2024春七年级数学下册第五章生活中的轴对称4利用轴对称进行设计练素养等腰三角形中作辅助线的七种常用方法课件新版北师大版

练素养等腰三角形中作辅助线的七种常用方法北师版七年级下集训课堂第五章生活中的轴对称温馨提示：点击进入讲评习题链接1234567在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，

使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”

中的“一线”或平行线说明线段相等，利用截长补短法说明

线段和、差关系或求角的度数，利用倍长中线法说明线段的

倍分关系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三

角形(两个全等三角形)中，然后运用等腰三角形(全等三角

形)的性质来解决问题.方法1

等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中

点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.试说明：(1)DE＝DF；

(2)DE⊥DF.【解】因为△BED≌△AFD，所以

∠BDE＝∠ADF，所以∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°，所以∠EDF＝90°，所以DE⊥DF.方法2

等腰三角形中没有底边中点时常作底边上的高2.[2023·武汉黄陂区期中]如图，点D，E在△ABC的边BC上

(不与点B，C重合)，AB＝AC，AD＝AE.(1)如图①，试说明：BD＝CE；【解】(1)如图①，过点A作AH⊥BC于点H.因为AB＝AC，AD＝AE，AH⊥BC，所以BH＝CH，DH＝EH，所以BH－DH＝CH－EH，即BD＝CE.(2)如图②，当AD＝CD时，过点C作CM⊥AD于点M.若DM

＝2，求CD－BD的值.

方法3

等腰三角形中说明与底有关的线段相等时常作底的

平行线3.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC的延长线上一点，

延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BE于点G.试说明：BG

＝EG.【解】如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于点F，则

∠ABC＝∠F，∠ACB＝∠ADF.因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，所以∠AFD＝∠ADF＝60°，易得△ADF是等边三角形，所以AD＝FD＝AF，所以AD－AC＝AF－AB，即CD＝BF.因为AD＝CE，所以FD＝CE.因为∠DCE＝∠ACB＝60°，所以∠DFB＝∠ECD.

所以△FBD≌△CDE(SAS)，所以DB＝ED，即△BDE是等腰三角形.又因为DG⊥BE于点G，所以G为BE的中点，所以BG＝EG.方法4

等腰三角形中说明与腰有关的线段相等时常作腰的

平行线4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发，沿线段BA

移动(点P不与点A，B重合)，同时，点Q从点C出发，沿线

段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与BC相交于点D.(1)试说明：PD＝QD.

(2)过点P作BC的垂线，垂足为E，点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

方法5

补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.试说明：(1)BE＝CE；【解】(1)如图，延长AB，DE交于点F.因为AB∥CD，所以∠2＝∠F.又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠F，易得AD＝AF.因为AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，所以

CD＝BF.因为∠DEC＝∠FEB，所以△DCE≌△FBE(AAS)，所以BE＝CE.(2)AE⊥DE；【解】由(1)知△DCE≌△FBE，所以DE＝EF.又因为AD＝AF，所以AE⊥DE.(3)AE平分∠DAB.【解】因为DE＝EF，AD＝AF，所以AE平分∠DAB.方法6

倍长中线法构造等腰三角形6.如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，

CE交于点F，且AE＝EF.试说明：AB＝CF.【解】如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG.因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD.又因为∠ADB＝∠GDC，所以△ABD≌△GCD(SAS)，所以AB＝GC，∠BAD＝∠G.因为AE＝EF，所以∠EAF＝∠EFA.又因为∠EFA＝∠CFG，所以∠G＝∠GFC，易得CG＝CF，所以AB＝CF.方法7

延长(截取)法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点

D.试说明：AC＋AD＝BC.(第7题)【解法一】如图①，延长CA至点E，使AE＝AD，连接

DE，则∠E＝∠ADE.所以∠BAC＝180°－∠DAE＝∠E＋∠ADE＝2∠E.因为∠BAC＝2∠B，所以∠E＝∠B.因为CD平分∠ACB，所以∠ECD＝∠BCD.又因为CD＝CD，所以△CDE≌△CDB(AAS)，所以CE＝CB.因为CE＝AC＋AE＝AC＋AD，所以AC＋AD＝BC.【解法二】如图②，在BC上截取CE＝CA，连接DE.因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD.又因为CD＝CD，所以△ACD≌△ECD(