2023-2024学年四川省青神中学数学高二年级上册期末调研模拟试题含解析

2023-2024学年四川省青神中学数学高二上期末调研模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在正方体ABCZJ-ErGH中，尸在棱5c上，BP=x,平行于RD的直线/在正方形EFGH内，点E到直线/

的距离记为d,记二面角为Ad尸为仇已知初始状态下x=0,d=0,则。

A.当x增大时，。先增大后减小B.当x增大时，。先减小后增大

C.当d增大时，，先增大后减小D.当d增大时，，先减小后增大

2222

2.曲线上一匕=1与曲线L—乙=左（左〉1）的（）

259259

A.实轴长相等B.虚轴长相等

C.焦距相等D.渐进线相同

3.若命题p为真命题，命题g为假命题，则下列命题为真命题的是（）

A.0八4B.pAjq)

C（「P）A<7D.（—）△（「"）

4.一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题0是“甲同学解出试题”，命题4是“乙同学解出试题”，则命题“至

少一位同学解出试题，，可表示为（）

A.P人4B.pv（->q）

COvJq)D.pvq

22万

5.若双曲线土+乙=1的渐近线方程为>=土在x，则实数。的值为。

4a4

1

A—2B.一

2

1

C.2D.----

2

6.已知函数/（x）=xsinx+cosx,则/'⑺的值为（）

A.兀B.

C.OD.1

7.在等差数列｛%｝中，/+%=2,则品等于

A.2B.18

C.4D.9

8.如图，过抛物线产=2卬;①>0）的焦点厂的直线，交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若15cl=2|5月，且以蜴=3,

则此抛物线的方程为（）

C.j2=3xD/=6x

2

9.若1,m,9三个数成等比数列，则圆锥曲线/+匕=1的离心率是（）

m

A.巫或MB.述或2

33

C.逅或而D.好或2

33

10.已知点4（2,—3）,B（-3,-2）,直线/：尔+y—机—1=0与线段A3相交，则实数加的取值范围是。

A.加工7■或机2—B.m<——或根24

44

“33

C.-4<m<—D.——<m<4

44

11.已知圆C]：(x—5)~+(y—3)2=9,圆。2：x"+—4x+2y—9=0,则两圆的位置关系为()

A.外离B.外切

C.相交D.内切

12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

A.3B.4

C.5D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知。=(3,2,—1),b=(-l,x-l,l),S.a±b，则％的值是.

14.已知曲线丫=三+4,则曲线在点P(L5)处的切线方程为

15.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别是边A3,8的中点，沿E尸将四边形AEED折起，使二面角A-EF-B

的大小为60，则AC两点间的距离为

16.已知。=4+2百,°=4-2石，若”,仇c三个数成等差数列，则匕=；若a,"c三个数成等比数列，则

b=_____

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产.某医疗器械厂统计了口罩生产

车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数

列，第五组与第二组的频率相等

件/小时）

（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）;

（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产

速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表:

工龄X（单位：年）4681012

生产速度y（单位：件/小时）4257626267

根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程y=Zzx+a，并据此估计该车间某位有16年工龄的

工人的生产速度

£（x,-x）（y-丁）

附：回归方程+a中斜率和截距的最小二乘估计公式为：5--------;—，a=3-bx

2（i）,

i=l

18.（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>Q）,直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段

A5的中点为M

（1）证明：直线0M的斜率与/的斜率的乘积为定值;

（2）若/过点（二，口），延长线段OM与C交于点P,四边形。4P5能否为平行四边形？若能，求此时，的斜率，若

不能，说明理由

19.（12分）已知圆C过两点4（—2,0）,5（2,4）,且圆心C在直线2x-y-4=0上

（1）求圆C的方程;

（2）过点P（6,4g）作圆C的切线，求切线方程

20.（12分）已知动圆。过定点尸（0,1）,且与直线4：丁=-1相切，圆心。的轨迹为E

（1）求动点C的轨迹方程;

(2)已知直线4交轨迹E于两点p，Q，且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少？

22

21.(12分)已知双曲线L—21=1的左、右焦点分别为耳，F2,过E作斜率为近的弦A3.求：

27

(1)弦AB的长；

(2)△耳A5的周长.

