江苏省无锡市四校2024届高三年级上册12月学情调研数学试卷及答案

2023-2024学年度12月学情调研试卷

局二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合人=朴2利，5=｛小=1鸣比则45=（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.（0,2]D.[2,-Ko）

2.己知复数z满足z（l+i）=2—2i（i是虚数单位），则I虚部为（）

A.2B.-2iC.-2D.2i

3.设平面向量均为单位向量，则“卜—2々=|2。+耳”是“aW的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”

三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶

段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600

公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公

里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

5.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2,则它们的体

积比是（）

A.l：V10B.1:75C.2:回D.2:退

6.等差数列｛4｝各项均为正数，首项与公差相等,,1-----/=，贝II%023的值为(

k=iyj(lk+dg+1

A.6069B.6079C.6089D.6099

7.已知函数/(幻=山(而71+%|+2,正实数a/满足/(2a)+/3-2)=4,则"l+g的最小值为()

9

A5Bn.一C.4D.9

2

f（x\

8.已知函数/（x）在R上都存在导函数/'（x）,对于任意的实数方+力=e2"当》<0时,

/(%)-/f(%)>0,若“=与9,/?=ef(-l),c=5/lInjj,则a,4c的大小关系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9.若a<b且aZ?wO,则下列结论成立的是（）

33

A—>-B.a<Z?C.同D.2。<3"

ab

10.函数/（x）=sin（0x+e）/>O,闸的图象如图所示，则（）

C.对任意的天都有/（x）2/［正）

D.”力在区间［-左,句上的零点之和为g

11.已知A（%,yJ,3（%2，%）是圆。：必+/=1上两点，则下列结论正确是（）

A.若点。到直线AB的距离为《，则|A8|=6

B.若，LOB的面积为无，则NA03=C

43

C.若Xix2+弘%=|，则点。到直线AB的距离为

D.|%+%—1|的最大值为0+1，最小值为后—1

12.在正四棱锥尸一ABCD中，AB=g，巳4=百，点。满足尸。=尸4+》48+,力。，其中工€[0,1],

ye[0,1],则下列结论正确的有()

A.|尸。|的最小值是应

B.当％=1时，三棱锥P-ADQ的体积为定值

TT

c.当％=y时，PB与。。所成角可能为一

6

D.当x+y=l时，A3与平面尸4。所成角正弦值的最大值为典

6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题“王：€[1,3],犬+依+1〉0”是假命题，则实数。的最大值为.

14.已知向量,卜2,匕在4方向上投影向量为_3a，则°力=.

15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每

条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同

样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.依次进行“九次分形”

(“cN*).规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“九次

分形”后所得分形图的长度不小于120,则九的最小值是.(参考数据：坨2a。.3010,坨3亡0.4771)

/、21nx,x>l/、/、/、

16.己知函数={3c[，令g(x)=/(x)，当左=—e?时，有g(Xo)=O,则/=______

—X+2x,x<1

若函数g(x)恰好有4个零点，则实数人的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文

字说明，证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，NA,/B，NC的对边别为“，b,c,若acosC+GasinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,Sw=空，求心

/\/lOC-y|

18.已知数列｛a,｝的前几项和为S“，且S〃+2"=24+l.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛墨+(―1)用•3〃｝(附eN,)的前n项和Tn.

19.如图，在四棱锥尸―A5CD中，底面ABC。，AD//BC,点M在棱PB上,

2

PM=2MB,点N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。为的中点，求证：NQ〃平面PA5；

2PN

(2)若直线E4与平面AAW所成角的正弦值为§,求正的值.

20.如图，半径为1的光滑圆形轨道圆Q、圆仪外切于点“，点“是直线QQ与圆a的交点，在圆形

轨道。I、圆。2上各有一个运动质点尸，。同时分别从点加、H开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P,

。运动的角速度之比为2：1,设点。转动的角度为。，以a为原点，aa为x轴建立平面直角坐标系.

(1)若。为锐角且sin［。一巴］=也，求P、。的坐标;

I4J10

（2）求|PQ|的最大值.

21.已知椭圆C：r+y2=i（〃〉i）的上顶点为A,右焦点为尸，直线AF与圆

a

":犬2+>2_6%_2y+7=0相切.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若不过点A的动直线/与椭圆相交于P,。两点，若女人尸+心°=2,求证：直线/过定点，并求出该

定点坐标.

22.已知函数=2双一兀之-21nx.

（1）若/（可在定义域内单调，求实数。的取值范围；

（2）若m,〃分别为/（X）的极大值和极小值，求机一〃的取值范围.

