X22

设椭圆C：Jv=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片(—c,0),6(c,0),点Z是C上第一象限内

ab

的一点，直线Z玛与C另一交点为8,当445片的面积为芋时，4/8耳内切圆半径为

(1)求。的离心率；

(2)点H,Z关于原点O对称，点工在x轴上的射影为。，直线与C的另一交点为E,直线/E交x

轴于点G,证明：

22.(12分)

已知函数/(x)=(a+l)x-alnx----a.

(1)当a<l时，讨论/(%)的单调性；

(2)当。>1时，若再,工2为7(X)的两极值点，且4/a)/(X2)<e2初-2ame.，求正数机的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

数学参考答案

1.【答案】C

【解析】/={x|(x-4)(x+e)<0}={x|-e<x<4},8={x|-7iWxW7i},；.4n8={x|-e<xW7i},

故选C.

2.【答案】c

【解析】由题意可矢口，2a+2bi=(a—bi乂1+)=a+—b)i,

2a=a+6b

所以《解得a=也b，

2b=下a-b

因为a=®Vb，所以b<0,所以aVO,即复数z在复平面内对应的点位于第三象限.

3.【答案】D

【解析】写该命题的否定时，“V”要写成“三”，>要写成W,故选D.

4.【答案】B

【解析】经过C地的概率尸=（3）+（；）=g.

5.【答案】B

【解析】*：a=log62<log66=1,b=2%>2°=1,.*./）>tz>0,a<y［ah<h,:.a<c<b,选B.

6.【答案】A

【解析】因二项式（五一,）”展开式的二项式系数和为64,所以2"=64,所以〃=6.（4-工）”展开式的通

XX

16-3k

项公式为q=c：（4）6i（_与*=（_1）七^^,当左=2,q为常数项，常数项为（一1）2。；=15,所以A

X

正确.

7.【答案】C

【解析】•."（x）=（2':—2-'）也占2+0.01,...函数/（x）的定义域是R,且

/（-x）=（2~x-2X）In7（-x）2+0.01=-（2v-2-x）lnVx2+0.01=—/（x）,是奇函数，它的图像关于

原点对称，又/（2）=（4—，）ln同T>0,选C.

4

8.【答案】D

【解析】当加〃〃时，由A推不出/_Ly,即A错误；同理可知，B,C错误：

若帆_La,可知加与〃交于一点，且〃加所以/_!./,即D正确.

9.【答案】A

【解析】因为sin?a+cos?a=dsin?4+；cos2尸=1,解得sin/?=当，所以cos，=/^,

y/s3

所以sina=—^―,cosa=—,所以sin（a-/?）=sinacos/?—cosasin/?

10.［答案］A

【解析】从表中可知，每200人，喜欢糯米类食物（粽子，元宵）的有80人，比喜欢小麦类食物（饺子）的

120少，所以A错误.又左=2婆3於0=y=§>7879,所以有99.5%的把握认为是否喜欢糯

米类食物（粽子，元宵）与性别有关，所以B正确.在抽取的200人中，喜欢粽子的人有50人，视频率为概

率，由样本估计总体知，在喜欢粽子、元宵和饺子的人中任取一人，该人喜欢粽子的概率为,，所以C正确.同

理在喜欢糯米类食物（粽子，元宵）的男性中任取一个，他喜欢粽子的概率是型=.，在喜欢糯米类食物（粽

3015

思维方糖研究所第1页（共6页）

309

子，元宵)的女性中任取一个，她喜欢粽子的概率是二二二，两者差别很小，所以D正确.

5015

11.【答案】B

X2V2

【解析】设双曲线F—与二1的左焦点耳的坐标为(―C,0),点P的坐标为(%，%).根据题意，线段尸耳

ab

的中垂线为y=—2%，即bx+即=0,.•.|尸片|=弋竺坦型=2人•.•坐标原点。是线段耳工的中点,

ay/b2+a2

\pp\t4〃

；.PFJPF?,设则△耳巴1^1|FM()

M(x0,0),p,y|=x+c=~2c

\F.F2\IP不1^1

2

2b2b?22〃/c2b\皿…/275-123-y[5./2,2

=--->x0—------c,y0-----(2c-----)=—j—.根据条件，b--------，a=-------，.♦c=Ja+b~

ccccc22

=1.；./=石—2,"=4造—8,...4石-8=22(6-2),解得p=2.所以抛物线的解析式为/=

4x,,0)也是该抛物线的焦点，.•.点0(西，必)到该抛物线准线的距离为％+1,即|06|=%+1,

的半径为5线段。6中点横坐标为五F，...「的圆心到〉轴的距离等于「的半径，所以了轴与

「相切.

