三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(江苏专用)专题21相似三角形(解答题)(原卷版+解析)

专题21相似三角形（解答题部分）题型1：相似三角形的证明与计算6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．15．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．29．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求的最大值．33．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．

35．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；①点在线段的延长线上且；②点在线段上且．(2)若．①当时，求的长；②直接写出运动过程中线段长度的最小值．

50．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．

51．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.52．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．

题型2：相似三角形与四边形综合1．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.

2．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．

3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若▱AMCN的面积为4，求的面积．4．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．16．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与交于点．已知．设，．（1）四边形的面积______四边形的面积（填“”、“”或“”）；（2）求证：；（3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值．20．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．23．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．

26．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．(1)若，，则的值为________；(2)求与之间的函数表达式；(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围．27．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与的位置关系是______；(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．39．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．43．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，①当时，求线段的长；②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．

45．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．47．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．题型3：相似三角形与圆形综合7．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．8．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．9．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．(1)求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．12．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：．10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．

11．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．13．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的值．

14．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．18．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．24．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．

(1)求的度数；(2)若，求的半径．

37．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．38．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

48．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

题型4：相似三角形与函数综合17．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．(1)求二次函数的表达式；(2)①求证：；②求；(3)当时，求直线与二次函数的交点横坐标．

19．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．22．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．

25．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．(1)求点的坐标；(2)随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由；②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为．

28．（2022·江苏淮安·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．

31．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

32．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．34．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．41．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．①当时，__________；当时，________；②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

42．（2021·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．（1）求b、k的值；（2）求的面积．44．（2021·江苏无锡·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．

46．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数（是实数，且）的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，已知点位于第一象限，且在对称轴上，，点在轴的正半轴上，．连接并延长交轴于点，连接．（1）求、、三点的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求的值．

49．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境

建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．【由数想形

新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合

深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归

拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．

题型5：相似三角形的实际应用问题21．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

30．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

36．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．

专题21相似三角形（解答题部分）题型1：相似三角形的证明与计算6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①，证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．选择②，不能证明．若选③，证明：∵，∴，∴，又∵，∴．15．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为．29．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．(1)∠EDC的度数为；(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(4)求的最大值．【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由见解析(4)【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DEBP，然后由平行线的性质即可解答；（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=、GF=CF=；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；（4）先说明△CEF∽△CDH得到，进而得到，然后将已经求得的量代入可得，然后根据求最值即可．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分别为BC、PC的中点∴DEBP，DE=∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如图：连接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=，GF=CF=，设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=，EF=∵Rt△APC，∴PC=∴CE=∵Rt△EFC∴FC=FG=∴CG=CF=∴AG=12-CG=12-=∴S△APG=所以当x=6时，S△APG有最大值9．

（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中点∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴，即∴∵FC=，CE=，CD=∴∴的最大值为．33．（2022·江苏苏州·中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；②由，可得，由①同理可得，计算；（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值为1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．设，则．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如图，过点D作于H．∵，∴．∴．35．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；①点在线段的延长线上且；②点在线段上且．(2)若．①当时，求的长；②直接写出运动过程中线段长度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【分析】（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，，，列式求解a即可；②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可．【详解】（1）①∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如图：∵∴，∴在中，∴∴；（2）①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，设，，则，，在中，，AB=6则，在中，，则在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值为4.50．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．【答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；（2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可；（3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论．【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；

②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，

，③与不成自位似轴对称，故答案为：①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取，，2）连接，在上截取，3）连接并延长交于P，则点即为所求；

（3）证明：延长交于点，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．

51．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．【详解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；如图所示：点F即为所求，（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，∵∠DFA=∠A，∴四边形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面积等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半径，∴直线BC与⊙F相切．52．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．【详解】解：（1）如图：图中△AB1C1即为要求所作三角形；（2）∵AC＝＝，由旋转知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，故答案为：；（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴＝，∴CD＝CC1，∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．题型2：相似三角形与四边形综合1．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，.【活动猜想】（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论；（3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论．【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形．理由：设与交于点，如图，由折叠得：，，，四边形是矩形，，，，，四边形是菱形．故答案为：菱形．（2）证明：四边形是矩形，，，，，，，，，如图，设与交于点，过点作于，由折叠得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，点，，在同一条直线上．（3）当时，始终有与对角线平行．理由：如图，设、交于点，四边形是矩形，，，，设，则，由折叠得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如图，过点作于，设交于，由折叠得：，，，设，，由（3）得：，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．2．（2023·江苏镇江·中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．

