北京市十二中2024届数学高二年级上册期末经典模拟试题含解析

北京市十二中2024届数学高二上期末经典模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题P：若a>6,且">0,贝！Jln@>0,命题4：在ABC中，若A>5,贝!JsinA>sinB.下列命题中为真命题

b

的是。

A.（r?）A<?B.PM

C.pA(->q)D.(「p)A(—1")

2.设等差数列｛4｝的前"项和为S“，且生+%=16,则Sg=（）

A.64B.72

C.80D.144

3.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、

谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是4Q5尺，

芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）

A.6.5尺B.13.5尺

C.14.5尺D.15.5尺

4.某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y（人）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某

4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温X（℃）171382

月患病y（人）24334055

由表中数据算出线性回归方程y=+a中的。=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为9℃,据此估计该社区下个

月老年人与儿童患病人数约为（）

A.38B.40

C.46D.58

22

5.已知用月分别是椭圆C:，+方=1（。〉6〉0）的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且/亭明=（二串明

的面积为1,则椭圆C的短轴长为()

C.2&

6.设函数y=/(x)在R上可导，则lim以匕竺匕姐=()

-3Ax

“⑴⑴

C.3/(l)D.以上都不对

22

7.已知抛物线y2=2px(p〉0)上一点(2,㈤到焦点的距离为3,准线为/,若/与双曲线CJ-马=l(a>0,6>0)的

两条渐近线所围成的三角形面积为0,则双曲线C的离心率为()

B.a

C.石

8.若*一(a+l)x+A<0的解集是(-5,2),则a+J等于(

Y—51

9.已知不等式一；〈一的解集为A,关于x的不等式2依2—%+2>0的解集为5,且AB=B,则实数”的取

x-32

值范围为()

A.(0,+co)—,+00

16

1，+0°

—,+00

2

已知双曲线「—斗的左、右焦点分别为耳，点的坐标为点尸是双曲

10.=1(«>o,Z?>0)F2,A1—£,oj,

线在第二象限的部分上一点，且/耳尸鸟=2/4口4,点0是线段PK的中点，且耳，。关于直线”1对称，则双曲

线的离心率为()

2D.V2

2

11.已知等差数列{4},%=1,%=3,则数列1」一的前10项和为（）

aa

[„n+lJ

22

12.椭圆上+上=1的焦点坐标为（）

62

A.（-夜,0）和（3,0）B.（—1,0）和（1,0）

C«-20,O）和（20,0）D.（-2,0）和（2,0）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线过点（4,百），且渐近线方程为y=±gx,则该双曲线的标准方程为.

14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,3的距离之比为常数2（2>0,471）的点的轨迹是一个圆心

在直线A3上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABC。—A耳G2中，43=240=244）=6,点E在棱A3

上，BE=2AE,动低P满足BP=6PE，若点尸在平面ABC。内运动，则点尸对应的轨迹的面积是；

F为CR的中点，则三棱锥P-4CT体积的最小值为.

15.已知函数〃力={32集合4=卜€2,[/（尤）一。]叫，若4中有且仅有4个元素，则满足条

A*3x+5,x<0

件的擎数a的个数为

16.圆锥的高为1,底面半径为6，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥A3（AB是圆。的直径）.

规划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路9、。4.规划要求，线段m、QA上的所有点到点。的距

离均不小于圆。的半径.已知点A,3到直线/的距离分别为AC和（C,。为垂足），测得AB=10,AC=6,

BD=n（单位：百米）.

（1）若道路形与桥A3垂直，求道路P3的长；

（2）在规划要求下，点。能否选在。处？并说明理由.

18.（12分）已知数列｛为｝和也｝满足q=2,an+bn_i=3（n>2）

（1）若期=,求｛%｝的通项公式;

（2）若4=0,a„_1+^,=l（«>2）,证明｛4｝为等差数列，并求｛&｝和｛〃｝的通项公式

19.（12分）如图，直角梯形AE尸3与菱形A3。所在平面互相垂直，AE//BF,AE1AB,AB=AE=2,BF=1,

ZABC=120°,M为AD中点.

（1）证明：直线5M〃面。E尸；

（2）求二面角EC—E的余弦值.

20.（12分）如图，正方体—的棱长为4,E,F分别是3C,CD上的点，且3E=CF=3.

(i)求男尸与平面BCG4所成角的正切值；

(2)求证：BF工.