12.【答案】C

［2x

21----/2

【解析】由/(x)=ln(x++1)+二得广(X)=__24W-+x=-/1-+X，，当xW—l时，/'(x)<0,

2x+Vx2+lVx2+1

/'(x)是(—8,—1］上的减函数，，A正确.g(x)=/(x)-一=瓜(尤+，？+1),.•.g，(x)=-7==>0,

2Vx2+1

g(x)：R上的增函数，.♦.B正确.g(-x)=/.x)-甘忆3+后而］=

InX)=―侬7771+x)=_g(x),...ga)是奇函数，••・€：错误.根据g(x)的奇偶

VX2+1+X

性与单调性知，g(x)是R上的增函数.不等式/(2-加小)+2启2等价于-亨-/(x)+

2

x三0,即g(2—x)\g(x)»2—x2x,•e•xW1»D正确.

13.【答案】y=x-2(或x-y-2=0)

113

【解析】由题意可知切点坐标为(1,一1)，由歹=］一一|.得"=x,.•■切线的斜率为1,.・・切线方程为y+l=

x-1,即y=x-2(或x-y-2=0).

V2

14.【答案】—

【解析】设向量的夹角为。，则4•/>=同・|4COSe=2B「-COSe=—1,所以M『=一」)所以

\a+bf=k「+网2+2a,b=5例2_22_L,即卜+b\的最小值为也.

22

15.【答案】2x70+4x21+1x15-105

【解析】V134=3x44+2=5x26+4=7x19+1,由鬼谷算得134=2x70+4x21+1x15—105.

47r

16.【答案】—

3

【解析】如图，分别取三侧棱BB、,C£的中点4，C2,分别连接a为，B6,A2C2.设

数学参考答案第2页(共6页)

482n9=。,则O是线段4鸟和的中点，即为球心.，4为，AAt1A2C2,A2B2,A2G

是平面4易02内两条相交直线，平面：为4u平面44£C,...平面44CC，平面

.作。。垂足为平面平面，二°°\1平面。/

A2B2C21A2C2,q.AAtctcn432G=4GMQC,：.

为球。被侧面/4GC截得的弧。E的半径.根据条件，4。=

；AB=g,A2B2=B2c2，A2B2182G，工/鸟4。2=：，

01A2—1.VAA2=-AAX—V3»/.(91y4=2.VtanZ.AO[A2=

1-Jr27r/—、47r

=J3,N力。/2=玄，J.ZDO|E=半，DE的长为学.

17.【解析】(1)因为Q=(J3,sin2x),6=(sinxcosx,-1),

所以/(x)=a-ft+—=J3sinxcosx-si"+―=^■sin2x+：cos2x=sin(2x+y),

3分

722226

ITIT

|(^eZ),解得E-产X〈E+/%GZ),

26

7T7T

即/(x)的单调增区间为[E__,E+T/eZ)：.............5分

36

(2)由(1)可知，/(^)=sin(2x+—),则/(a)=sin(2a+3=1.6分

66

因为a是△BCD的内角，a二巴................................7分

6

2兀

因为8C=CD=1,所以N8O4=NBCD=—......................8分

3

^fs^XDB=2CDcosa=2xlxcos—=也............................9分

6

在△力8。中，40=1，由余弦定理得

222

AB=BD+DA-2BD-DAcosZBDA=3+\-2x\xJicos—=4+瓦10分

3

18.【解析】(1)方法一：・・・｛%｝是等差数列，59=81,4+4=26,

9a$=81,2%=26,......................................3分

a5=9,a：=13,..............................................4分

设数列｛«,｝的公差为d,则^=策管=2..........................5分

所以，4〃=%+(〃-5)4=9+2(〃-5),即a〃=2〃_l.................6分

方法二：设数列｛4｝的公差为d.

*.*59=81,%+4=26,

二加+

嗫33分

4+5d+q+7d=26.

解得Qi=1，d=2.................................................................,5分

所以，=4+(〃-l)d=1+2(〃-1),HPan=2n-1..................................6分

(2)设以q为首项，以%为公比的数列为｛%｝，｛%｝前〃项和为/〃.由⑴知的=卬。尸=3〃，

数学参考答案第3页（共6页）

1一3〃1

〃“=一^=—(3〃-1)...........................................................8分

"1-32

=

c5=81>线=243,4os209...................................................10分

•••%)=$5一.5=105x1+胆1^x2—-1)=10904............................12分

19.【解析】(1)设线段CD中点分别连接ZE,EF.