【答案】[任务1]见解析；[任务2]见解析；[任务3]【分析】（1）由旋转的性质得对应角相等，即，，由三角形内角和定理得，从而得，即Q，A，T三点共线；（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接并延长，交的延长线于点E，证明，可得，，由三角形中位线定理得；（3）过点D作于点R，由，得，从而得，由【发现】得，则，，由【任务2】的结论得，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．由及得，从而得，证明，得，从而得．【详解】[任务1]证法1：由旋转得，，．在中，，∴，∴点Q，A，T在一条直线上．证法2：由旋转得，，．∴，．∴点Q，A，T在一条直线上．[任务2]证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点E．∵，∴．∵Q是的中点，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中点，∴，∴是的中位线，∴，∴．

[任务3]的方法画出示意图如图2所示．

由【任务2】可得，．过点D作，垂足为R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．∵Q是的中点，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若▱AMCN的面积为4，求的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴，∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：连接，

∵为的中点，∴，∴，∴，∴，同理可得：∴，∴，∵，∴．4．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

【答案】(1)见解析(2)(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，根据角角边证明．（2）当，证得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．（3）利用正方形的性质证得为平行四边形，过点作，垂足为点，交于点，由平行线分线段成比例，设，，，则可表示出，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，∴．∵四边形为正方形，∴，，∴，∴．在和中，∵，，，∴．∴．∴；（2）；证明如下：∵四边形为正方形，∴，AB=BC=AD=CD，∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴，∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是矩形．（3）∵四边形为正方形，∴．∵，，∴四边形为平行四边形．∴．∴．过点作，垂足为点，交于点，∴．∵，设，，，则，∴．∴．∴当时，的面积最大，∴，，∴四边形是平行四边形．5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．【答案】(1)见详解(2)或(3)【分析】（1）证明即可得证．（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．【详解】（1）如图所示，由题意可知，，，，由旋转性质知：AE=AF，在和中，，，．（2）当点E在BC上时，在中，，，则，在中，，，则，由（1）可得，，在中，，，则，当点E在CD上时，如图，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的长为或．（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．在与中，，，，即，，，，在与中，，，，即，，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，，由题意可知，，在与中，，，，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于，，，故四边形DQRK是矩形；，，，，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为．16．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与交于点．已知．设，．（1）四边形的面积______四边形的面积（填“”、“”或“”）；（2）求证：；（3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值．【答案】（1）=；（2）见解析；（3）【分析】（1）由四边形为矩形及，，证明四边形为矩形，四边形、、均为矩形．再利用矩形的面积公式求解四边形的面积与四边形的面积，从而可得答案；（2）由，，结合，，结合，证明．可得．从而可得结论；（3）解法一：连接，，证明．可得．再证明．可得，从而可得答案；解法二：连接、．证明四边形的四边形．从而可得答案．【详解】解：（1）∵四边形为矩形，∴．∵，∴，．∵，∴．∴四边形为矩形．同理可得：四边形、、均为矩形．∵，，，∴，，，．∴四边形的面积，四边形的面积．．四边形的面积四边形的面积．（2）∵，，由（1）中，，∴，即，∵，∴．∴．∵，∴．（3）解法一：连接，，∵，，∴．∵，∴．∴，．由（2），得，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．解法二：连接、．∵，，∴．∵，∴．∴，，．由（2）中，得，∴．∵，∴．∴，，．∴，，．又，，∴四边形的四边形．∴．20．（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．【答案】(1)(2)的度数为或(3)【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；（3）由平行的性质得到分线段成比例．【详解】（1）．正方形，，，，．（2）解：①当点在边上时（如图），过点作，垂足为，延长交于点．，四边形是矩形．．，，，为等腰直角三角形，．．．．，．为等腰直角三角形，．．

②当点在边上时（如图），过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理，．．为等腰直角三角形，．．

综上，的度数为45°或135°．（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），设，则．．．，．23．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．

