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文档简介

§2.7

洛必达法则

CONTENT目录3

其他类型的未定式1

型未定式2

型未定式

型未定式Chapter1第一部分：

型未定式定义

若当

时,两个函数

f(x)与都

g(x)都趋于零或都趋于无穷大,则极限

可能存在,也可能不存在.通常称这种类型的极限为

型未定式或

型未定式.例如,第一部分：

型未定式定理9(洛必达法则I)

设函数

f(x),

g(x)满足下列条件：(1)(2)在点a的某去心邻域内可导,且(3)则

第一部分：

型未定式说明：(1)应用洛必达法则之前,必须先判定所求极限为

型未定式.(2)定理1中极限过程

改为

时,定理1仍适用.(3)若

仍为

型未定式,可再次运用洛必达法则,直至

极限值求出为止.(4)在应用洛必达法则之前或求解过程中,应尽可能用其他方

法简化所求极限,如等价无穷小替换等.

练习例47

求

解

当

时,得

练习例48

求

解

例49

求

解

练习例50

求

解

这是

型未定式,连续应用洛必达法则两次,得

上式中

已经不是未定式,不能再对它应用洛必达

法则,否则会导致错误.

型未定式Chapter2第一部分：

型未定式定理10(洛必达法则II)

设函数

f(x),

g(x)满足下列条件：(1)(2)

f(x),g(x)在点a的某去心邻域内可导,且(3)则

注：

改为

等,定理2仍有效.

练习例51

求

解

练习例52

求

解

这是

型未定式,由于右极限不存在,也非,故不能用洛必达法则.

注意到,时,为无穷小,sinx为有界函数,于是

从而

其他类型的未定式Chapter3第一部分：其他类型的未定式除了

型外,未定式还有

等类型,经过简单的变换,它们一般都可化为

型未定式,然后再利用洛必达法则求极限.第一部分：其他类型的未定式

步骤

取对数

练习例53

求

解

例54

求

解

小结1.

未定式小结2.

洛必达法则设函数

f(x),

g(x)满足下列条件：

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