2022年高考理科数学复习考点-函数与方程

考点09函数与方程

【命题趋势】

此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、塞函数、分段函数或者三角函

数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：

(D结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的

存在性及根的个数.

(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

【重要考向】

一、函数零点(方程的根)所在区间的判断

二、函数零点个数的判断

三、函数零点的应用问题

石告＞函数零点(方程的根)所在区间的判断

ci*------eq

1.函数零点的概念

对于函数y=f(x),xeD,我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数

y=f(x),xeD的零点.

2.函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x

轴的交点的横坐标即方程f(x)=0有实数根c函数y=f(x)的图象与x轴有交点

Q函数y=f(x)有零点.

【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x2+l,由于方程x?+l=0无实数

根，故该函数无零点.

3.二次函数y=ax2+bx+c(a〉0)的零点

△>0△二0△<0

如果函数产f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)-f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cG(a,b),

使得f(c)=O,这个C也就是方程f(x)=O的根.

【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

1.二分法的概念

对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)•£(!?)<()的函数y=f(x),通过不断地把函

数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零

点近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

给定精确度c,用二分法求函数其x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间［a,b］,验证f(a)-f(b)<0,给定精确度£；

②求区间(a,b)的中点c;

③计算©;

a.若(c)=0,贝k就是函数的零点；

b.若f(a):f(c)<0,则令b=c(此时零点xoe(a,c));

c.若fb):f(b)<0,则令a=c(此时零点xoG(c,b).

④判断是否达到精确度e：即若Ia-b1<c,则得到零点近似值a(或b);否则重复魏④.

【巧学妙记】

2

口1)若连续不断的函数岖)是定义域上的单调函数，则Kx)至多有一个零点；

X

;⑵连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

、

1(3)函数F(x尸Rx)-g(x)有零点o方程F(x)=O有实数根o函数产Rx)

、

、

(与y=g(x)的图象有交点；

、

、

:(4)函数F(x尸f(x)-a有零点o方程F(x尸0有实数根o函数y=f(x)与

、

；y=a的图象有交点oae{yly=f(x)},其中a为常数.

1.函数岖》*-X的零点所在的区间为

【答案】D

【解析】易知函数f(x尸e'x的图象是连续的，且通过计算可得

f(-1)—Cf-(-1)—C+1^0/1;)>0

f(0)=e°-0=l>0,一|=e"——=i>0•

2)27e2

/(l)=e'-l=--l<0.

0

由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为

本题选择D选项.

2.在用二分法求方程日大-1=0的一个近彳蟠时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内,

则下一步可以断定该根所在区间为

【答案呜.2)

3

【解析】令f(xK3_2x-1,

呜卜--I

-<0,f(l)=-2<0,f(2)=8-5=3>0,

K

故下一步可以断定根所在区间为2、

加呜.2)

3.已知函数卜—

(1)证明方程f(x)=O在区间(0,2)内有实数解；

(2)请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f(x)=0,xe［0,2］的实数解

xoi£哪个较小的区间内。

【答案】

［解析］取\1*(0+2)=I,得/(I)=：>0.

由此可得：<().

则下一个有解区间为(1,2),

再取，i*(I+2)«y得

<0,

则下一个有解区间为［V

综上所述，所求实数解X,在较小区间(I,：)内.

函数零点个数的判断

⑴解方程法：令fx)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点，

⑵零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且

f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

4

能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其

交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

【巧学妙记】

解题的关键是熟练掌握常见函数图象的作法，并灵活应用，

处理函数零点问题时，常转化为图象交点横坐标问题，

数形结合求解，即可得答案.

［龈例!J

2.

4.函数/(D二，的零点个数是,

2x—6+lnx<jt>0

【答案】2

【解析】当烂0时，令z-2=0,解得―/2(正根舍去)，所以在(一,0)上，起)

有一个零点；当x>0时，/，一恒成立，所以f(x)在(0,+)上是增函数.

又因为f(2)=-2+In2<0,f(3)=In3>0,所以f(x)在(0,+…)上有一个零点，综上，函

数f(x)的零点个数为2

5.函数f(x尸|x-2Hnx在定义域内的零点的个数为()

A.0B.lC.2D.3

【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0,十)，在同一直角坐标系中画出函数y=x

-2|(x>0),y=lnx(x>0)的图象，如图所示.