21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A^IG中，AC1BC,AC=BC=CQ=2,E、尸分别是人不、瓦G的中点

(1)求证：所//平面ACG4

(2)求证：防，平面A3C

22.(10分)某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下:

表1

年份2011201220132014201520162017201820192020

年份序号X12345678910

营业收入y(亿元)0.529.3633.6132352571912120716822135

由表1,得到下面的散点图:

(3亿元

100

950

800

650

瑞

怒

罂

瑞

森

11111tli11上

12345678910湃盼序号

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型y=(5和“是待定参数)来拟合y和x的关系.这时，可以对

年份序号做变换，即令/=/，得丁=初+。，由表1可得变换后的数据见表2.

表2

T149162536496481100

Y0.529.3633.6132352571912120716822135

（1）根据表中数据，建立y关于，的回归方程（系数精确到个位数）；

（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.

附：对于一组数据（4#1）,（应#2），、（“"力"），其回归直线丫=6"+2的斜率和截距的最小二乘估计分别为

同（匕—v）

a=v-/3u・

参考数据：i=38.5,亍工703.45,自力―)工1.051x1()4电3―亍卜2.327xlO5.

i=\i=l

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题p的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题1的真假,

再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.

【详解】解：若a>6,且">0,则0<@,

b

当时，->1,所以lnq>0,

bb

当0>。>小时，0<q<1,所以ln3<o,

bb

综上命题。为假命题，则r7为真命题，

在中，若A>6,贝!

由正弦定理得sinA>sinB,

所以命题夕为真命题，F为假命题，

所以（9）/\乡为真命题，P^q,pA（［q）,（「p）A（［q）为假命题.

故选:A.

2、B

【解析】利用等差数列下标和性质，求得名,再用等差数列前项和公式即可求解.

【详解】根据等差数列的下标和性质，%+%=2。5=16,解得%=8,

9（a.+a。）

S=、:"=9%=9x8=72.

9

故选：B.

3、D

【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.

【详解】设冬至的日影长为为,雨水的日影长为囚+%+%=40.5,根据等差数列的性质可知3%=40.5n=13.5,

芒种的日影长为卬2=4.5,

ax+2d=13.5

<，解得：q=15.5,d=—1>

a{+lld=4.5

所以冬至的日影长为15.5尺.

故选：D

4、B

【解析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程,进而估计

下个月老年人与儿童患病人数.

【详解】由表格得正,工）为（1。,38）,由回归方程y=Zzx+a中的方=-2,

•••10x(-2)+「=38,解得0=58,即y=_2x+58.

当x=9时，y=_2x9+58=40，

故选：B.

5、B

【解析】首先分别设|西|=九，|为明|=丁，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.

【详解】设|摩|=九，|陛|=丁,

x+y=2a

12

所以《——1,即(％+y)=X?+y?+2g;=%?+y?+4=4〃2,

x2+y2=4c之

即4c2+4=4〃，得步="—02=1,短轴长为》=2.

故选：B

6、B

【解析】根据极限的定义计算

「羊融】山.音r/(i+M-zWi/(i+M-zW

［详解］由题意hm--------------=—rlim--------------=—f(1)

—°3Ax3­0Ax3

故选：B

7、C

【解析】先由已知结合抛物线的定义求出P=2,从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线/与两条渐近线的交点

分别为A-1,-,B-1,--,然后由题意可得sAOB=2•IA31」=2=&，进而可求出双曲线的离心率

<aj\a)2a

详解】依题意，抛物线丁2=2加(”〉0)准线=

由抛物线定义知2；言］=3,解得p=2,则准线/：x=—1,

双曲线C的两条渐近线为丁=±2了，于是得准线/与两条渐近线的交点分别为A-1,2"，原点为。,

a

1bI

则一AOB面积SAO8=7IA5|1=—二3，

*2a

「2A2L

双曲线。的半焦距为c,离心率为°,贝!I有/=三=1+勺=3,解得e=G

aa

故选:c

8、A

【解析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数。、b,即可得a+b.

【详解】•••£—(a+l)x+b<0的解集为(―5,2),

.•.-5和2为方程/―(。+1)》+/,=0的两根,

—5+2=a+1〃二一4

・•.有《「C7，解得

—5x2=/?，=T0

d~\~b——14・

故选：A.

9、B

X—51

【解析】解出不等式一〈一可得集合A,由A3口3可得A=然后可得2a/—x+2>0在xe(3,7］上恒成

x-32

立，然后分离参数求解即可.

【详解】由二〈工得=一!<0,W。,解得3<%W7,

x—32x-322(X-3)

因为AB匚B,所以4屋3

所以可得2依2一%+2>0在xe(3,7］上恒成立,

X—2

即。〉「在xe(3,7］上恒成立，故只需

2x2

x-211(\1V11「1止11-r万-211田1

-—，一，当—=：时，，故

——T2=―72+—=-+—eI=77a>7

2xx2x[x4J16xL73jx4I2%-Jmax1616

故选：B

10、C

|PF|\AF|1

【解析】由角平分线的性质可得号；=乙芦]=不，结合已知条件即可求双曲线的离心率.