2023-2024学年度12月学情调研试卷

局二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

什施人4=卜卜~«4：B=(xly=log9%)AD-

1.若集合LJ,IU0-J,则A万一(

A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.[2,+co)

答案：C

解析：由f<4,可得—2W九W2,所以A={X|X2<4}=[—2,2],

由对数函数的性质得B=[x\y=log2=(0,+oo),

则Ac5=（0,2].

故选：C.

2.已知复数z满足z（l+i）=2—2i（i是虚数单位），则1的虚部为（）

A.2B.-2iC.-2D.2i

答案：A

解析：因为z(l+i)=2—2i,

2-2i2。-i)。-i)2.

所以z=

1+i(l+i)。-i)一

则z=2i，所以z的虚部为2.

故选：A.

3.设平面向量°,b均为单位向量，则“卜—2q=|2a+.”是“a.”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：因为卜—2囚=|24+囚o同②_4a力+411=4|tz|2+4tz-b+\b^

oa・b=Uoa-Lb，

所以“卜-2囚='+囚”是“0’6”的充分必要条件，

故选：C.

4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”

三步走的收官之战,经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，

若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，

以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此

椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

答案：D

解析：由题意可知椭圆实轴长2a=200+8600+2x1740=12280,所以a=6140,

焦距2c=2a—（200+1740）x2=12280—3880=8400,所以c=4200,

c4200

所以椭圆的离心率0=上=」以土0.68,

a6140

故选：D.

5.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2,则它们的体积

比是（）

A.1:710B.1:75c.2:710D.2:逐

答案：A

解析：设圆锥母线长为/,侧面积较小圆锥半径为一，

侧面积较大的圆锥半径为R,它们的高分别为〃、H,

则兀”:（您/）=1:2,得R=2r,

因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，

所以2兀®?-—?,得/=3厂，

再由勾股定理，得口=，/2—/=2夜厂,

同理可得H=，尸-4=V5r-

所以两个圆锥的体积之比为：

故选：A.

15]

6.等差数列｛4｝各项均为正数，首项与公差相等，£亍―=则％023的值为()

k=l+,以+1

A.6069B.6079C.6089D.6099

答案：A

解析：设等差数列｛4｝的公差为d(d>0),

因为首项为与公差d相等，所以+5-1)2=加，

15111oli_

所以gI—+=工（7^'一向）=7（116/_期）=—^—=百,所以d=3,

所以。2。23=2023义d=2023x3=6069,

故选：A.

7.已知函数/(0=山(7711+目+2,正实数满足/•(2a)+/S-2)=4,则■!+:的最小值为()

Q

A.5B.-C.4D.9

2

答案：B

解析：因为/(x)=ln(Jd+l+x)+2,

所以/(x)+/(-尤)=In(Jx?+1+x)+2+ln(Jf+]一])+2=4,

故函数/(%)关于(0,2)对称；

又〃龙)的定义域为R,/(x)=ln(4rli+%)+2,

所以由复合函数的单调性可判断了(九)在R上单调递增；

又/（24）+/3-2）=4,所以2a+A—2=0,即2。+b=2,

又—。,故常女+>2»)=,5+衿］>1‘5+2,2b2a'9

"2lab,2

当且仅当一二/，即a=b=—时，等号成立.

ab3

21Q

所以一+丁的最小值为一.

ab2

故选：B.

f(\

8.已知函数/(x)在R上都存在导函数/'(%),对于任意的实数7亡xj=e2x,当无<0时,

/(%)-/(%)>0,若〃=*2)，/7=ef(-l),c=5/Hn|j,则”,dc的大小关系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

答案：B

解析：令8(%)=驾，因为无<0时，/(X)—r(x)>0,

c

所以当x<0时，g，(x)=/⑴一/()<0,则g(x)在(—8,0)上单调递减，

e%

因为g(x)=J学的定义域为R,又;^\=e"，则/⑴=以二»,

eAf(~x)eYe「工

所以g(—x)=/tD=/5=g(x),所以g(x)为偶函数，

e%ex

故g(x)在(0,+s)上单调递增,

又a="2)=g(ln2),=ef(-l)=g(-l)=g(l),

Tin：^fln|Ug(-ln5)=g(ln5),

而In5>l>ln2,所以g(ln5)>g⑴>g(ln2),^c>b>a.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9.若a<b且abwO,则下列结论成立的是()

11

A.—>—B.a3<b3C.a|«|</?|Z?|D.2a<3b

ab

答案：BC

解析：对于A,取a=—1力=1,满足a<b,止匕时工=—1<1=工，A错误;

ab

对于B,a<b,由不等式性质知，/〈尸成立，B正确;

对于C,当a<O<Z?时，a|a|<0</?|/?|,当0<a<5,0<|o|<|Z?|,则。同</?网,

当a</?<0时，—a>—b>3|a|>|Z?|>0,则一4|。|>一加5|>。，于是《《〈”闿,

因此若a<Z?且a/?wO,则。同<用|成立，C正确;

对于D,取a=-3/=—2,满足a<b,而2。=1>工=3",D错误.