由图可知函数j(x)在定义域内的零点个数为2.

6.函数Hx)=Vx-cosx在［0,+］内()

A.没有零点B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

【答案】B

【解析】当x£[0,1]时,因档wQj+xx,V>0,sinx>0,所以f(x)>0,

5

故f(x)在［0,1］上单调递增，且f(0)=-l<0,f(l)=l-cos1>0,所以f(x)在［0,1］内有唯一

零点。当x>l时，(x)=Vx-cosx>0,故函数fx)在(0,+)上有且仅有一个零点，故

选B.

函数零点的应用

1.已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应

分三步：

①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围，在求解时，注意函数图象的应用.

2.已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题.

3.借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系

要比较fa)与f(b)的大小，通常先比较fa)、f(b)与。的大小，若直接比较函数零点的

大小，则可有以下三种常用方法：

①求出零点，直接比较大小；

②确定零点所在区间；

③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.

【巧学妙记】

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范

围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平

面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

6

【典例】

7.已知函数f(x)=mx+l的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是

c.(-1,+)D.(一肛―1)U(一

【答案】B

【解析】由题知fx)单调，故f⑴•f(2)<0,即(m+1)(2m+l)＜0,解得—】＜用＜---

故选B.

8.已知函数121'।若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点，则k的取值范

/♦X<lt

围^__________

【答案】(0.1)

【解析】作出.厂,「的函数图象如图所示：

3E

士|

方程f(x)=k有两个不同零点，即y=k和*的图象有两个交点，由图可

上E

得k的取值范围是(0,1).

9.已知函数fx)=x?+3x|,xGR,若方程f(x)-alx-l|=0恰有4个互异的实数根,则实

数a的取值范围是

【答案】(0,1)U(9,+)

【解析】由题意知a>0.

在同一直角坐标系中作出y=Lx2+3xl,y=alxT|的图象如图所示.

由图可知(x)-akx-H=0有4个互异的实数根等价于y=x?+3x|与丫=2以-1］的图象有

7

4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,

所以（尸有两组不同解，

-jr）

消去y得X?+（3-a）x+a=O有两个不等实根，

所以4=（3-a）2-4a>0,EPa2-10a+9>0,

解得a<l或a>9.

又a>O,；.O<a〈l或a>9.

8

跟踪训练

一、单选题

1.方程4卜，*的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

.、6'-2,x>0.

2.函数/（1卜<的零点之和为（）

|x+log*lXxS0

A.-lB.lC.-2D.2

3.已知函数瓶）=1唔x+x-3在区间（萃H）内有零点，则正数a的取值范围为

（）

A.(l,2)B.(2,+)c.(0,l)D.(l,+x)

4.已知函数2」<[,,若方程心用印的实根之和为6,则a

的取值范围为（）

A.[l,3]B.[l,3]C.（l,4）D.（3,4）

二、多选题

5.若函数gxAHax+b的两个零点是2和3,则函数驱只庶-睐1的零点

是（）

A.1B.1C.-1D,-1

2a6

三、填空题

6.函数v二。」的零点为_______

r

7.若函数f（x户e；则函数y=f（x>l的零点是

8抵H〃x）=2、in；2x-；[If\（-4,意）上的零点之和为

9.若方程3x+m=0的根在（-1,0）内，则m的取值范围是

10.已知二次函数产x42ax+l只有一个零点，则实数a=

11.用二分法求方程乂3一％一5=0在区间[2,3]内的实根，由计算器可算得用2户1,

9

出3)=1642.5)=5.625,那么下一个有根区间为

四、双空题

12.已知，则f(f(-2))=_________，函数f(x)的零点的个数

12"-2x20

为________

五、解答题

13.方程x^x+kR在xe(0,l)有解，求k的取值范围

一真题再现，

一、单选题

1.(2011,陕西高考真题(理))函数f(x)=4x-cosx在[0,+]内

().