\PF.|\AF,|2

【详解】由题设，易知：|P^I=|PQI=JPKI，

a

c——

\PF.|\AF.|1整理得:c3

由"知：制=后=5,即2g,e=—=—

a

c+一a2

2

故选：C

11、A

【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前〃项和.

【详解】因为等差数列｛凡｝,%=1,%=3,

所以公",

所以％=

ax+(n-l)d=1+(〃=

,1_1_1_1

anan+1n-(n+1)nn+1

所以数列<------"的前10项和为1-』+!-』+...+'....-=—

144+/223101111

故B,C,D错误.

故选：A.

12、D

【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c,即可求得焦点坐标.

【详解】C=JK=2,可得焦点坐标为(一2,0)和(2,0).

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

丫2

13、-y=i

4'

【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为好―4/=%.

点M(4,6)为该双曲线上的点，

.•.2=16—12=4.

2

2*42

该双曲线的方程为：x-4y=4f即三―y2=i.

4

2

故本题正确答案是--y2=l.

4'

14、①.12万②与—3底

【解析】建立空间直角坐标系，根据3尸=6PE,可得P对应的轨迹方程；先求△4C尸的面积，其是固定值，要

使体积最小，只需求点P到平面4cp的距离的最小值即可.

【详解】分别以为x，%z轴建系，设。(羽又0),而B(6,0,0),E(2,0,0),四(6,0,3),

C(6,3,0),C(3,3,3).

由BP=也PE，有J-6,+(y-O1+(0—0)2=QxJ(尤—2%+(y—O'+(0—0)2,化简得p对应的轨迹方程为

d+V=12.所以点尸对应的轨迹的面积是乃<2石产=12万.

易得最吠的三个边BXC=BXF=CF=3及

即△耳。尸是边长为为342的等边三角形，其面积为竽，

0=(0,—3,3),CF=(—3,0,3),设平面31cp的一个法向量为”=(羽y,z),

—3y+3z—0.、

则有,可取平面3c厂的一个法向量为〃

根据点P的轨迹，可设P(2jGcosa2jGsin<9,0),

,CP=(26cos。-6,sin。-3,0),：.CP-n=2s/3cos0+2s/3sin0-9，

I2sl6sm3\3+-\-9r

所以点P到平面B]CF的距离,_卜八"I_______I9-2,6,

开一3~^JT

所以V=Ls/z=』Sd2〃一3n.

332

27r-

故答案为：12TI；——3A/6

2

15、32

【解析】作出/(X)的图像，由x=0时，不等式成立，所以OeA,判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价

于尤>0时，/(x)>a；x<0时，/(%)<«；利用数形结合，进行求解.

【详解】作出〃龙)的图像如图所示：

因为x=0时，不等式成立，所以OeA,符合条件的非零整数根只有三个.

由尤20可得：

x>0时，/(x)>a；x<0时，/(x)<a；

所以在y轴左侧，/(光)的图像都在丁=。的下方；在y轴右侧，/(光)的图像都在丁=。的上方；

而/(4)=_3x]6+24=_24,43)=-3x9+18=-9,/(-l)=-(-l)3-3x(-l)2+5=3,

/(-3)=-(-3)3-3x(-3)2+5=5,"T=-(-4)3-3X(^)2+5=21.

平移直线，=。，由图像可知：

当—24<aW—9时，集合A中除了0只含有1,2,3,符合题意，此时整数。可以取：-23,-22,-21……-9.一共15

个；

当。=3时，集合A中除了0含有1,-1,-2,符合题意.

当54a<23时，集合A中除了0只含有-1,-2,-3,符合题意，此时整数a可以取：5,6,7……20—共16个.

所以整数”的值一共有15+1+16=32(个).

故答案为：32

【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为于(x)=k,分别做出芳=/(%)和%=%的图像，观察交点的个数即为

零点的个数.用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：

⑴零点个数：几个零点；

⑵几个零点的和；

(3)几个零点的积.

16、2

【解析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值

【详解】如图，1s是圆锥轴截面，SC是一条母线，

设轴截面顶角为9,因为圆锥的高为1,底面半径为班，所以tan0£=百r-，夕6（0,万），

ezuc2n"

所以一=一，0=——>—,

2332

设圆锥母线长为/,则/=jF+（百）2=2,

11°

截面SBC的面积为S=—SBSCsin/BSC=-l2sin/BSC,

22

TC

12

因为NBSCelO,——],所以N3SC=一时，Smax=-x2=2

322

故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）15（百米）

（2）点。选在。处不满足规划要求，理由见解析

【解析】（1）建立适当的坐标系，得圆。及直线网的方程，进而得解.

