2023年中考数学考前第27讲：尺规作图性问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第27讲：尺规作图性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作

一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线.

2.会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已

知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形.

3.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：

作圆的内接正方形和正六边形.

4.在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，

中考中常见考点有：

1.网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图

2.尺规作图：

⑴尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图,

最基本最常用的尺规作图，称为基本作图.

⑵五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一

个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线.

⑶尺规作图的步骤：

①已知：写出已知的线段和角，画出图形：

②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：

③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本

作图的痕迹：

④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作

法证明所作图形完全符合题设条件，

⑤对所作图形下结论.

⑷作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其

夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形.

⑸探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.

【例题1】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

已知线段a和/AOB,点M在。B上（如图所示）.

第1页共23页

(1)在。A边上作点P,使0P=2a；

(2)作NAOB的平分线；

(3)过点M作OB的垂线.

【例题2】两个城镇A、8与两条公路ME,/WF位置如图所示，其中/ME是东西方向的公路.现

电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到

两条公路ME,MF的距离也必须相等，且在NFZWE的内部，那么点C应选在何处？请在图

中，用尺规作图找出符合条件的点C∙(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)

第2页共23页

【例题3】如图，在5x5的正方形网格中有一条线段AB,点A与点B均在格点上.请在这

个网格中作线段AB的垂直平分线.要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②

保留必要的作图痕迹.

一、选择题:

1.如图，在口ABCD中，用直尺和圆规作NBAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,

2.用直尺和圆规作RtZ∖A8C斜边AB上的高线8,以下四个作图中，作法错误的是（）

3.已知□ABCD,根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）

第3页共23页

DE

A.ZDAE=ZBAEB.ZDEA=—ZDAB

9

C.DE=BED.BC=DE

4.如图，在RtZXABC中，ZC=90o,按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧,

与AB,BC分别交于点D,E;②分别以D,E为圆心，大于JDE的长为半径画弧，两弧交

2

于点P;③作射线BP交AC于点F；④过点F作FGlAB于点G.下列结论正确的是()

A.CF=FGB.AF=AGC.AF=CFD.AG=FG

5.如图，点A在双曲线y—虫(x>0)上，过点A作AB_LX轴，垂足为点B,分别以点O

X

和点A为圆心，大于LoA的长为半径作弧，两弧相交于D,E两点，作直线DE交X轴于点

2

C,交y轴于点F(0,2),连接AC.若AC=I,则k的值为()

第4页共23页

二、填空题:

6.如图，点A,B,C均在6x6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过A,

B,C三点外还能经过的格点数为

7.如图，已知线段AB,分别以A、B为圆心，大于WAB为半径作弧，连接弧的交点得到直

线I,在直线I上取一点C,使得NCAB=25。，延长AC至M,求/BCM的度数为

8.以RtZ∖ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB,AC各相交于一点，再

分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于

点D.若NADB=60。，点D到AC的距离为2,则AB的长为.

9.下面是"经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线I和直线I外一点P

求作：直线I的平行直线，使它经过点P∙

(i)过点P作直线m与直线I交于点O；

第5页共23页

(ii)在直线m上取一点A(OA<OP),以点。为圆心，OA长为半径画弧，与直线I交于点

B；

(iii)以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C,以点C为圆心，AB长为半径画

弧，两弧交于点D;

(iv)作直线PD.

所以直线PD就是所求作的平行线.

请回答：该作图的依据是.

10.如图，在aABC中，ZC=90o,ZB=30o,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC

于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连

结AP并延长交BC于点D,则下列说法①AD是NBAC的平分线；②NADC=60。；③点D

在AB的中垂线上；正确的个数是个

三、计算与解答：

11.已知：如图，Zα,Zβ,线段m.

求作：AABC,使NA=Na,ZS=Zβ,AB=m.

第4题

第6页共23页

12,尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

已知线段a和NAOB,点M在OB上（如图所示）.

（1）在OA边上作点P,使0P=2a;

（2）作NAOB的平分线；

（3）过点M作OB的垂线.

13.两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄,

要求该山庄到A,B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在NDCE的内部，

请画出该山庄的位置P.（不要求写作法，保留作图痕迹.）

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14.A、B两所学校在一条东西走向公路的同侧，以公路所在直线为X轴建立如图所示的平面

直角坐标系，且点4的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).

Λ(7.3)

■

彳(2.2)

⑴一一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C,使C点到4B两校的距离相

等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标.

(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐

场P的位置，并求出它的坐标。

第8页共23页

15.在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图

过程：

已知：直线1和1外一点P.

p.P

1

-----------A7D*

图①

求作：直线I的垂线，使它经过点P.