A.没有零点B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

2.(2014-山东高考真题(理)已知函数f(xHx-2|+l,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)

有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是

A.(O.1)B.(1,|)C.(l,2)D.(2,+a)

3.(2020•天津高考真题)已知函数"若函数

-x.x<0.

g(xEx〉|kx2_2x|(kGR)恰有4个零点，则k的取值范围是()

C.(-X,0)U(0,2A/2)D.(-,0)U(2d2,+a)

4.(2010•浙江高考真题(理))设函数f(x)=4sin(2x+l)-x,则在下列区间中函数f(x)

不存在零点的是

A.L4,_2]B,L2,0]C.[0,2]D.[2,4]

5.(2018,全国高考真题(理))已知函数/(x)=[''g(x)=/(x)>x+a.，

Inx,x>0>

g(x)存在2个零点，贝Ija的取值范围是

A.(-l,0)B.(0,+o)C.(-1,+)D.(l,+o)

6.(2017•山东高考真题(理))已知当x£[0』时，函数月mx-1)2的图象与

尸Vx-to的图象有且只有一个交点，则正实数in的取值范围是

A.(0,I)L[2A/3,+)B.(O,l)u[3,+O)

C.[O,>/2]U[2A/3,+O)D.(0N2)U[3,+0)

11

x,x<0

7.（2019•浙江高考真题）已知a,bGR,函数/（幻=，［,|

］产一如+1*+心40

若函数Ex>ax-b恰有三个零点，则

A.a<-l,b<0B.a<-1,b>0

c.a>-l,b<0D.a>-l.b>0

二、填空题

o3-ab,4b

8.(2012•福建高考真题(理))对于实数a和b,定义运算*"

b2-ab,a>b

设f(x)=(2x-D*(x-l),且关于x的方程为f(x)=m(meR)恰有三个互不相等

的实数根x,x2,x3,则xix2X的取值范围是

9.(2018•全国高考真题(理))函数川I，=…、句的零点个数为_______

10.(2014-天津高考真题(理))已知函数心尸对"3年GR.若方程

起仲-1R恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_______.

11.(2015•湖南高考真题(理))已知/(、)=若存在实数b,使函数

x\x>a

g(xHx)-b有两个零点，则a的取值范围是

12.(2009•山东高考真题(理))已知定义在R上的奇函数f(x)满足Wx4)=f(x),

且在区间［Q2］上是增函教,若方程共刈=111(1«>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根,

贝Ijxi+X,+X3+X4=

13.(2015•北京高考真题(理))设函数2a

①若a=l,则Rx)的最小值为

②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是

14.(2019•江苏高考真题)设f(x)息x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期

为4,g(x)的周期为2,且歌)是奇函数，当x6(02)时，KXEHX-1?,

士(*♦2工OJSI

g(X>=<[，其中k>0.若在区间(0,9)上，关于x的方程f(x)=g(x)

・二/<x42

2

有8个不同的实数根，贝亚的取值范围是______

15.(2018•天津高考真题(理))已知a>0,函数/(X)=<'+垢*”.若关

1-X2+2ox-2o»X>0.

于X的方程f(x尸ax恰有2个互异的实数解，贝值的取值范围是

三、解答题

16.(2018•全国高考真题(理))已知函数f&Wa2.

⑴若a=l,证明：当文0时，*x^l;

⑵若Rx)在(0,+)只有一个零点，求a的值.

13

模拟检测

一、单选题

1.（2021•湖北黄冈市•黄冈中学高三其他模拟）若函数/U）二I:在区间（-1,1）

上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A.,1]B.J,C.(2,+0)

D.(0,2)

2.(2021•浙江高一期末)方程eU3x-4=0(其中e=2.71828...)的根所在的区间为（）

A.星B(r0朋

3.（2021•全国高三其他模拟（文））已知函数f（x户■axZCCR）有三个不同的零点,

则实数a的取值范围是（）

D.