【答案】(1)(2)【分析】（1）连接、，根据菱形的性质以及已知条件可得为等边三角形，根据，可得为等腰直角三角形，则，，根据翻折的性质，可得，，则，；同理，，；进而根据，即可求解；（2）等积法求得，则，根据三角形的面积公式可得，证明，根据相似三角形的性质，得出，根据即可求解．【详解】（1）如图，连接、，四边形为菱形，，，为等边三角形．为中点，，，，．，为等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如图，连接、，延长交于点．，，，．∵，，．，则，，，．∵，．26．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．(1)若，，则的值为________；(2)求与之间的函数表达式；(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根据，得，则，代入计算即可；（2）利用，得，再由，得，即可证明结论；（3）根据点P在上，可得，再由点G在上，可得，进而解决问题．【详解】（1）解：∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：5；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，在中，，，∴，又∵，∴，∴即；（3）解：若点在上，则，由（2）得，∴，∵点从点到点运动，∴，∴，∴即，又∵是上一点，∴，∴．27．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与的位置关系是______；(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析；(4)，理由见解析．【分析】（1）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；（2）连接，，由可知点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，则，由翻折变换的性质可得，证明，可得结论；（3）连接，，，延长至点H，求出，，可得，然后证明，可得，进而得到即可解决问题．（4）延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出，，再根据勾股定理列式即可得出结论．【详解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性质可知，，故答案为：；（2）解：，理由：如图，连接，，∵为中点，∴，∴点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，∴，∴，由翻折变换的性质可知，∴，∴；（3）解：结论：；理由：如图，连接，，，延长至点H，由翻折的性质可知，设，，∵四边形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，点B、、C在以为直径,E为圆心的圆上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：结论：，理由：如图，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，，∵，∴，∴，∴，，在中，则有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．39．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．【答案】(1)．(2)DG//CF．理由见解析．(3)．【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为算出．(2)作辅助线BF、AC，先导角证明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再证明、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．(3)为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．点A关于直线BE的对称点为点FBE是AF的垂直平分线，AB=BF四边形ABCD是正方形AB=BC，．(2)位置关系：平行．理由：连接BF，AC，DG设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N由(1)可知，是等腰直角三角形四边形ABCD是正方形是等腰直角三角形垂直平分AF在和中，在和中，CF//DG(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：①当FH=BH时，作于点M由(1)可知：AB=BF，四边形ABCD是正方形设AB=BF=BC=a将绕点B顺时针旋转得到FH=BH是等腰三角形，在和中，BM=AE=②当BF=FH时，设FH与BC交点为O绕点B顺时针旋转得到由(1)可知：此时，与重合，与题目不符，故舍去③当BF=BH时，由(1)可知：AB=BF设AB=BF=a四边形ABCD是正方形AB=BC=aBF=BHBF=BH=BC=a而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．故答案为：43．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，①当时，求线段的长；②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．

【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）【分析】（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM=，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ=DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；（2）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可．【详解】解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴，∴FM=BE=，EM=AB=BC，∴CM=BE=，∴CF=；②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴，∴，即：，∴CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B、G、E三点共线，又∵AE=AE，∴，∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，∴在中，，即：，∴DQ=，∴EQ=DQ+BE=+m=，QP=1--()=，∴，即：×(1-m)=×h，∴=，即m=时，h最大值=；（3）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，∵直线m过AB的中点且垂直AB，∴直线m的解析式为：x=，过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，∴F(1+m，m)，设AE的解析式为：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，∴AE的解析式为：y=x+1，同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)，∴y=-(m-m2)=，②当m＞时，如图，G(，)，N(，)，∴y=-=，综上所述：．45．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由旋转的性质联想到连接，证明即可求解；（2）由M、N分别是CF、BE的中点，联想到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH，则可证即可得到，再由四边形内角和为可得，则可证明，即是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求解；（3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是BF、BE中点，所以想到取AB的中点O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答．【详解】解：（1）连接四边形ABCD和四边形AEFG是正方形分别平分即且都是等腰直角三角形（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH是CF的中点又在四边形BEFC中又即即又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分别是BH、BE的中点（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF在中，O、Q分别是AB、BF的中点同理可得所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积．47．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)；(2)见解析；(3)小丽的猜想正确，理由见解析．【分析】（1）证，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证得，同理可得，由，，得，进而有，再根据矩形的性质即可得证；（3）当时，取的中点，连接、，由，恰为边的中点，得，进而证，得，于是有，由平行线分线段成比例得，同理可证：，于是有，从而即可得解．【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中点，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形，使得恰为边的中点，∴，，∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小丽的猜想正确，当时，总成立，理由如下：如下图，取的中点，连接、，