22.(10分)已知直线，i：2x+y+l=0,直线4经过点(1,2)且与直线(平行，设直线“分别与x轴，y轴交于A,3两

点.

(1)求点A和3的坐标；

(2)若圆C经过点A和氏且圆心C在直线4上，求圆C的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】以厂为坐标原点，FB,FG,尸E所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则

P(2,x,0),A(2,0,2),设直线/与Eb,EH交于点M、N,Af(0,0,2—&d),N(O,、历d,2),求得平面AMN的法向量

为m=卮),平面PMN的法向量〃=(一.+3d2,1,_i),由空间向量的夹角公式表示出

-x+血-2.小血

m-n2

cos<m,n>-,对于选项，令则

\m\\n\A,Bd=0,

A/2J-229

-2)

j(x+2)2

,由函数y=的单调性可判断；对于C,D,当x=0时，则

,令y=([2+4)[(d-行了+4],利用导函数研究函数的单调性可判断.

【详解】解：由题意，以尸为坐标原点，FB,FG,FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设正方体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),设直线/与E尸，E77交于点V、N,

则Af(0,0,2-国),N(0,&,2),

所以AM=(—2,0,—岳),AN=(—2,何,0),

MN=(0,&),PM=(-2,-x,2-V2J),

设平面AMN的法向量为m=(a,b,c),

m-AM=0—2a—sf2dc=0

则，即《

m-AN=0—2a+yf2db=0

令a=d,则力z=(d,,

设平面PMN的法向量为n=(e,f,g),

fn-PM=0\~2e-xf+(2-y/2d)g=0

则V，即Vr-r-

n-MN=Q[42df+y/2dg=0

令/=1,则“=(f2,],_]),

~X+^d~2-d+242

m-n

cos<m,n>=-------2

|m||n—X+yfzd—27〜

----------------)+2

2

对于A,B选项，令d=0,则

cos0=cos<m,n>=।==%/----+--2--)-2--+--8，

显示函数y=J——2—在(0,+s)是为减函数，即cos6>减小，则夕增大，故选项A,B错误;

\(%+2)2+8

对于C,D,

对于给定的x,如图，过尸作PQLBG,垂足为Q,过£作£5，"0,垂足为S,

过。作QTLMV,垂足为丁,

当Q在“W下方时，ES+MQ=26.—（2—X）X%=&+%X，

设夜+Y2x=s，则对于给定的x,5为定值，

2

此时设二面角A—MN—E为a,二面角P—MN—Q为0,

22

则二面角A-MV—尸为万一2-/?,且tana=—,tan/=------

ds-d

22

tana+tan/3

故tan（万一a—=------d-----s--—--d--=2s

tanatan/?-l22d2-ds+4-

—x------------1

ds—d

而逐KsK2A/2，故s2—16<0即—杰+4>o，

c2w

当0<d<一时，、=〃2一办+4为减函数，故y=下一^--为增函数,

2d—ds+4

c2w

当二<d<s时，y=d?—ds+4为增函数，故丫=下——---为减函数,

2d—ds+4

故乃一2―/?先增后减，故D错误.

当。在跖V上方时，ES—MQ=2挺—（2—x）x等=&+等X，

则对于给定的X,s为定值，则有二面角A-MN-P为4-

22

且tanQg-0=tanQ-tanad—sd2s

1+tan/tana22I?—ds+4,

1-----X—

d-sd

2s

因s<d<20，故了=解-ds+4为增函数，故tan(/?-tz)=为减函数,

综上，对于给定的x,A-MN-P随d的增大而减少,

2、D

22

【解析】将曲线a=左(左〉1)化为标准方程后即可求解.

2222

【详解】三-匕=左化为标准方程为上一-匕=1,由于左>1,则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近

25925k9k

3

线方程同为y=±yx.

故选：D

3、B

【解析】根据逻辑联结词“且”，。八q一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.

【详解】逻辑联结词“且”，?人4一假则假.

因为命题P为真命题，命题g为假命题，所以可为假命题，F为真命题.

所以，夕入4为假，故A错误；

。△（「幻为真，故B正确；

（「p）Aq为假，故C错误；

（一）△（「/为假，故D错误.

故选：B

4、D

【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.

【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.

故选：D.

5、D

【解析】由双曲线的渐近线方程结合已知可得.