4（2021•浙江高一期末）若关于x的方程9'*升好35佳0有实数解，则实数a的

取

值范围是（）

A.（-4,+）B.（-x,-4）C.（-8,+）D.（_o,_8）

5.（2021•上海市控江中学高三三模）方程2点见21.：-|在区间（-2”,2”）上的解的个

数是（）

A.4B.6C.8D.9

6.（2021•广东佛山市•高三其他模拟）函数出x）=（x-msinx+l在区间［-2n,4“］上的所

有零点之和为（）

A.OB.兀C.4兀D.8兀

7.（2021-江西高三其他模拟（理））若函数f（x）=xe5nx-x-a存在零点，则a的取

值范围为（）

A.（O,I）B,（I,+）c.%）D（71

14

二、多选题

8.(2021•湖北荆州市-荆州中学高三其他模拟)在下列区间中，函数f(x)若4xT一

定存在零点的区间为()

A.-l.ljB.(-e,3)D-(TR

三、填空题

9.(2021•全国高三其他模拟(文))若不等式2+「2<ax的解集中有且仅有两个正整数,

则实数a的范围是

10.(2°21•浙江高一期末)设函数/(*)-｛；<0)

若互不相等的实

数X、X2、X3满足电尸般2XX3),则X1+x2+x3的取值范围是_

，若方程

f(x)-k=0有3个实数根，则实数k的取值范围是

12.(2021•四川成都市•成都七中高三三模(理))已知函数"1)=rn''*',若

x2-6.rf

方程f(x)=a有四个不同的根母2,5,则।-的取值范围是一

Xx.x,乙

四、解答题

13.(2021•四川高三三模(理))已知函数*x)=x白电

⑴求函数瓶)的单调区间和极值；

⑵画出函数既)的大致图象，并说明理由；

⑶求函数g(x；EX)-a(a£R)的零点的个数.

15

参考答案

跟踪训练

1.B

【分析】

在同一坐标系内，作出、-4'kfi的图象，根据图象的交点个数即可求解.

【详解】

在同一坐标系内，作出v4'：'-bgY的图象

，1

如图：

由图象可知，方程只有一个解,

搬：B

2.A

【分析】

根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和,

【详解】

6*-2.x>0,

函数/(1)■«

x+logJZxMO

当x>0时，f(x)=6-2,设其零点为x,则满足65-2=0,解得x=log62;

当炬0时，f(x)=x+log612,设其零点为X2,则满足X2+1陪12=0,解

得

x2=-log612;

所以零点之和为xi+x2=log62-log612=-1

16

嵋A

【点睛】

本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.

3.A

【分析】

由题得K2户0目函数在定义域内心）单调递增，得a<2Q+l,解不等式得解.

【详解】

由题得f⑵=10822+2-3=0,且函数在定义域内f（x）单调递增（增+增=增），

所以a<2<a+l,得l<a<2.

古越：A

【点睛】

本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平，属于基础题.

4.A

【分析】

作出gx）图象，求方程f（x>a=0的实根之和为6,即求y=*x）与尸图象交点横

坐标之和为6,分别讨论a=l、l<a<2、a=2、2<^3、3<a<4和a=4时y=a图象

与对x）图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.

【详解】

作出fix）图象，如图所示

求方程f（x>a=0的实根之和为6,即求月（x）与尸图象交点横坐标之和为6,

17

当a=l时，y=a图象与y=f(x)图象只有一个交点(3,1),不满足题意；

当l<a<2时，y=a图象与y=f(x)图象有2个交点，且从左至右设为％*2,

由图象可得x,X2关于x=3对称，所以年区=3,即X+X2=6,满足题意；

当a=2时，y=a图象与y=f(x)图象有3个交点，且(0,2)为最左侧交点，

设y=a与y=f(x)图象另外两个交点为XR,由图象可得x,x?关于x=3对称，

所以Ui=3,即X+X2=6,满足题意；

当2<把3时，y=a图象与y=f(x)图象有4个交点，从左至右设为盟，X3,X4,

由

图象可得XK2关于X=O对称，所以X+X2=0,

X3,X4关于x=3对称，所以上N=3,即X3+X4=6,满足题意；

当3<a<4时，y=a图象与y=f(x)图象有3个交点，由图象可得不满足题意；

当a=4时，y=a图象与y=f(x)图象有2个交点，由图象可得不满足题意；

综上：a的取值范围为l<a?3.

A

5.AD

【分析】

由f(x)的零点求参数a、b,写出g(x)的解析式，进而可求其零点.

【详解】

由题设知：2,3是x2-ax+b=0的两个根，

3a=2+3=5,b=2x3=6,

Bg(x>=6x2-5x-1,若g(x)=0,可得零点为x=l或x=-L

6

邂AD.

6.1

【分析】

>y-=(J求解.