89

故选：BC

10.函数/（x）=sin（0x+e）（0>O,|9|<gJ的图象如图所示，则（

C.对任意的x都有“X）2/[五

D.”力在区间[-肛句上的零点之和为事

答案：AB

解析：由题图可知函数/（九）的最小正周期为T=等一2]="，则。=至=2,

所以，〃x）=sin（2x+0）,把仁,1）代入得l=sin5+9）,则（=]+2左左（左eZ）,得

夕=（+2左〃（左eZ）,

|^|<—,：.(p=—,则AB选项均正确;

26

/(x)=sinf2x+^j,当x=时，/(x)=0,不满足对任意的x都有/(x)2/隹)，c错误;

-711U13万

XE[-71.7l\,2xH—e

6

则/(%)共有4个零点，不妨设为。、b、c、d,且a<6<c<d,

则2a+工+26+工=2x］上］,2c+-+2J+-=2x—,

66I2)662

4

两式相加，整理得2a+2b+2c+2d=—TI,

3

977-

故/(%)的所有零点之和为a+6+。+d=-^-，D错误，

故选：AB.

11.已知A(%,%),5(%,%)是圆。：d+y2=i上两点，则下列结论正确的是()

A.若点。到直线AB的距离为则|AB|=6

B.若的面积为也，则4。3=二

43

C.若%々+%为=3,则点。到直线A3的距离为孝

D.上+%—1|的最大值为a+1，最小值为0—1

答案：AC

解析：对于A：易知圆。：/+/=i的半径厂=i,

因为点。到直线A3的距离d=,，

2

所以|AB|=24_/=2^171=0,

即选项A正确；

对于B：因为的面积为走，

4

所以L|a4||OB|sinNAO3=^，

24

即』sinNA03=@,解得sin/A03=走，

242

因为0<NAOB<7i,

JT9jr

所以ZAOB=—或ZAOB=—,

33

即选项B错误；

对于C：因为%%=3，所以。

即|0A\•|OB|cosZ.AOB=—,即cosZAOB=—,

22

TT

因为0<NAO5<TI,所以NAOB=—,

3

即.AOB是边长为1的等边三角形，

所以点。到直线A3的距离为也，

2

即选项C正确；

对于D：由题意设芯=cos。，M=sin。，且0<8<2兀，

则xl-l|=|cos<9+sin^-l|=|^sin^+^-1

717TQTI

因为0<。<2JI，所以一—«—，

444

则-1«sin(8+-)<1,-V2<叵sin(8+-)<72,

44

-V2-l<V2sin(6>+-)-l<V2-l,

4

所以OW|0sin(6+C)—1区a+1,

4

即0«|%+%-1区行+1,

即选项D错误.

故选：AC.

12.在正四棱锥P—ABCD中，AB=O，PA=6,点。满足尸。=PA+xA3+yAO,其中xe[0,l],

ye[0,1],则下列结论正确的有（）

A.\PQ\最小值是J5

B.当x=l时，三棱锥尸-A。。的体积为定值

7T

c.当时，依与八2所成角可能为:

6

D.当x+y=l时，A3与平面PAQ所成角正弦值的最大值为叵

6

答案：ABD

解析：由PQ=PA+xA3+yA£）,可得PQ—PA=AQ=xAB+,其中xe[0,l],ye[0,l],

所以Q为正方形ABCD内的点（包括边界）,

在正四棱锥P—ABCD中，AB=垃,PA=M，设A。BD=O,连接尸0,

则PO1平面ABC。，OA=OB=1,PO=42,

对A,由题可知|PQ|N|P。|=四，当。,0重合时取等号，故A正确；

对B,当％=1时，AQ=AB+yAD,即BQ=yA£>,故。在线段上，

因为AD/ABC,所以三角形ADQ的面积为定值，而三棱锥尸-ADQ的高尸。为定值，故三棱锥尸-ADQ的

体积为定值，故B正确；

对C,当x=y时，AQ=x^AB+AD^=xAC,故Q在线段AC上，

由题可知PO±OB,OB工OA,POcOA=O,PO,OA<=平面PAC,故0B，平面PAC,

所以P0为PB在平面PAC内的射影，NBPQ>ZBPO,

而在RtZ\POB中，tanN8P0=3=交>立，所以NBPO>乃,ZBPQ>~,故PB与尸。所成角不

V22366

兀

可能为：，故C错误；

6

对D,当x+y=l时，AQ=xAB+yAD,故。在线段3。上,

如图以。为原点建立空间直角坐标系，设0(0/⑼(―1WM1),则4。,0,0),3(0,1,0),网0,0,、目,

所以AB=(—1,1,0),AP=/1,0,0),AQ=(—1/O),

设平面P42的法向量为加=(。3,c),则7,

m-AQ=-a-^-tb=0

令b=0，则m=(",0,。，设AB与平面PAQ所成角为0,

AB-m|A/2-A/2/|

所以sin。

ABI-Iml"j3/+2

2（51乂3/+2）6《”1）2_（Z-1）（6?+4）

设/⑺，<-!』，则/'。)=

”+2）2（3r+2）2

所以当teT，T时，/'⑺>0,/(。单调递增，当代|，1)时,广⑺<0,/(。单调递减,

所以/⑺max

故选：ABD.

点睛：关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点。的位置，然后结合条件利用立体几何知识

解决即得.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题“王：€[1,3],三+依+1>0”是假命题，则实数。的最大值为.

-10

答案：---

3

解析：由题知命题的否定“\/%£口,3],犬2+依+1＜。”是真命题.令/（%）=%2+〃犬+i（犬6口，3]）,则

/⑴=〃+2V0,

解得k，故实数。的最大值为-k.

“3)=3〃+10V0,33

故答案为：----・

3

14.已知向量口=2,》在4方向上的投影向量为-3。，则。必=.

答案：-12

解析：因为》在a方向上的投影向量为-3a，卜|=2,

b-aa卜.°,_

所以仃,0=-30，即=所以。.0=—12.

网rl4

故答案为：-12.

15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条

边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方

法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.依次进行“〃次分形"（“eN*）.规

定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“九次分形”后所得分形

图的长度不小于120,则〃的最小值是.（参考数据：1g2a0.3010,1g3ao.4771）

答案：13

4

解析：依题意可得“九次分形”图的长度是“n-1次分形”图的长度的一,

3

由“一次分形”图的长度为工x4x3=4,

3

4

所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4,公比为一的等比数列,

3

所以“九次分形”图的长度为4x

故4x>120，即>30，两边取对数得("—1)(21g2-1g3)21+1g3,

l+lg31+0,4771

所以“一12-11.8,则/212.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又“eN*，故〃的最小整数值是13.

故答案为：13.

2InxxN1

16.已知函数={3］，令g(x)=/(x)—Ax,当左=—e?时，有8小)=0,则为=

—X+2x,x<1

若函数g(x)恰好有4个零点，则实数左的取值范围为.

答案：①.0或_Je2+2②.1°，|)

解析：当左=—e?时，g(xo)=O,即/(Aj+e?%,=0,

2

当工21时，21nx0+ex0=0,令/z(x)=21nx+e2］,x>l,

2

〃(%)=—+>0在［1,+00)上恒成立，

X

故/z(x)=21nx+e2jt在［l,+o。)上单调递增，

又/z(l)=e2>0,故/z(x)=21nx+e2］>0在［l,+oo)恒成立，无解，

当x<l时，—X：+2毛+e'o=0,即(―尤：+2+e2)x()=0,

故X。=0或一片+2+e2=0,

解得%=0或+2或7e2+2，

但Je2+2>1舍去，其余两个满足要求，

当x=0时，—o3+2xo—o.左=0，故。为g(x)的一个零点,

当xwO时，令g(%)=0,

当时，—1=k,当xe(—8,o)_(o,l)时，_f+2=左,

X

21nx

e[L+a)

令1(%)=<%

-x2+2,xe(-co,0)o(0,1)

2-21nx

当时，f(x)

当％〉e时，f(x)<0,r(x)单调递减，当lWx<e时，«尤)>0,1％)单调递增,

2

故《尤)在％=6时取得极大值，也是最大值，且f(e)=—,

e

且当光>1时，《x)>0恒成立，

画出其图象如下,

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明，证明过程或演算步骤.

17.在，ABC中，/A，NB，NC的对边别为〃，b,c,若acosC+GasinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,5人4”="，求a.

/y|

答案：(1)A=；

(2)a-y/1

小问1解析:

因为4(\)5。+6。5111。一/7—。=0

由正弦定理得：sinAcosC+A/3sinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAcosC+A/3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

即由sinA-cosA=1，

故sin|A-:|=二，由A为三角形内角可得A-二=二,

66

小问2解析：

<_1,.,73,_373

△ABC244

be=3

由余弦定理。2-b1+c2-2Z?ccosA=(Z?+c)2—3bc,

又、>+c=4,代入得a=^/7.

