中考数学总复习《猜想证明综合压轴题》专项提升练习附答案

第第页中考数学总复习《猜想证明综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF//DE，且交（1）求证：AF−BF=EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．2．如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，BE⊥AD于点E，AE=6，且BE交对角线AC于F，连接DF，点P是DC上一点，BP交AC于M．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）如图1，若P为CD中点,求CMMF（3）如图2，若S△BFM＝S△CPM，求PC，并直接判断BP与CD是否垂直（不必说明理由）．3．已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=2（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：__________.（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7,AE=27，求BP4．如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F，（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为_____；（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂足为点G．当∠ABC的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接写出AB的长．

5．如图1，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(0,2)，B(−1,0)，将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段CD，连接AD

(1)直接写出点C、点D的坐标(2)如图2，延长DC交y轴于点E，点P是线段OE上的一动点，连接BP、CP，猜想∠ABP、∠BPC、∠ECP之间的数量关系，并说明理由(3)在x轴上是否存在点Q，使ΔQBD的面积与四边形ABCD的面积相等，若存在，求出Q的坐标，若不存在，请说明理由6．（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD<120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）（1）求证：∠BAD=∠EDC；（2）如图2，点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM（选一种方法即可）8．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点O为矩形ABCD对角线的交点，点P为AD边上任意一点．（1）如图1，连接PO并延长，与BC边交于点Q．求证:AP=CQ；（2）如图2，连接BP、DQ，将△ABP与△CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′、C′处，连接PA′、QC′，试求证:四边形PA′QC′是平行四边形；（3）在（2）的条件下，请直接写出:当点A′、C′同时落在矩形ABCD的对角线上时A′C′的长．9．在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB,DC．（1）如图，当α=60°时，①求证：PA=DC；②求∠DCP的度数：（2）如图2，当α=120°时，请直接写出PA和DC的数量关系为__________；（3）当α=120°时，若AB=6，BP=31时，请直接写出点D到CP10．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+83（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的34，求点R（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

11．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°．（1）①∠ACB＝度（直接填空）；②求证：∠PBC＝∠PQD；③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为（直接填空）；（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系．12．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120∘,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE,连接BE,点M、N、P

（1）观察猜想图1中，线段NM、NP的数量关系是____，∠MNP的大小为_____；（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3，请求出△MNP面积的最大值．13．在平面直角坐标系中，点A−5,0，B0,5，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点（1）如图①，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分∠ADC（3）若点C在x轴正半轴上运动，当∠OCB=2∠DAO时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．14．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O′（1）如图①，当点O′落在边BC上时，求点O（2）若点O′落在边BC的上方，O′P，①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；②当CD＝O′15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．

16．在正边形ABCD中，E是对角线AC上一点（不与点A重合且AE＜12（1）如图1，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．①求证：EB＝EF；②判断GH与AC的位置关系，并证明．（2）过点A作AP⊥线段CG于点P，连接BP，若BP＝10，直接写出PA与PC的数量关系．17．如图，二次函数y=−1kx2+k(k>0)的图象与x轴相交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段OC上一点（不与点O，C重合），以OD为边向上作正方形ODEF，连接AE,BE,AB（1）当k=3,m=2时，S△ABE当k=4,m=3时，S△ABE当k=5,m=4时，S△ABE（2）根据（1）中的结果，猜想S△ABE（3）当S△ABE=8时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与18．如图，已知直线y=−3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l:x=−1，该抛物线与x

（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B，C，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．19．如图，直线l过x轴上一点A(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，B点坐标为