18

【详解】

?V=yfx-1=(),得Vx■—3

rx

两边平方得：x7(x>0),

解得x=l,

所以函数y・4-1的零点为1.

x

故答案为：1.

7.0

【分析】

求得函数y^xAl=e3/,令y=0,即可求解.

【详解】

由函数gx^e2,可得y=f(x)-l=e，-1,

令y=0,可得e，-1=0,解得x=0,故函数y=<x>l的零点是0.

故答案为：0.

8.――

【分析】

令取用，得)=；,再根据x曰-%兀)，得到2jr-g范围郴

【详解】

/(.v)=2sin||-I,

令f(x)=0得，、in|2x；卜!

因为Xe(-7T,7T),

19

a”汨3*.SK4Kglx

解得x■一^一或一^一球一成^一

412412

,X

WjllXi+Xj+X,+X4*--

故答案为：---

3

9.(0,3)

【分析】

设Kx)=3x+m,利用零点存在定理可构造不等式求得结果.

【详解】

设f(x尸3x+m,则f(-l),f(0)=m(m-3)<0,解得：0<m<3,

即m的取值范围为(0,3).

故答案为：(0.3).

10.1

【分析】

先判断a#O,再利用判别式为零可得答案，

【详解】

因为y=ax2+2ax+l是二次函数，

所以a，O,

又因为二次函数^ax—M+l只有一个零点，

所以二次方程ax2+2ax+l=0只有一个解，

所以△=4a2-4a=0Oa=0(舍去)，或a=l,

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属了基础题.

11.(2,2.5)

【分析】

利用零点存在性定理判断.

20

【详解】

f(2)=-l<0,f(2.5)=5.625>0,f(2)f(2.5)<0

所以下一个有根区间为(2,2.5)

故答案为：(2,2.5)

12.141

【分析】

先求(2),再求f(fl?2)),令f(x)=O,直接解方程可得函数的零点

【详解】

根据题意得：K-2H-2)M,

则K2)尸耳4)=24-2=16-2=14;

令fi(x)=O,得到2-2=0,

解得：x=l,

则函数f(x)的零点个数为1,

故答案为：14:1.

13.-2<k<0

【分析】

转化为求二次函数k-xZ-立G(O,1)的值域，可求得结果.

【详解】

由x?+x+k=O得k=-K-x在xW(0,1)有解，

当0〈x〈l时，(=一/i=।*-)+-为减函数，所以TT<k<0

24

所以-2<k<0.

21

真题再现

1.B

【详解】

令yi=dx,y2=cosx,则它们的图像如图

故选B

2.B

【分析】

由已知，函数f(x)=|x-2[H/x户kx的图象有两个公共点，画图可知当直线介于

4:v=LKJ,:v=.11之间时，符合题意，故邮

考点：函数与方程，函数的图象.

【详解】

3.D

【分析】

22

由g(0)=0,结合已知，将问题转化为y=|kx-2|与二f有3个不同交点，分

k=O,k<O,k>()三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】

注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程JU-2k"l恰有3个实根

l.rl

即可，

=—,即尸|kx-2|与加1)=41的图象有3个不同交点.

Ixll.tl

因为加外■空^x>0

I耳II,x<0

如图1,y=2二"幻二"有1个不同交点，不满足题意;

当k=0时，此时y=2,

1x1

与加1)=四2恒有3个不同交点，满足题意;

当k<0时，如图2,止匕时y=|kx-2|

UI

当k>0时，如图3,当y=kx-2与y=x2相切时，联立方程得x2-kx+2=0,

令△=()得k2・8=0,解得k=2〈2(负值舍去)，所以k>2<2

综上，k的取值范围为(-x,0)U(242,+)。

23

本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

4.A

【详解】

fi；-l)=4sin(-l)+l=-4sinl+l,因为：|,、皿’.土，所以-4sinl+l<0,

42

f(0)=4sinl>0,因此f(x)在［T,0］上有零点，故在-2,0］上有零点；

［2尸s4in5-2=4sin(2兀-5卜2,而0<2n-5<n,BPsin(2n-5)>0,因此

f(2)<0,故f(x)在［0,2］上一定存在零点；

虽然氏4尸4sini74〈o,但，/(—)a4sin(—+］)-<«4sin(—又

父A4

，［+工<卫即疝(1+工)>在从而4M5-2V-，于是f(x)在

24342―

区间［2,%］上有零点，也即在［2,4］上有零点，

排除B,C,D,那么只能选A.