∵四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰为边的中点，是的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可证：，∵，∴，∴，∴小丽的猜想正确．题型3：相似三角形与圆形综合7．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∵，∴．（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，则，∴，∴，∴．8．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出代入相关数据可求出，从而可求出绪论．【详解】（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等边三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴连接如图，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（负值舍去）∴，解得，9．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且．(1)求证：为的切线；(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线；方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线；（2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得；方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得．【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．∵，∴．∵，∴．

∵，∴．∵是的直径，D是的中点，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．方法二：如图2，连接OC，BC．设．∵AB是的直径，D是的中点，∴．∴．∵，∴．

∴．∵，∴．∴．∵AB是的直径，∴．∴．∴，即．∴．∴CF为的切线．（2）解：方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，，解之得．∵，∴．

∵，∴．∴．∴．∵G为BD中点，∴．∴，．∴．∴．方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．∵AB是的直径，∴．∵，D是的中点，∴．∵G为BD中点，∴．∴．12．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵是的直径，∴∠ABC=90°，∵切于点B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．【答案】(1)；见解析(2)见解析【分析】（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．【详解】（1）解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案为：；取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；（2）解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；证明：作直径AN，连接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．11．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．【答案】（1）①见解析；②2；（2）；（3）存在半径为1的圆，45°【分析】（1）①连接OD，则易得CD垂直平分线段OA，从而OD=AD，由OA=OD，即可得△OAD是等边三角形，从而可得结论；②连接AQ，由圆周角定理得：∠ABQ=∠ADH，从而其余弦值相等，因此可得，由①可得AB、AD的值，从而可得结论；（2）连接AQ、BD，首先与（1）中的②相同，有，由△APD∽△ADB，可求得AD的长，从而求得结果；（3）由（2）的结论可得：，从而BQ2﹣2DH2+PB2当m=1时，即可得是一个定值，从而可求得∠Q的值．【详解】（1）①如图，连接OD，则OA=OD∵AB=PA+PB=1+3=4∴OA=∴OP=AP=1即点P是线段OA的中点∵CD⊥AB∴CD垂直平分线段OA∴OD=AD∴OA=OD=AD即△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°

②连接AQ∵AB是直径∴AQ⊥BQ根据圆周角定理得：∠ABQ=∠ADH，∴∵AH⊥DQ在Rt△ABQ和Rt△ADH中∴∵AD=OA=2，AB=4∴（2）连接AQ、BD与（1）中的②相同，有∵AB是直径∴AD⊥BD∴∠DAB+∠ADP=∠DAB+∠ABD=90°∴∠ADP=∠ABD∴Rt△APD∽Rt△ADB∴∵AB=PA+PB=1+m∴∴（3）由（2）知，∴BQ=即∴BQ2﹣2DH2+PB2=当m=1时，BQ2﹣2DH2+PB2是一个定值，且这个定值为1，此时PA=PB=1，即点P与圆心O重合∵CD⊥AB，OA=OD=1∴△AOD是等腰直角三角形∴∠OAD=45°∵∠OAD与∠Q对着同一条弧

∴∠Q=∠OAD=45°故存在半径为1的圆，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值1，此时∠Q的度数为45.13．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)连接，把转化为比例式，利用三角形相似证明即可；(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接∵∴，又∵∠P=∠P，∴∴，∵∴又∵∴∴已知是上的点，AB是直径，∴，∴∴，∴PC是圆的切线；（2）设，则，∴在中∵，，∴已知，∴．14．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；【详解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切线．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴18．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)的半径长为．【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．【详解】（1）证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵过半径的外端点B，∴与相切；（2）解：设，则，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半径长为．24．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．

(1)求的度数；(2)若，求的半径．

【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．【详解】（1）如图，连接．

为的切线，．，．，．，．（2）如图，连接，，，．，，且，，，即，，，即半径为．37．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解:（1）证明：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝5，∴BD＝＝＝4，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴⊙O直径的长为．38．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