（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S△AOD=S（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图所示，已知二次函数y=x2−3x+2的图像l1的顶点为点D，与x轴的交点为点A,E（点A位于点E的左侧），与y轴的交点为B，连接AB，将ΔABO绕点A顺时针旋转（1）如图①，求点C的坐标；（2）如图②，将二次函数y=x2−3x+2的图像l1沿y轴向下平移后，得到的二次函数y=ax2+bx+c的图像l2经过点C、顶点为①求二次函数y=ax②点N为平移后得到的二次函数l2上的动点，点N的坐标为(n,m)，且n>0，是否存在这样的点N，使ΔNBB1参考答案1．解：（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAF+∠DAE=90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，又∵BF//∴∠BFA=90°=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF=DE，AE=BF，∴AF−BF=AF−AE=EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE=AF，∴BF=AF，即此时∠BAF=45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不能是平行四边形.2．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，又∵AF=AF，∴△ABF≌△ADF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=10，∵P为CD中点，∴2PC=AB=CD=10，∵AB∥CD，∴CMAM∵AD∥BC，∴AFFC设AF=3x，FC=5x，则AC=8x，∴CM=8∴MF=AM−AF=16∴CMMF（3）过点P作PH⊥BC于H，则根据题意知PH∥BE，∵S△BFM＝S△CPM，∴S△BFM+S△CMB＝S△CPM+S△CMB即：S△CBF＝S△CBP，∴12∴PH=BF，∴四边形BFPH是平行四边形，又∠PHB=90°，∴四边形BFPH是矩形，∴PF∥CB，∴PF∥AD，∴PCCD∵AD∥BC，∴AFFC∴CFAC∴PCCD∵CD=10，∴PC=25BP与DC不垂直．3．证明：如图，连接AD．∵AB=AC,BD=CD，∴AD⊥BC．又∵∠ABC=45°，∴BD=AB⋅cos∠ABC，即AB=2∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM，∴△ABE∽△DBM,∴AEDM∴AE=2

（2）解：由（1）得：AE∵cos∠ABC=∴MD=AE⋅cos∠ABC=AE⋅1即AE=2MD．∴AE=2MD；故答案为；AE=2MD．（3）解：如图，连接AD,EP．∵AB=AC,∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．又∵D为BC的中点，∴AD⊥BC,∠DAC=30°,BD=DC=1∵∠BAE=∠BDM,∠ABE=∠DBM，∴△ABE∽△DBM．∴BEBM∠AEB=∠DMB．∴EB=2BM．又∵BM=MP，∴EB=BP．∵∠EBM=∠ABC=60°，∴△BEP为等边三角形，∴EM⊥BP，∴∠BMD=90°，∴∠AEB=90°．在Rt△AEB中，AE=27∴BE=A∴BP=21

4．解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示∵△ABC≌△EBD，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，AC=ED∠ACF=∠EDG∴△ACF≌△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示设BD延长线DM交AE于M点，∵△ABC≌△EBD，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，AC=ED∠ACF=∠EDG∴△ACF≌△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(3)如下图所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AE//CG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四边形AEGC为矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL)，

∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2BC=12．故答案为：12．5．解:（1）∵线段AB的两个端点坐标分别为A（0，2），B（−1，0），将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段CD，∴C（2，0），D（3，2）；（2）∠ABP＋∠BPC−∠ECP＝180°，理由如下：过点P作PF∥AB，如图所示：

由平移的性质得：DE∥AB，∴AB∥PF∥DE，∴∠ABP＋∠BPF＝180°，∠CPF＝∠ECP，∵∠BPC＝∠BPF＋∠CPF，∴∠BPC＝（180°−∠ABP）＋∠ECP，即：∠ABP＋∠BPC−∠ECP＝180°；（3）设点Q（x，0），连接BD，DQ，则：BQ=|x-(-1)|=|x+1|，∴S△BDQ=12∵S四边形ABCD=3×2=6，∴|x+1|=6，∴x+1=6或x+1=-6，∴x=5或-7，∴存在这样的Q点，Q（5，0）或（-7，0）