5.C

【详解】

分析：首先根据g(x)存在2个零点，得到方程f(x)+x+a=0有两个解，将其转化为

Rx)=-x-a有两个解，即直线尸-x-a与曲线y=f(x)有两个交点，根据题中所给的

函数解析式，画出函数f(x)的图像(将e，(x>0)去掉)，再画出直线y=-x,并将其上下

24

移动，从图中可以发现，当-aS时，满足尸-x-a与曲线y=fi：x)有两个交点，从而

求得结果.

详解：画出函数f(x)的图像，内在y轴右侧的去掉，

再画出直线尸土,之后上下移动，

可以发现当直线过点A时;直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程fijx尸*x-a有两个解，

也就是函数晨x)有两个零点，

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，

解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条

曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思

想，求得相应的结果.

6.B

【详解】

当0<1把1时，1>1,y=(mx-l)2单调递减，且yKmx-ipeKm-l)21],

tn

尸按+m单调递增，且尸k+m£[mj+m]此时有且仅有一个交点；当m〉l

时，o<J_<iy=(mx-i)2在U’.W上单调递增，所以要有且仅有一个交点，

mm

需(m-lyzl+m—>mN3选B.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

25

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参

数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

⑶数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，

然后数形结合求解.

7.C

【分析】

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b最多一个零点；当X..0时，

y===-b利用导数研究

函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得.

【详解】

当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b=0,得.

1-d

y=fl；x)-ax-b最多一个零点；

Sx..oHj,y=/<o-a<-/>=^xl-^G/+bi+ax-a<-b=\vl-^(n+ht

y-x2-(a+l)x,

当a+1,0,即a,-l时，y'..0,y=f(x)-ax-b在(0,+)上递增，y=f(x)-ax-b

最多一个零点，不合题意；

当a+lX),即a>-l时，令户0得xe(a+l,+),函数递增，令y'O得x©(0,a+l),

函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点o函数产f(x)-ax-b在(-o,0)上有一

个零点，在［0,+0］上有2个零点，

如图：

p>o

,-------<0',|,|,

i—a—(a+1)—(a+IXa+l)-^<0

32

解得b<0』-a>0,0>/>>-((/+1)'>

故选C.

26

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,b两个参数，故按"一元化"想法，逐

步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

8.

详解

由定义运算—加冏鹭凿。

由，假设X<0<X2<X3

27

当关于x的方程为f(x)=m(m@R)恰有三个互不相等的实数根时,

m的取值范围是10ta，且X2,X3满足方程-x2+x=m,所以x?x3=m

令2x2-x=m则5・

所以'4Tl■m-*扁

44

又h(m)156.S/w♦在递增的函数,

所以h(m)>h(0)=l,所以产0,所以、,=〃'二.在递减,

4

1-&

则当m=0时，y=0;当ffin一时，y

I-V5八

所以A,.1,V,£^,0

16

【考点定位】

本题主要考查函数的零点，考查新定义新运算，考查创新能力

9.3

【分析】

求出：3x♦色的范围，再由函数值为零，得到M+工的取值可得零点个数.

66

【详解】

详解：VO^X<71

开，.就I

A-<3i4-<——

666

,M_,.k/r-N3T_p,、了5斤

由您14可大r口3.1+—=—・3.f♦­=—,或！3x+-=—

ft9&、A，

28

解得:x=~-,或

999

故有3个零点

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题,

10.(0,l)L(9,+).

【详解】

试题分析：(方法一)在同一坐标系中画奴月氏3刈和g(x)=ak-l|的图象(如图),

问题转化为

gx)与g(x)图象恰有四个交点.当y=a(x-l)与尸斗3x(或k*a(x-l)与

产x2-3x)相切时，f(x)与g(x)图象恰有三个交点.把尸a(x-1)代入尸斗3x,

得x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0,由△=(),得(3-a)2-4a=0,解得a=l

或a=9.又当a=O时，财与g(x双两个交点，.或a>9.