22

【详解】双曲线方程为二-匕=1

4-a

所以渐近线为y=土且x，故互=也，解得：。=一」.

2242

故选:D

6、B

【解析】对函数求导，然后将不代入导数中可得结果.

【详解】/«=1•sinx+cosx,贝!|/'（%）=sinx+x•cosx-sinx=x-cosx,

贝!If'⑺—4COS"=-71,

故选：B

7、D

【解析】利用等差数列性质得到%=1，Sg=9%,计算得到答案.

详解】等差数列｛4｝中，+%=2%=2,%=1

S9=@+，X9=9%=9

故选D

【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.

8、C

【解析】过点A,5分别作准线的垂线，交准线于点E,D,设|8尸|=a,利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三

角形求解

【详解】如图，过点A,3分别作准线的垂线，交准线于点E,D,设|5F|=a,则由已知得15cl=2%由抛物线定义得

\BD\=a,故N5CD=30。，在直角三角形ACE中，因为|A£|=|Ab|=3,\AC\=3+3a,2\AE\=\AC\f所以3+3a=6,

—13

从而得a=l,\FC\=3a=3所以p=|FG|=3尸。1=3，因此抛物线的方程为y2=3x,

f22

故选：C.

9、D

【解析】运用等比数列的性质可得加，再讨论772=3,相=-3,求出曲线的。，C,由离心率公式计算即可得到

【详解】三个数1,m,9成等比数列，

则根2=9，解得，m=±3,

当机=3时，曲线V+匕=1为椭圆,

3

贝！］6，=与1=乎；

ay/33

2

当初=-3时，曲线为必一2L=i为双曲线，

3

则离心率6=2

故选：D

10、A

【解析】由丁=—加(％—1)+1可求出直线/过定点P(l』)，作出图象，求出左PA和即B，数形结合可得一加〈原A或

-m>kPB,即可求解.

【详解】由y-相-1=0可得：m(x-l)+y-l=0,

x_1—0x—1/、

由।八可得「所以直线/：5+y—根—1=。过定点。(1』)，

[y-i=o[y=i

由mx+y-m-l=Qn\^y=-m(A:-1)+1,

作出图象如图所示：

33

若直线/与线段A3相交，则—mW—4或-—,解得机＜—-或相，4,

44

3

所以实数，〃的取值范围是■或机2—，

4

故选：A.

11、C

【解析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系

【详解】圆G：(x—5)2+(y—3)2=9的圆心为弓(5,3),半径，i=3,

圆。2：x2+/-4x+2j-9=0,即(x—2y+(y+l)2=14,圆心GQ,-D,半径4=排，

两圆的圆心距IGC2]=J(5-2)2+[3-(一1)]2=5,显然—3<5vJIZ+3，即马一4<|£G|<马+小

所以圆G与圆。2相交.

故选：C

12、B

【解析】循环体第一次运行后5=17-=：＜100.t=1；第二次运行后j=H2-=；＜：.-.；-=2；第三次运行后

5=3+2：=11<100需=3,第四次运行后5=11+2”=2059>100,t二心循环结束，输出；值为4,答案选B

考点：程序框图的功能

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】根据空间向量a_L6可得。力=0,结合a=(3,2,—l)/=(—l,x—1,1)计算即可.

【详解】由题意知，a=(3,2,-1),Z?=(-1,%-1,1),a±b,

所以a・〃=-3+2(x-1)-1=0,解得x=3.

故答案：3

14、3x-y+2=0

【解析】利用导数求出切线的斜率即得解.

【详解】解：由题得丁'=3一，

所以切线的斜率为左=3xV=3，

所以切线的方程为y-5=3(%-1),即3%—y+2=0.

故答案为：3x-y+2=0

15、忖

【解析】取3E的中点G,然后证明NAE5是二面角A—即—5的平面角，进而证明AG_LGC,最后通过勾股定理

求得答案.

【详解】如图，取3E的中点G,连接AG,CG,由题意"LAE,"，5E,则NAE5是二面角A—所―5的平面

角，则NAEB=60°,又AE=BE=1,则/XABE是正三角形，于是AG，5£,AG=T

根据所，人£,所，3石,4£<^5£=E可得：平面A5E,而AGu平面ABE,所以EELAG,而

AGLBE,BEcEF=E,则AG±平面BCFE,又GCu平面5c尸E,于是，AG，GC,又GC2=BC2+BG2=—,

4

所以AC=y/AG2+GC2=J|+y=75.