作法：如图：①在直线1上任取两点A,B；

②分别以点A,B为圆心，AP,BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

③作直线PQ.

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

(1)以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

⑵已知：直线1和1外一点P.

求作：OP,使它与直线1相切.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑

色签字笔描黑)

P

------------------/图②

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2023年中考数学考前冲刺第27讲：尺规作图性问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段：作一个角等于已知角；作

一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线.

2.会利用基本作图作三角形：己知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已

知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形.

3.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：

作圆的内接正方形和正六边形.

4.在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，

中考中常见考点有：

1.网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图

2.尺规作图：

⑴尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图,

最基本最常用的尺规作图，称为基本作图.

(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一

个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线.

⑶尺规作图的步骤：

①已知：写出已知的线段和角，画出图形：

②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：

③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本

作图的痕迹：

④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作

法证明所作图形完全符合题设条件，

⑤对所作图形下结论.

⑷作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其

夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形.

(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.

【例题1】尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

第10页共23页

已知线段a和∕AOB,点M在OB上（如图所示）.

（1）在OA边上作点P,使0P=2a；

（2）作NAe）B的平分线；

（3）过点M作OB的垂线.

【分析】（1）在C）A上截取0P=2a即可求出点P的位置；

（2）根据角平分线的作法即可作出NAoB的平分线；

（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径

的圆交于D点，连接MD即为C）B的垂线；

【解答】解：（1）点P为所求作；（2）C）C为所求作；（3）MD为所求作；

【例题2】两个城镇A、B与两条公路∕WE,MF位置如图所示，其中/ME是东西方向的公路.现

电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到

两条公路∕WE,MF的距离也必须相等，且在NFME的内部，那么点C应选在何处？请在图

中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键.到A、8距

第11页共23页

离相等则作线段A8的垂直平分线，到ME、MF距离相等则作NFME的角平分线，它们的交

点即为所求.

解：答案如图：

【例题3】如图，在5x5的正方形网格中有一条线段AB,点A与点B均在格点上.请在这

个网格中作线段AB的垂直平分线.要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②

保留必要的作图痕迹.

【分析】以AB为边作正方形ABCD,正方形ABEF,连接AC,BD交于0,连接AE,BF交于

0’,过。，0'作直线OCy于是得到结论.

【解答】解：如图所示，直线。。'即为所求.

一、选择题：

1.如图，在口ABCDΦ,用直尺和圆规作/BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,

则AE的长为（）

第12页共23页

【分析】由基本作图得到AB=AF,AG平分NBAD,故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的

性质可知AEJ_BF,故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论.

【解答】解：连结EF,AE与BF交于点0,

四边形ABCD是平行四边形，AB=AF,

.∙.四边形ABEF是菱形，

ΛAE±BF,0B=-ɪ-BF=4,OA=工AE.

22

VAB=5,

⅛Rt∆AOBΦ,AOW25“6=3,

ΛAE=2AO=6.

故选B.

2.用直尺和圆规作RtAABC斜边AB上的高线C。，以下四个作图中，作法错误的是（)

【解析】小根据垂径定理作图的方法可知，CD是RtAABC斜边AB上的高线，不符合题意;

B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是RtAABC斜边AB上的高线，不符合题

J⅛.

后、；

第13页共23页

C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt斜边AB上的高线，不符合题意;

D、无法证明CD是RtZ∑A8C斜边AB上的高线，符合题意.

3.已知□ABCD,根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）

A.ZDAE=ZBAEB./DEA=—ZDAB

ɔ

C.DE=BED.BC=DE

【解析】【解答】根据图中尺规作图的痕迹，可知，Jr是力的角平分线，

,在跋城二£.胃父落故A不符合题意，

丁四边形一13。是平行四边形，

白段丁>=或H=嬷〃（.D`

■J

I，£之建盛=H品滋留魅ENL货也觑⅛¾故B不符合题意.

榨

6Qj=

、期更二蔡,故D不符合题意.

力户和RF的关系不能确定.

故答案为：C.

4.如图，在RtZ∖ABC中，ZC=90%按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧,

与AB,BC分别交于点D,E;②分别以D,E为圆心，大于gDE的长为半径画弧，两弧交

于点P;③作射线BP交AC于点F；④过点F作FGlAB于点G.下列结论正确的是（）

A.CF=FGB.AF=AGC.AF=CFD.AG=FG

第14页共23页

【解答】解：根据作图的步骤得到：EF是/CBG的角平分线，

A、因为EF是NCBG的角平分线，FG_LAB,CF±BC,所以CF=FG,故本选项正确；

B、AF是直角AAFG的斜边，AF>AG,故本选项错误；

C、EF是/CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本

选项错误；

D、当RtZiABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；

故选：A.