6．（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD；（2）①证明：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，同理：△ABD≌△CBF（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，由①知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，在△ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在△BPQ中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∴∠CPE=60°,∠CPD=120°，在PE上取一点M，使PM=PC，∴△CPM是等边三角形，∴CP=CM=PM，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵△CDE是等边三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴△PCD≌△MCE（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．7．证明：（1）∵DE=DA，∴∠E=∠DAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，即∠BAD+∠DAC=∠E+∠EDC=60°，∴∠BAD=∠EDC；（2）想法1：由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由（1）可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=180°﹣120°=60°，∴△ADN是等边三角形，∴AD=AM．8．解:（1）连接AC∵O是矩形是ABCD的对角线交点．∴AC过点O，且AO=OC∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC

∴∠PAO=∠QCO又∠AOP=∠COQ

∴△AOP≌△COQ（ASA）∴AP=CQ（2）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，∠A=∠C又∵AP=CQ，∴△BAP≌△DCQ（SAS）∴∠APB=∠DQC．∵翻折∴∠APA'=2∠APB，∠C'QC=2∠CQD，AP=AP'，CQ=CQ'∴∠APA'=∠C'QC

A'P=C'Q∵AD//BC∴∠APQ=∠CQP∴∠APA'-∠APQ=∠C'QC-∠CQP即∠QPA'=∠PQC'∴A'P//C'Q又∵A'P=C'Q∴四边形PA'QC'是平行四边形（3）若点A'，点C'都落在BD上时，如图，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴BD=AC=A∵将△ABP与△CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′、C′处，∴AB=A'B=3，CD=C'D=3，∴A'C'=A'B+C'D-BD=1；若点A'，点C'都落在AC上时，如图，设BP与AC交于点E，∵将△ABP折叠，∴BP⊥AA'，AE=A'E，∵S△ABC=12×AB×BC=1∴BE=3×4∴AE=A∴A'E=AE=95∴A'C=AC-AA'=75同理可得AC'=75∴A'C'=AC-AC'-A'C=115综上所述：A'C=1或1159．解：（1）①证明：∵∠BAC=∠BPD=α=60°，AB=AC，PB=PD，∴△ABC与△PBD都是等边三角形，∴∠PBD=∠ABC=60°，BA=BC，BP=BD，∴∠PBD−∠ABD=∠ABC−∠ABD，即∠PBA=∠DBC，∴△PBA≌△DBC，∴PA=DC；②∵△PBA≌△DBC，∴∠PAB=∠DCB，∵∠BAC=60°，∴∠BCD=∠BAP=180°−∠BAC=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCP=∠DCB−∠ACB=60°；（2）∵∠BPD=∠ABC=120°，AB=AC，PB=PD，∴∠PBD=∠ABC=30°，PBDB∴∠PBD+∠ABD=∠ABC+∠ABD，即∠PBA=∠DBC，∴△PAB∽△DCB，∴PADC=AB故答案为：DC=3（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．如图3−1中，当△PBA是钝角三角形时，在Rt△ABN中，∵∠N=90°，AB=6，∠BAN=60°∴AN=AB⋅cos60°=3，∵PN=P∴PA=3−2=1，由（2）可知，CD=3∵∠BAP=∠BCD，∴∠DCA=∠PBD=30°，∵DM⊥PC，∴DM=如图3−2中，当△ABN是锐角三角形时，同法可得PA=2=3=5，CD=53，DM=综上所述，满足条件的DM的值为32或5故答案为：32或510．解:（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形，∴BC//OA，BC=OA=2，∵抛物线与y轴交于点B，∴抛物线的对称轴为直线x＝0+22=1，则x＝﹣b将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+83联立①②得−b解得a=−1∴抛物线的表达式为：y＝﹣13x2+23x+（2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的34∴12×AD×|yR|＝34×OA×OB，则12×6×|yR|＝3解得：yR＝±43当y=43时，−解得：x1=1+5∴R1（1+5，43）或R2（1−5当y=-43时，−解得：x3=1+13，x2=1−∴R3（1+13，−43）或R4（1−综上所述：点R的坐标为（1+5，43）或（1−5，43）或（1+13，−4（3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H，∵∠PQE＝45°，∴∠PRE＝90°，∵RP=RE，∴△PRE为等腰直角三角形，∵直线MD上存在唯一的点Q，∴⊙R与直线MD相切，∴RQ⊥MD，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=1时y=−1∴点M坐标为（1，3），∵D（4，0），∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3，∴MD＝DE2+M设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为2m，则点R（1+m，m），∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即12×ME•ED＝12×MD×RQ+12×ED•yR+12×∴12×3×3＝12×32×2m+12×4×m+解得m＝34∴点P坐标为（1，32

