2022-2023上海实验中学高三年级上册数学月考试卷及答案

上海实验2022学年第一学期高三年级数学月考

2022.12

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1.A-<x---y2=l,xeR,yeR>,B-<y—+y2=l,xeR_yeR,，则4n8=____.

I4JI4

2.已知函数/（x）=sinx+cosx+xe*,则/（0）=.

3.已知直线/经过点尸（1,2）倾斜角。的正弦值为1,则/的点斜式方程为.

4.己知向量1=（1,6）/=（3,掰）.若向量刃在£方向上的数量投影为3,则实数〃2=.

5.若复数z同时满足z—Z=2i,z=iz,则目=（i是虚数单位，［是z的共粗复数）.

6.若sina=3,且a是第二象限的角，则cot（巴

7.已知/（x）=3f—e"函数/（x）的零点从小到大依次为菁，i=l,2,若

%,.e［/«,w+1）（WGZ）,则写出所有的机所组成的集合.

8.集合S={1,2,3,4,5},从S的所有非空子集中，等可能地取出一个.设NqS,若XGN,

则6-xe4,就称子集Z满足性质p，则所取出的非空子集满足性质p的概率为.

9.在ZXNBC中，设角力,B,C对应的边分别为a,b,c,记△48C的面积为S,

且且4/=〃+2。2,则目的最大值为.

a

10.己知实数；I同时满足：（1）AD=AAB+（1-A）AC,其中。是△ZBC边8c延长线

上一点；（2）关于x的方程2sin2x-（4+l）sinx+l=0在［0,2万）上恰有两解，则实数为的

取值范围是.

第1页共12页

11.已知实数玉，x2,凹，为满足：x：+y；=i,x；+*=l,xxx2+yxy2=,则

।।—-+A/2|X2+%-11的最大值为.

12.对任意xeR,函数/(x)满足：/(x+1)="(x)—,尸(x)+；,an=/'(«)-/(«)，

数列｛4｝的前15项和为—意，数列｛cn｝满足c“+c„+1=[/(2023)]\若数列｛c,,｝的前〃

项和的极限存在，则j=.

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题，每题都给出四个结论，其中有且只有

一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分.

22

13.设点M、N均在双曲线C：?一《=1上运动，K，月是双曲线C的左、右焦点,

1斯+近—2而"的最小值为()

A.273B.4C.277D以上都不对

14.已知函数/(x)=2sin(2x+f),把函数/(x)的图像沿x轴向左平移.个单位，得

到函数g(x)的图像，关于函数g(x),下列说法正确的是()

A.在上是增函数B.其图像关于直线x=-工对称

.42」4

C.函数g(x)是奇函数D.当xe0,y时，函数的值域是[-1,2]

15.直线m，平面a,垂足是0,正四面体Z8CQ的棱长为4,点C在平面a上运动，点

8在直线〃?上运动，则点O到直线的距离的取值范围是()

4立-54拒+5

B.[2拒-2,2拒+2]

第2页共12页

3-2近3+2五

D.[372-2,372+2]

~2~，-2-

16.在平面直角坐标系X。中，已知向量G,几同=忖=1,75=0,点0满足

OQ-y[z[a+b^.曲线C=1p|oP=acos8+加sine,0W8<2乃},

区域Q={P|O〈尸《|可上/?,r<及卜若cn。为两段分离的曲线，则（）

A.l<r<7?<3B.l<r<3<J?C.r<1<7?<3D.l<r<3<7?

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域

（对应的题号）内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

2m'+-|j|sinx|

已知meR,函数/(x)=1+—sinx+cos2x-

（1）若〃?=0,求/（x）的最大值；

（2）若/（x）在时的最小值为:，求加的值.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

JI1

如图，在直角梯形48c。中，ADHBC,NBAD=—,AB=BC=-AD=a,E是4D

22

的中点，。是/C与8E的交点.将△Z8E沿8E折起到如图2中△4BE的位置，得到

四棱锥4一88E.

第3页共12页

(1)证明：cz>J>平面4。。；

(2)当平面46E平面8C£>E时，四棱锥4-8CZ)E的体积

为36五，求a的值.

19.(本题满分14分，第1题6分，第2题8分)

根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为。“和〃(单位：辆)，

f5«4+151<〃<3

其中勺='一一，b„=n+5,第〃个月底的共享单车的保有量是前〃个月的

[-10〃+470,〃24

累计投放量与累计损失量的差.

(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

(2)已知该地共享单车停放点第〃个月底的单车容纳量Sa=-4(〃-46)2+8800(单位：

辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，向该保有量是否超出了此时停放点的单车容

纳量？

第4页共12页

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

22

设耳，耳分别是椭圆。：会+%=1(。>6>0)的左、右焦点，过耳作倾斜角为。的直

线交桶圆。于4,8两点，耳到直线48的距离为3,连接椭圆。的四个顶点得到的菱形

面积为4.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知点M(—1,0),设E是椭圆。上的一点，过£、M两点的直线/交y轴于点C,

若屈=4而，求;t的取值范围；

(3)作直线4与椭圆。交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为(—2,0),若点N(0,f)

是线段尸。垂直平分线上一点，且满足标•福=4,求实数/的值.

第5页共12页

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

记/'(X),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数，若存在与eR,满足〃Xo)=g(x。)

且「'(x())=g'(xo)，则称/为函数/(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数/卜)=%与8卜)=%2+2万—2不存在“S点”；

(2)若函数/(司=加_1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值；

(3)已知函数/(x)=—f+a,g(x)=­.对任意a〉0,判断是否存在6〉0,使函

数/(x)与g(x)在区间(0,+oo)内存在“S点”，并说明理由.