5.如图，点A在双曲线y—&(x>0)上，过点A作AB_Lx轴，垂足为点B,分别以点。

X

和点A为圆心，大于LoA的长为半径作弧，两弧相交于D,E两点，作直线DE交X轴于点

2

C,交y轴于点F(0,2),连接AC.若AC=I,则k的值为()

【分析】如图，设OA交CF于K.利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出

AB、OB即可解决问题：

【解答】解：如图，设OA交CF于K.

由作图可知，CF垂直平分线段OA,

,OC=CA=I,OK=AK,

第15页共23页

在Rt∆0FC中，CF=∖∣()f'=yβ

.∙.AK=0κJ£=也，

H5

・

•.5*

,_()Γ(KCF

由aλFOCS^λOBA,可TZ得a——=——=——

OBABOA

OBAB4√5

5

ΛOB=-,AB=-,

55

、

•.∙Az(-«f—4),

55

25

故选:B.

二、填空题：

6.如图，点A,B,C均在6x6的正方形网格格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过A,

B,C三点外还能经过的格点数为5

【分析】根据圆的确定先做出过A,B,C三点的外接圆，从而得出答案.

【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为0,

5(1

*O

,V

ɔ一G

i

■・

以。为圆心、OA为半径作圆，则。0即为过A,B,C三点的外接圆,

第16页共23页

由图可知，Θ。还经过点D、E、F、G、H这5个格点,

故答案为：5.

7.如图，已知线段AB,分别以A、B为圆心，大于；AB为半径作弧，连接弧的交点得到直

2

线I,在直线I上取一点C,使得/CAB=25。，延长AC至M,求/BCM的度数为。

【分析】根据作法可知直线I是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC,再由三角形外角

的性质即可得出结论.

【解答】解：•••由作法可知直线I是线段AB的垂直平分线，

AC=BC,

NCAB=NCBA=25",

ZBCM=ZCAB+ZCBA=25o+25o=50o.

8.以RtZ^ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB,AC各相交于一点，再

分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于

点D.若∕ADB=60。，点D到AC的距离为2,则AB的长为一

【分析】如图，作DE_LAC于E.首先证明BD=DE=2,在RtZ∖ABD中，解直角三角形即可解

决问题.

【解答】解：如图，作DEJ_AC于E.

由题意AD平分NBAC,

VDB±AB,DEXAC,

第17页共23页

.∙.DB=DE=2,

在RtZ^ADB中，VZB=90o,ZBDA=60o,BD=2,

.•.AB=BD・tan6O°=2«,

故答案为2.石

9.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线I和直线I外一点P

求作：直线I的平行直线，使它经过点P∙

(i)过点P作直线m与直线I交于点O；

(ii)在直线m上取一点A(OA<0P),以点。为圆心，OA长为半径画弧，与直线I交于点

B；

(iii)以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C,以点C为圆心，AB长为半径画

弧，两弧交于点D；

(iv)作直线PD.

所以直线PD就是所求作的平行线.

请回答：该作图的依据是.

【解析】利用作法得OA=OB=PD=PC,CD=AB,原式可判断AOAB之APCD,贝IJ

ZAOB=ZCPD,然后根据平行线的判定方法可判断PD∕∕∖.

解：如图2,由作法得OA=OB=PD=PC,CD=AB,则^OABg∕∖PCD,

所以NAOB=/CPD,所以PD〃1.

第18页共23页

故答案为三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，直线平

行.

io.如图，在AABC中，NC=90。，/B=30。，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC

于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连

结AP并延长交BC于点D,则下列说法①AD是NBAC的平分线；②NADC=60。；③点D

在AB的中垂线上；正确的个数是个

【解析】【解答】①AD是NBAC的平分线，说法正确；

②：NC=90。，ZB=30o,

二NCAB=60°,

；AD平分NCAB,

ΛZDAB=30o,

ΛZADC=300+30°=60°,

因此NADC=60。正确；

③∙.∙∕DAB=3(Γ,ZB=30o,ΛAD=BD,根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确

三、计算与解答：

11.已知：如图，Na,Zβ,线段m.

求作：ZVlBC,使∕A=Na,Zβ=Zβ,AB=m.

第4题

【答案】解：如图所示，AABC即为所求.

第19页共23页

12,尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

己知线段a和NAoB,点M在OB上（如图所示）.

（1）在。A边上作点P,使0P=2a;

（2）作/AOB的平分线：

（3）过点M作OB的垂线.

第20页共23页

13.两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄,

要求该山庄到A,B的距离必须相等，到CD