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文档简介

§6.2

一阶微分方程

CONTENT目录1可分离变量微分方程3一阶线性微分方程2

一阶齐次微分方程

转化

可分离变量微分方程解分离变量方程

可分离变量方程形如的一阶微分方程叫做可分离变量方程

.两边积分,则有即形如的方程都叫做可分离变量方程.可化为已分离变量形式求解.或

分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0

时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.可分离变量方程，求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解例5.例5.例6.例6.例7.二、齐次方程形如的方程叫做一阶齐次微分方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替

u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例8例8例9例917一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;非线性的.齐次的;非齐次的.线性一阶

自由项一阶线性微分方程特点：右边是已知函数，左边每项中仅含18齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò192.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.设想非齐次方程

待定函数线性齐次方程的通解是的解是20从而C(x)满足方程21即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法..)()(dd的解是xQyxPxy=+22用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程得到通解公式(10)：注解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，也可以用常数变易法.对应齐次方程通解非齐次方程特解

上式表明

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