∵ME=MD=3，∴∠MDE=45°，∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3），过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意，∴EF=DE=3，∴点F坐标为（1，-3），∴点P坐标为（1，-3），

综上所述：点P的坐标为（1，3211．解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，故答案为：45；②∵四边形ABCD为正方形，∠BPQ=90°∴∠BPQ=∠BCQ=90°,∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°，∴∠PBC+∠PQC＝180°，又∵∠PQC+∠PQD＝180°，∴∠PBC＝∠PQD；③PB＝PQ，理由如下：如图①中，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，∴四边形PECF是矩形，又∵PE＝PF，∴四边形PECF是正方形，∴∠EPF＝∠BPQ＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF，∴△PEB≌△PFQ（ASA），∴PB＝PQ；（2）如图①中，由（1）可知△PEB≌△PFQ，四边形PECF是正方形，∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，∵BC+CQ＝6，∴EC+FC＝BC+CQ＝6，∴CE＝CF＝3，又∵S△BPE＝S△PQF，∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9，故答案为：9；（3）PE2＝AP2+EC2．理由如下：∵BP＝PQ，BP⊥PQ,∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴∠ABP+∠CBE＝45°，如图②，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，∴△BEC≌△BHA，∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH，又∵BP＝BP，BH＝BE，∴△PBH≌△PBE（SAS），∴PE＝PH，∵PH2＝AP2+AH2，∴PE2＝AP2+EC2．12．解:1由题意知：AB=AC，AD=AE，且点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴BD=CE，MN//BD，NP//CE，MN=12BD，NP=1∴MN=NP又∵MN//BD，NP//CE，∠A=120°，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=30°根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=60∘2△MNP理由如下：如图，由旋转可得∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∴△ABD≌△ACE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．∵点M、N分别为DE、BE的中点，∴MN是△EBD的中位线，∴MN=12同理可证PN=12∴MN=PN，∠MNE=∠DBE,∠NPB=∠ECB∵∠MNE=∠DBE=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE∠ENP=∠EBP+∠NPB=∠EBP+∠ECB∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBP+∠ECB=∠ABC+∠ACB=60°．在△MNP中∵∠MNP=60°，MN=PN∴△MNP是等边三角形．3根据题意得:BD≤AB+AD即BD≤4，从而MN≤2△MNP的面积=1∴△MNP面积的最大值为3．13．解:（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵∠OCB=2∠DAO，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=90°3=30°，∠DCA=2×90°∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．14．解：（1）∵点A（8，0），点C（0，6），OABC为矩形，∴AB＝OC＝6，OA＝CB＝8，∠B＝90°．根据题意，由折叠可知△AOP≌△AO'P，∴O'A＝OA＝8．在Rt△AO'B中，BO'＝O'A2－A∴CO'＝BC﹣BO'＝8﹣27．∴点O'的坐标为（8﹣27（2）①∵∠OAP＝30°，∴∠OPA＝60°，∵∠OPA＝∠O'PA，∴∠CPD＝180°﹣∠OPA﹣∠O'PA＝60°．∵OA＝8，∴OP＝OA•tan30°＝83∴CP＝6﹣OP＝6﹣83∴CD＝CP•tan60°＝63﹣8．∴点D的坐标为（63﹣8，6）．②连接AD，如图：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，O'D＝CD＝x，根据折叠可知AO'＝AO＝8，∠PO'A＝∠POA＝90°，∴在Rt△ADO'中，AD2＝AO'2＋DO'2＝82＋x2＝x2＋64；在Rt△ABD中，AD2＝BD2＋AB2＝（8﹣x）2＋62＝x2﹣16x＋100；∴x2＋64＝x2﹣16x＋100，解得：x＝94∴CD＝94∴D（9415．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴DE＝AB＝BD，AB//DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝2AB，∴AB+AE＝2AD，故答案为：2；（2）结论仍然成立；如图②过点D作DF//BC交AB的延长线于点F，