故答案为：、后.

16、①.4②.±2

【解析】由等差中项与等比中项计算即可.

【详解】若。，b,c三个数成等差数列.

匕二1、17〃+C4+26+4-2百,

所以6=----=--------------=4•

22

若a,b,c三个数成等比数列.

所以/=。。=(4+26)(4—26)=4=>6=±2

故答案为：4,±2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/、455

17、(1)——

9

(2)80件/小时

【解析】(1)先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直

方图求中位数；

(2)先求出是、亍，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.

【小问1详解】

解：设前4组的频率分别为4,a2,a3,%，公差为d，

=0.16

由频率分布直方图，得<

6+出+/+。4=1—0.16=0.84

a.+d=0.16[a,=0.06

即｛,解得《

14%+6d=0.84[4/=0.1

贝！]%+g+%=048,a4=0.36,

__0.5—0.48.„455

所以中位数为50+丁1xl°=丁.

【小问2详解】

-1

解：由题意，得x=—(4+6+8+10+12)=8,

-1

y=《(42+57+62+62+67)=58,

-—4x(—16)+(—2)x(—1)+0X4+2X4+4X911

由所给公式，得)=--—

I

%=y-^x=58-—x8=36,

4

所以回归直线方程为$=Ux+36,

-4

则当尤=16时，y=80，

即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.

18、（1）证明见解析

（2）能为平行四边形；斜率为4一3或4+近

【解析】（1）设A,3两点坐标，由点差法证明

（2）求出尸，加两点坐标，由平行四边形的几何性质判断

【小问1详解】

设A（石,乂）,3（%2，%），/的斜率为左，

+y；=m2,9xl+yl-m2

两式相减可得**"-。，即（*）（出）=一9

故kJ=-9

【小问2详解】

9vn

由（1）得的直线为歹=--%,直线/方程为y—加=左（*—§）

k

9

y=——x

km(k-3)

联立＞解得

3(—+9)

y-m=k(x—y)

9

v=——xkm

联立-k解得与=±

3a+9

9x2+y2=m2

若四边形Q4P5为平行四边形，则对角线互相平分

km2km(k-3)

M为OP中点,土

3a+93(4+9)

解得上=4±近，经检验，均符合题意

故四边形。4P5能为平行四边形，此时/斜率为4-4或4+J7

19、(1)/+12=0.(或标准形式(龙—2)2+/=16)

(2)x=6或x-岔y+6=0

【解析】(D根据题意，求出A3中垂线方程，与直线2x-y-4=0联立，可得圆心。的坐标，求出圆的半径，即

可得答案；

(2)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案

【小问1详解】

解：根据题意，因为圆C过两点4—2,0),3(2,4),

设A3的中点为则知(0,2),

4-0

因为"B=不，K=1，所以43的中垂线方程为y-2=-(%-0),即y=2—九

y=2-xfx=2..

又因为圆心在直线2x—y—4=0上，联立；八，解得八，所以圆心C(2,0),半径，"忸。^"故圆

2x-y-4=0[y=°

的方程为(x—2)2+y2=i6,

【小问2详解】

解：当过点尸的切线的斜率不存在时，此时直线％=6与圆C相切

当过点尸的切线斜率及存在时，设切线方程为y-4百=左(工一6)即履—〉+4百—6左=0(*)

|4-^3—4/:|

由圆心C到切线的距离।_____」=4,可得左=组

VF7T3

将左=且代入(*),得切线方程为X—6y+6=0

3

综上，所求切线方程为x=6或%-血丁+6=0

20、(1)x2=4y

(2)6

【解析】(1)利用抛物线的定义直接可得轨迹方程;

（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得|PQ|,再根据二次函数的性质可得最值.

【小问1详解】

由题设点C到点F的距离等于它到4的距离,

..•点。的轨迹是以P为焦点，4为准线的抛物线,

所求轨迹的方程为好=分；

【小问2详解】

由题意易知直线4的斜率存在，

设PQ中点为。,2）,直线〃的方程为y—2=左（%—。,

%2=4y

联立直线与抛物线得尤2-4Ax+4H-8=0,八=（-4左）2—4（4比