线性代数（财经类） 课件 5.2 实二次型的标准形

§5.2实二次型的标准形目录配方法初等变换法正交变换法二次型与对称矩阵的规范形Part1配方法一、标准形定义

如果一个二次型只含变量的平方项,则称这个二次型为标准形.定理1

对任何实二次型,必存在非退化的线性变换,使得关于新变量的二次型

为标准形.定理2

对任意一个对称矩阵

A,总存在一个可逆(非奇异)矩阵C,使得

为对角矩阵,即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.01一、标准形将二次型化为标准形的常用方法：(1)配方法；(2)初等变换法；(3)正交变换法.二、配方法若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量重复上述过程，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;二、配方法例1

利用配方法化二次型成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.解含有平方项去掉配方后多出来的项二、配方法二、配方法所用变换矩阵为二、配方法2.若二次型中不含有平方项，但是至少有一个则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按步骤1中方法配方.注：每一步所经的线性变换都是非退化的。二、配方法解由于所给二次型中无平方项，所以例2

利用配方法化二次型

成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.二、配方法再配方，得所用变换矩阵为二、配方法注：向量

x到向量

y的线性变换为,向量

y到向量

z的线性变换为,则向量

x到向量

z的线性变换为.Part2初等变换法一、初等变换法一、初等变换法一、初等变换法即

练习例3

利用对称初等变换化二次型成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.练习练习练习例4

利用对称初等变换化二次型成标准形.练习练习Part3正交变换法一、正交矩阵及其性质定义5

设

C为

n阶实矩阵，如果

C满足则称

C为正交矩阵.例如，

，

都是正交矩阵.一、正交矩阵及其性质定理5

正交矩阵具有如下性质：（1）正交矩阵的行列式为1或-1;（2）正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即

;（3）若A,B为正交矩阵，则它们的逆矩阵和乘积矩阵AB也是正交矩阵；（4）C是正交矩阵的充要条件是C的列（行）向量组是标准正交向量组.二、正交变换法定义6

设

C为

n阶正交矩阵，x,y是

n维实向量，则称线性变换

是

n维实空间

上的正交变换.注：利用正交变换

将实二次型

转化为标准形则等价于实对称矩阵A求一个正交矩阵C，使得二、正交变换法定理6

对

n阶实对称矩阵

A，有（1）A的特征值都是实数.（2）A的对应于不同特征值的特征向量必正交.定理7

对

n阶实对称矩阵

A，必存在正交矩阵

C，使得其中

为A的特征值，C的

n个列向量是

A的对应特征值的标准正交特征向量.二、正交变换法归纳以上定理的结果，用正交变换化二次型为标准形的一般步骤如下：（1）由

，求

A的

n个特征值

；（2）对

，由

，求

A关于

的线性无关的特征向量；（3）对

重特征值

，用施密特正交化方法，将

t个线性无关的特征向量正交化；（4）将

A的

n个正交的特征向量单位化，再以它们为列向量构成正交矩阵

C，并写出相应的正交变换

和二次型的标准形.练习例5

利用正交变换化二次型为标准形，并指出对应的线性变换.练习练习练习Part4二次型与对称矩阵的规范形一、二次型与对称矩阵的规范形定义7

若二次型

的标准形

的系数

只在1,-1,0三个数中取值，则称

为此二次型的规范形.定理8(惯性定理)

对任意实二次型

，必存在非退化的线性变换

化二次型为规范形.一个二次型的规范形是唯一的.一、二次型与对称矩阵的规范形注：在二次型的规范形中，系数为正的平方项的个数

p与化二次型为规范形时所用的非退化线性变换无关，它是由二次型唯一确定的。同样，系数为非零的平方项的个数

r和系数为负的平方项的个数

r-p也是由二次型唯一确定的，且

r=R(A).定义8实二次型

的规范形中系数为正的平方项的个数

p称为二次型的正惯性指数；系数为负的平方项的个数

r-p称为二次型的负惯性指数；其中r是二次型

的秩.一、二次型与对称矩阵的规范形推论1

任何实对称矩阵A都合同于对角矩阵其中

，p为与矩阵A对应的二次型的正惯性指数.推论2

如果

与

都是n个变量的实二次型，它们有相同的秩与正惯性指数，则必有非退化的线性变换

，使得

，反之也成立.注：任意合同的实对称矩阵，具有相同的规范形.练习例6

化二次型成规范形，并求所用的非退化线性变换矩阵C.解

由于在二次型

f中不含有平方项，含有乘积项

，故令代入到原二次型

中得一、二次型与对称矩阵的规范形再配方，得令

即

就可以把原二次型化成规范形

，所用的变换矩阵为：