∵BC//DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF＝2AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝2AD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝2AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝2AD；当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝2AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+2AD＝AE．16．解:（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，CA平分∠BCD，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，过点E作EN⊥BC与点N，∴∠ENB=∠ENC=90°，∵四边形AEGD是平行四边形，∴AD//EG∴∠EMC=∠ADC=∠ENC=90°，∴EM=EN，∵∠BEF=∠MEN=90°，∴∠MEF=∠BEN，∴△MEF≅△NEB，∴EB=EF．②GH⊥AC∵四边形ABCD是正方形，四边形AEGD是平行四边形，∴AE=GD，EG=AD=AB，AE//DG∴∠DGE=∠DAE=∠ACD=45°，∴∠GDC=∠ACD=45°，根据①可知，∠MEF=∠NEB，EF=EB，∵EN//AB∴∠ABE=∠BEN=∠FEM，∴△GEF≅△ABE(SAS)，∴GF=AE=DG，∴∠GFD=∠GDF=45°，∴∠CFH=∠GFD=45°，∴∠FHC=90°，即GH⊥AC．（2）过点B作BQ⊥BP，交直线AP于点Q，取AC中点为O，∴∠PBQ=∠ABC=90°，∵AP⊥CG，∴∠APC=90°，∵∠PBQ−∠ABP=∠ABC−∠ABP，∴∠QBA=∠PBC，∵∠ABC=∠APC=90°，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAQ=180°，∴∠BAQ=∠BCP，∵BA=BC，∴△BAQ≅△BCP(ASA)，∴BQ=BP=10，AQ=CP，在Rt△PBQ中，PQ=B∴PA+PC=PA+AQ=PQ=10217．解:（1）令y=−1解得x1∴点A的坐标为(−k,0)．令x=0，则y=k，∴点B的坐标为(0,k)．∵点D的横坐标为m，∴点E的坐标为(m,m)，点D的坐标为(m,0)．当k=3,m=2时，A(−3,0),B(0,3),E(2,2),D(2,0)，S△ABE当k=4,m=3时，A(−4,0),B(0,4),E(3,3),D(3,0)，S△ABE当k=5,m=4时，A(−5,0),B(0,5),E(4,4),D(4,0)，S△ABE故答案为92；8；25（2）S△ABE=1S△ABE（3）设点P的坐标为(n,y)．∵S△ABE=1当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：①当AB,EP为对角线时，令对角线的交点为M，如图（1）所示．∵四边形AEBP为平行四边形，∴点M平分AB，点M平分EP．∵A(−4,0),B(0,4),E(m,m),P(n,y)，∴−4+0=m+n，即m+n=−4．②当AB,EP为对边，且点P在点E的左侧时，延长ED，过点P作PN⊥ED延长线于点N，如图（2）所示．∵四边形ABEP为平行四边形，∴AB=PE，且AB//∵A(−4,0),B(0,4),E(m,m),P(n,y)，∴0−(−4)=m−n，即m−n=4．③当AB,EP为对边，且点P在点E的右侧时，延长FE，过点P作PN⊥FE于点N，如图（3）所示．∵四边形ABPE为平行四边形，∴AB=PE，且AB//