18.已知数列｛〃J的前〃项和为臬，且S〃+2〃=24+l.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛枭+(―I)””•3JeN*)的前〃项和却

答案：(1)4=小2"一

⑵KF+

小问1解析:

由S“+2"=2a“+l①

当〃=1时，S]+2=2al+1,所以%=1

当“之2时，S,T+2"T=24T+1②

①②式相减得«„+2〃T=2%T+1,即4—2a,i=2"T

两边同除以2"得，墨一白=；，

又3=工，所以数列[务]是以J为首项，J为公差的等差数列,

22[2n\22

=g+—=则与="-2'T

小问2解析：

可知数列是以g为首项，g为公差的等差数列，

可知数列｛(-3")是以3为首项，-3为公比的等比数列，

4=[；+1+?++W]+[3+(-9)+27+(-l)n+1-3M

I乙乙乙)J—

3[1—(―3)〃

~~21-(-3)

3^1-(-3)"

「j+

444

19.如图，四棱锥P—ABCD中，以，底面ABC。，A£)〃BC,AB16c.点〃在棱依上,=2MB，

点N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。为的中点，求证：NQ〃平面P45；

2PN

(2)若直线以与平面AMN所成角的正弦值为求证的值.

答案：(1)证明见解析

⑵九

小问1解析:

证明：过M作的平行线交PC于〃，连接他,

PMPHMHPH2

,又'PM=2MB，,:.HC=-PC,又CN=2NP,

PB~PC~BCPC33

:.NH=PN=HC,.♦.N为PH的中点，又。为的中点,

:.NQ//HD,

XMH=-BC=2又A£>=2,AD/IBC,

39

:.AD//MH,且AD=MH,

，四边形MMM是平行四边形,

:.HD//MA,:.NQ//AM,

NQZ平面PAB，AMu平面PAB,NQII平面PAB

小问2解析：

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),A/(—,0,§),尸(0,0,2).C(2,3,0),AM=(―,0,—),

A尸二(0,0,2).PC=(2,3,-2),

:・设PN=ATC=Q九,32,-22)(0<2<1),

AN=AP+PN=(0,0,2)+(24,3%,—24),=(24,3」,2—24)

设平面的一个法向量为〃=(%,y,z),

n-AM=—x+—z=04-62

则j33,令x=l,贝i」2=—2y~

32

n-AN=22x+32y+(2—22)z=0

「•平面AMN的一个法向量为〃=(1,土4-6詈2，-2),

3/t

设直线PA与平面AAW所成角为氏

..AP-n.4I,则」

n>1=1------------1=

/.sin0=|cos<AP，".川2卜4+(3与

3

PN_1

PC-3

20.如图，半径为i的光滑圆形轨道圆a、圆a外切于点加，点〃是直线aa与圆°?的交点，在圆形轨

道。I、圆。2上各有一个运动质点P,。同时分别从点M、”开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点尸，Q

运动的角速度之比为2：1,设点。转动的角度为。，以a为原点，aa为x轴建立平面直角坐标系-

(1)若。为锐角且sin1e—乙兀]=也

，求产、。的坐标;

410

(2)求的最大值.

答案：(1)《(7石‘石24、"134

T5?

⑵还

4

小问1解析:

JT兀兀

因为。为锐角，所以"V

所以sin"s4L」71"]=巨也+逑x也

441021025

.________o

所以cos。=vl-sin28=g

24c7

所以sin2e=2sinecos8=—,cos26^=2cos20-1=-----

134

所以。

T9?25'25

小问2解析：

因为点尸，。分别运动的角速度之比为2：1,

所以当点。转动的角度为夕时，尸转动角度为29,

因此P(cos2asin2。),Q(2+cos0,sin8).

\QP^=(cos20-cos0-2)2+(sin28-sin

=cos22^+cos2^+4-2cos2^cos^-4cos2^+4cos0+sin22^+sin2-2sin26sin0

=6-2(cos20cos0+sin20sin8)-4cos28+4cos0

=6-4cos28+2cos0

-—8cos26+2cose+10,

所以当cos8=：时，|PQ『取得最大值—8x(』］+2xi+10=—，

o18)88

所以|PQ|的最大值为述.

21.已知椭圆C:=+/=1（。〉1）的上顶点为A,右焦点为尸，直线A尸与圆M:必+V—6x—2y+7=0

相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线/与椭圆相交于尸，