(方法二)显然x型,l陶•…

44

■/+y?[?,4]U[4,+?),结合图象可得0<a<l或

a>9.

考点：方程的根与函数的零点.

11.(-0,0)U(l,+)

29

【分析】

由g(x)=f(x)-b有两个零点可得f(x)=b有两个零点，即y=f(x)与y=b的图象有两

个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围

【详解】

••,g(xHx)-b有两个零点，

...电网有两个零点，即月(x)与月)的图象有两个交点，

由xK?可得，x=0或x=l

③当吐1时，函数f(x)单调递增，故不符合题意

⑤当a<0时，函数月(x)的图象如图所示，此时存在b使得，y=f(x)与月？有

两个交点

30

综上可得，a<0或a>l

故答案为：(%0)〃1,+)

【点睛】

本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想.

12.-8

【分析】

说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.

【详解】

解：定义在R上的奇函数f(x),所以-岖尸f(-x),f(O)=O,

又f(x4)=f(x),所以Rx尸*x<)=f(x-8),8是函数f(x)的一个周期，

所以f(x-4)=f(-x尸f(x+4),所以x=-2是函数的一条对为釉，函数的对褥由是

Hk-2(k£Z),根据以上性质画出函数的大致图像：

有图像知，X+X2=4,X3+X4=-12,所以XI+XZ+X+X4=-8,

故答案为:-8

【点睛】

31

把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.

13.⑴-1,⑵或它2.

【详解】

①a=l时，={./，函数f(x)在(-00,1)上为增函数且

4(x-a)(x-2a).x“

f(x)>-l,函数f(x)在［1,,未为减函数，在号.9》为增函数，当x时，耿)取得最

小值为T；

⑵①若函数g(x)=Z-a在x<l时与x轴有一个交点，则a>0,g(l)=2-aX),

则0<a<2,函数h(x)=4(x-a)(x-2a)与x轴有一个交点，所以2a2l且a<l=

一Sa<11

2

②^函数g(x)=2-a与x轴有无交点，则函数h(x)=4(x-aXx-2a)与x轴有两个交

点,当awo时g(x)与x轴有无交点，h(x)=4(x-a)(x-2a)在疟1与x轴有无交点，不

合题意；当当a22时晨x)与x轴有无交点，h(x)与x轴有两个交点，x=a和x=2a,

由于aN2,两交点横坐标均满足xNl;综上所述a的取值范围一，口或心2.

考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思

想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行

分类讨论.

14.崎

【分析】

分别考查函数Rx)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.

【详解】

当xe(0,2)时，f(x)=y/l-(x-l),即(x-l)+y2=l,yK).

又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4,如图，函数f(x)与g(x)的图象,

32

要使Kx)=g(x)在(0,9)上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.

当g(x)=k(x+2)时，g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线，只需函数电)与g(x)的图象

有6个交点.当出x)与g(x)图象相切时，圆心(1,0)到直线kx-*0的距离为1，即

I&+21后

「二二1,得大=丫£,函数f(x)与g(x)的图象有3个交点；当g(x尸k(x+2)过点

Jl+l4

(1,1)时，函数Rx)与g(x)的图象有6个交点，此时l=3k,得上■!

综上可知，满足歌用x)在(0,9)上有8个实根的k的取值范围为

【点睛】

本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象

的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，

从而确定参数的取值范围.

15.(4,8)

【详解】

分析：由题意分类讨论内)和xX)两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最

终结果.

详解：分类讨论：当烂0时；方程f(x户ax即x3ax+afx,

整理可得：xj(x+l),

33

很明显x=・l不是方程的实数解，则/=_

*♦1

当x>0时，方程f（x）=axBfJ-x2+2ax-2a=ax,

整理可得：xMx-2）,

很明显x=2不是方程的实数解，则0=-----

原问题等价于函数欲)与函数尸有两个不同的交点，求a的取值范围.

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数glx)的图象,

同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，

结合a>0观察可得，实数a的取值范围是(4,8).

34

点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：

⑴直接求零点：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)〈O,

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横

坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

16.(1)见解析；(2)q=d

4

【详解】

分析：(1冼构造函数g(x)=(x2+l)e*-l,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单

调递减，最后根据单调性证得不等式；(2)研制x)零点，等价研究h(x)=l-a