:,E是PD中点，.：EF〃PC.............................1分

：PCu平面P8C,E/二平面P8C,族〃平面尸8C.…2分z(

VAC^AD,ACLAD,：.ZCAF=45\

,:AB=BC,ABIBC,：.ZBCA=45°./\\

'AF〃BC.B/

,:EF,//是平面内两相交直线，.•.平面2£尸〃平面尸BC.\/、\/'、、\

平面/EE,.../E〃平面P8C..................6分平----V__

(2)由PZ_L平面Z6CZ),/Cu平面/BCD,/Du平面/BCD得，VCF

PALAC,PAYAD,又ZCJ_力。，所以分别以直线NC,AD,

ZP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系/一平................................7分

设尸/=工8=后，6(1,-1,0),C(2,0,0),P(0,0,五)，

.•.前=(1,1,0),丽=(-2,0,伪......................................................8分

设，〃=(x,y,z)是平面P8C的一个法向量，则/«_L8C,m1CP,

m-BC=0,nt-CP-0,

x+y=0,

-2x+—0.

不妨取X=1,得/M=(1,-l,逝)...........................................................10分

----tn,AC21

又ZC=(2,0,0)是平面PZ0的一个法向量，且cos<"i,/C>=---==——=—,.......11分

\m\-\AC\2x22

JT

所以平面与平面08C所成锐二面角为2..........................................12分

3

20.【解析】(1)设。="这位客户的补种率超过0.06”，则根据图和样本估计总体得./•超过0.06的值为0.08,0.10,

P(/=0.08)=—=—,P(/=0.10)=—=—........................................2分

40204010

641

由题意得，P(C)=P(/=0.08)+P(/=0.10)=-+—=.............................3分

40404

所以这位客户的补种率超过0.06的概率为工......................................................4分

4

(2)根据图表信息，在M市大道的植树纯利润分布列为：

纯利润(万元)503525155-15

133]_31

P

102010520To

133131

A^^SOx—+35x—+25x—+15x-+5x--15x—=20............................8分

°10201052010

(3)由题意得J的所有可能取值为5x20=100,4x20+30=110,3x20+2x30=120,2x20+3x30

=130,20+4x30=140,5x30=150..............................................9分

%=100)d，%=110)=*)5$,%=12。)=%)5吗4,

数学参考答案第4页(共6页)

P(g=130)=C；(y=导得,P(“140)=吗)5=*PG=15O)=C拈)5=*

•••J的分布列为

100110120130140150

15555111分

P

323216163232

所以E(A)=100x-!-+110x2+120x2+130x9+140xa+150x-!-=125...............

12分

323216163232

21.【解析】⑴设△力8耳内切圆圆心为。「由条件可得△0/8的面积为耳的面积为

^\AF}\~,△(?田月的面积为3|8耳|弓，....................................................1分

+|.：+；|8耳|.g=y-C2,

A(IAB\+\AF[\+\BF,\)b=Ay{2c-.......................................................2分

由椭圆定义知|/3|+|工月|+|瓦冒=4。，..................................................3分

/.ab=A/2C2,即a2b2=2c4.

/.a2(a2-c2)=2c4.....................................................................4分

J7

将。="代入上式，化简得2e4+e2-l=0,解得e=、一(负值已舍).

2

所以椭圆。的离心率为也.....................................................................5分

2

(2)Ve=,.*•a2=2c2,/.a2=2b2,

2

；.C的方程可化为J+A=l,即/+2/_2/=0......................................6分

2b°b2

m

设点/的坐标为（加，n）,贝iJH（-加，一〃），D（m,0）,直线44'的斜率为女"二一，直线的斜率为

n

n

A'D=-

2m

n

・・・直线A'D的方程为y=—(x-m).......................................................7分

2m

JQ

设点E(x0,y0),将丁=——(x—⑼代入/+2/-2〃=0并化简得

2m

(2m2+n2)x2-2n2mx+m2n2-4b2m2=0.

m2n2-4b2m2&“口4b2m-n2m

-mxf>=cF,2.，解得X。=72,2.­

2m+〃2m+〃

nAb2tn-n2m、(2b2-tn2-n2)n

y=——(-------；——m)---------------........................9分

02m2tn~+n22"+n~

(2b2-m2-n2)n

直线AE的斜率为kAE=上上=—2"+[----------=2b；-3m；-2n：n_

x-mAb^m-rrmAh2-2/n2-m

n----o---——m

2m~+"

又加2+2及2-2/)2=o,HP2b2=m2+2n2,

数学参考答案第5页（共6页）

k=-----......................................................................................................................................................10分

AEn

•*,kA©*AE=-1，

：.AA±AE,即0ZJ.4G...........................................................................................................................11分

RJZ12_X_L_vy<J，r/\丫入Z—Z—izlKJLy，••一，

\0D\\AD\

所以|ZO|2=|OO|.|OG|.................................................