第6页共12页

参考答案

一、填空题

1.[-1,1];2.2;3.y=±[(x—1)+2;4.百；5.V2;6.-3：7.we｛-1,0,3)：

8--:9.噜；10sT)|J｛T-20｝；11.V7+1^/212.1y

12.对任意xeR,函数〃x)满足：/(x+1)="(x)-/2(x)+；，%=f(〃)—/(〃)，

数列｛4｝的前15项和为一工，数列｛.｝满足c“+C“M=[/(2023)]”,若数列｛%｝的前n

项和的极限存在，则C]=_____.

【答案】I

【解析】对任意xeR,函数/(%)满足:/(x+1)=J/(x)-/2(对+；,

%=尸(〃)一/(〃)，则/(x)-/2(%)...0,解得0,J(x),L

...ane[-l,0].

i31(iA71

a〃+]+a〃=数列｛a〃｝的前15项和，.二6+7xI——=-,

3Q味=得"焉"(2019)一/(2019)-卜高=0,

解得q.a

17

解得/(2019)="或屋数列｛c.｝满足%+cn+1=[/(2019)r，

，或图.若c,,+c“+H•数列｛c“｝的前〃项和的极限存在,

第7页共12页

11

c,+_KI=—1.若c„+c„+l=(3],v数列｛q,｝的前n项和的极限存

i__5\4J

1616

93

在，，解得j=3.故答案为：3.

'99177

1-------1------------

1616

二、选择题

13.B14.D15.B16.A

16.在平面直角坐标系X。中，已知向量E,口第=1,£4=0,点0满足

丽=0仅+B).曲线C=[P|而=£COS9+欣由仇0<6<2乃｝,区域

Q=^|o<r<|P2|<A,r</?|.若CD。为两段分离的曲线，则()

A.1<r<7?<3B.l<r<3<7?C.r<1<7?<3D.1<r<3<7?

【答案】A

【解析】•・•平面直角坐标系xOy中。已知向量5、6,|5|=|6|=\,a-b=0

不妨令a=(1,0),5=(0,1),则丽=y/2(a+6)=("瓜

OP=2cos。+Bsin。=(cos仇sin夕)故P点的轨迹为单位圆，

Q={^(0<r„\PQ\„Rr<R}表示的平面区域为：以。点为圆心，内径为小外径为R的

圆环，若CcQ为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交，

故|。01—1(r<HVOQ|+1「I001=2,故1<r<7?<3,

三、解答题

7

17.已知加wR,函数/(x)=l+-sinx+cos2x-

(1)若加=0,求/(x)的最大值;

(2)若/(x)在04x4^时的最小值为g,求勿的值.

第8页共12页

2?

【解析】(1)阳=0时/(x)=l+§sinx+cos2x-§|sinx|.2分

由于sinx-|sin、40,8s?,因此/(%)。2,当x=0时可取得等号.故/(x)的最大值为2.

(2)OSxw］时/(x)=1+cos2x-2m2sinx=-sin2x-2m2sinx+2.8分

设/=sinx,则/(x)=g(z)=-/2-2〃/Z+2(0<Z<1).11分

由于二次函数g。)顶点的横坐标为-/wo,故［=1时g(f)取得最小值1一2〃户，从而

w2=-,即加=±—.

42

18.(1)略⑵6

19.［解析］(1)(q+g+。3+%)-(A+4+"+")=965-30=935

(2)—10〃+470>"+5=〃442,即第42个月底，保有量达到最大

/、“777、°入(420+50)x38］(6+47)x42⑪。。

(q+/+%+…+%)-(4+2+4+,,,+”)=［9654--------------］-------....=8782

S42=-4(42-46)2+8800=8736,.•.此时保有量超过了容纳量.

2c。I\A

20.【答案】(1)—+/=1(2)2>--^2<-2(3)，=±2在或土

4-35

【解析】⑴设耳，鸟的坐标分别为(一c,0),(c,0)，其中c>0

由题意得48的方程为：y=a(x-c)

因大到直线48的距离为3,所以有=3,解得c=Ji2分

所以有/_/=。2=3……①

由题意知：,x2ax2b=4,即ab=2②

2

联立①②解得：a=2,6=1

丫2

所求椭圆D的方程为—+/=14分

4-

第9页共12页

丫2

（2）由（I）知椭圆。的方程为二十必=1

4-

设£（X],必），C（O,m）,由于=,所以有（不必一加）=4（-1-x”一切）

Am

x,=-----,y.=----7分

11+Z11+4

(-—)2

又E是椭圆D上的一点,则一1+"--+(-)2=1

41+A

(32+2)(2+2)

所以加2

4

2

解得：A.>—或丸W—210分

3

（3）由尸（一2,0）,设0（国,必）

根据题意可知直线4的斜率存在，可设直线斜率为左，则直线4的方程为歹=%（》+2）

把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得：（1+4k2）x2+I6k2x+（16%2-4）=0

由韦达定理得-2+Q-黑，则寸霁，乂=明+2）=4k

1+4公

所以线段尸。的中点坐标为（_三^,-2i_）

（1）当左=0时，则有。（2,0）,线段尸。垂直平分线为y轴

于是而=(—2,7),而=(2,T)

由而•而=-4+〃=4,解得：/=±2四12分

（2）当左。0时，则线段尸0垂直平分线的方程为歹―£*=-户）

因为点N（0,t）是线段PQ垂直平分线的一点

令x=0,得：/=一_J

1+4公

第10页共12页

于是冠=(-2,T),而=(再，必-1)

4(16左4+15左2-1)V14

由NP-NQ=-2再一/(,一/)==4,解得：左=±—^―

(1+4左2了

2V14

6k

代入」，解得：f=±

1+4公5

综上，满足条件的实数f的值为，=±2五或，=±2普.18分

21.记/'(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数，若存在x°eR,满足

/(x°)=g(x。)