（2）不妨点。选在。处，求方程并求其与圆的交点，在线段A。上取点不符合条件，得结论.

【小问1详解】

如图，过。作。"_L/,垂足为”.

以。为坐标原点，直线为》轴，建立平面直角坐标系.

因为A3为圆。的直径，AB=10,所以圆。的方程为必+丁2=25.

因为AC=6,BD=12,所以OH=AC+BD=9,故直线/的方程为y=9,

2

则点A,8的纵坐标分别为3,-3

从而4(4,3),

3

直线A5的斜率为三.

4

4

因为所以直线网的斜率为-一，

3

495

直线网的方程为y=—gx—3.令l=—13,得y=9,P(-13,9),

所以PB=J(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路P3的长为15(百米).

【小问2详解】

若点。选在。处，连结A。，可求出点0(-4,9),又4(4,3),

3

所以线段AD:y=—WX+6(—4<x<4).

x2+y2=25c”

,24

由〈3解得工=4或%=_,

y=——x+625

I4

故不妨取％=3,得到在线段A。上的点M。,

因为OM=Js?+<，32+42=5»

所以线段上存在点到点。的距离小于圆0的半径5.

因此点。选在D处不满足规划要求.

一，、31/<\n—\

18、⑴an=-+-x(-l)

(2)证明见解析，an=n+l,bn=l-n

【解析】(1)代入4=%可得4=-4T+3,变形得可―|=构造等比数列求｛4｝的通项公式;

⑵先由已知得4+i—%T=2(〃22),先分别求出｛%_]｝,｛%J的通项公式，然后合并可得｛4｝的通项公式,

进而可得｛2｝的通项公式

【小问1详解】

当a”=b“，时，a1=%,所以a“+a,i=3,即a“=—a“_j+3，

整理得4=--l^

所以14-是以q—|=g为首项，-1为公比的等比数列

,.31/\n-lrr31/

故4—5=万义(—1),即4=5+5x(-1)

【小问2详解】

当“22时，由4+2T=3,q”]+〃=1,得a,,+i+d=3,

所以4+1_%_1=2(〃之2)

因为4=0,所以%=3,

则｛%"1｝是以4=2为首项，2为公差的等差数列，a2t_1=2+(k-l)x2=2k,keN*;

｛%/是以外=3为首项，2为公差的等差数列，4K=3+(k—l)x2=2左+1,左eN*

综上所述，an=n+l

所以4-的=5+1)_〃=1,n>2,

故｛4｝是以2为首项，1为公差的等差数列

当时，bn=l-an_x=l-n,且4=0满足bn=\-n,

所以〃=l-n

19、(1)证明见解析

⑵坦

31

【解析】(1)由平面AEEB,平面A5CZ),可得平面A5CZ>,连接5Z>,可得5Md.AD,以/为原点，MB,MD

为羽V轴，竖直向上为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算8M与平面。瓦'的法向量々=(%，X，zJ的数量积

为0即可得证；

UUUU

(2)分别计算出平面MEC和平面EC尸的法向量%=(%，%*2),%=(x3,j3,z3),然后利用向量夹角公式即可求

解.

【小问1详解】

证明：因为平面AEEB，平面A8CZ>,平面AEFBc平面A5CZ>=AB,且A£_LAB,

所以平面ABC。，连接5。，则△ABD等边三角形，所以

以M为原点,为乂y轴，竖直向上为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(O,-1,O),B(y/3,0,0),C(y/3,2,0),D(0,l,0),E(0,-l,2),F(6,0,1),设々%)为平面DEF的法向量,

UU1UULHUDE-n,=05

因为。石=(0,-2,2),。/=("-1,1)，则有“八，取々=(0,1,1),

DF=0

UUUUUULL

又因为BM=(-V3,0,0).所以BM-nl=0,

因为BMu平面DEF,所以BMH平面DEF；

【小问2详解】

UULU

解：分别设％=（工2，%，Z2），4=（七，丁3，Z3）为平面MEC和平面ECF的法向量,

uumuuu厂ME.%=0

因为ME=(0,-l,2),MC=(6,2,0)，则有＜取%=(—4,26,6)，

MC-n2=Q

ULIU_UUUEC•〃3=0­皿L[-

因EC=(V3,3,-2),CF=(0,-2,1).则有,口…，取…"2®

UUUU

22A/31

所以

cose=后方一，由图可知二面角以一EC—尸为锐二面角,

所以二面角M-EC-F的余弦值为上叵.

31

20、（1）逑；

8

（2）