线性代数（财经类） 课件 1.2 n阶行列式

§1.2n阶行列式目录排列及其逆序数对换n阶行列式的定义Part1排列及其逆序数一、排列引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有一、排列问题把n个不同的元素排成一列,共有几种不同的排法？排列：由n个不同数码1

2

n组成的有序数组i1i2

in

称为一个n级排列(或全排列).

个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例知同理二、排列的逆序数定义排列的逆序数：我们规定各元素之间有一个标准次序,

n个不同的自然数,规定由小到大为标准次序.在一个n级排列中,如果,则称这两个数组成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为二、排列的逆序数例如排列32514

中，

32514逆序逆序逆序3251431逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性：逆序数为001奇排列故此排列的逆序数为二、排列的逆序数计算排列逆序数的方法：方法1：逐个计算每个数码前面比它大的数码的个数,将它们连加起来即为所求排列的逆序数.方法2：逐个计算每个数码后面比它小的数码的个数,将它们连加起来即为所求排列的逆序数.方法3：分别计算出排在前面比它大的数码的个数,将它们连加起来即为所求排列的逆序数.练习例1求6级排列326145的逆序数,并确定其奇偶性.3排在首位，没有比它大的数码排在前面，故逆序数为0；2前面有3比它大，故逆序数为1；6前面没有数码比它大，故逆序数为0；1前面有3个数码比它大，故逆序数为3；4前面有1个数码比它大，故逆序数为1；5前面有1个数码比它大，故逆序数为1；所以，N(326145)=0+1+0+3+1+1=6解故该排列为偶排列.方法1练习例2计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.解(1)(2)n(n-1)…21(1)217986354N(217986354)=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18此排列为偶排列.练习例2计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.(2)n(n-1)…21(1)217986354解(2)当时为偶排列；当时为奇排列.Part2对换一、对换对换：

在一个排列i1

is

it

in中

如果仅将它的两个数码is与it对调

其他数码不变

得到另一个排列i1

it

is

in

这样的变换称为一个对换

记为对换(is

it)

任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变

定理1

n个数码(n

1)共有n!个n级排列

其中奇偶排列各占一半

定理2对排列21354施以对换(1

4)后得到排列24351

N(21354)

2

而N(24351)

5

可见对换后奇偶性改变

例如Part3n阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式观察与思考

在二阶行列式和三阶行列式中

(1)它们的项数与阶数有什么关系?(2)各项的一般形式怎样?(3)各项的符号与下标有怎样的关系??一、二阶、三阶行列式观察与思考

?(1)在三阶行列式中,共有3!=6项；说明：

(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列,即当为偶数时取正号,为奇数时取负号.一、二阶、三阶行列式例如偶排列奇排列列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为+正号-负号二、n阶行列式的定义定义(n阶行列式)行列式determinant

由n2个数组成的

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和记作简记为，数aij称为行列式det(aij)的元素.

二、n阶行列式的定义其中为自然数的一个排列,N为这个排列的逆序数.二、n阶行列式的定义1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为说明：

练习例如

四阶行列式所表示的代数和中有项.行标排列为1234,元素取自不同的行；列标排列为1234,元素取自不同的列,且逆序数为N(1234)=0,即元素乘积前面应冠以正号,所以为D的一项.练习例如

四阶行列式所表示的代数和中有项.行标排列为1234,元素取自不同的行；列标排列为4312,元素取自不同的列,且N(4312)=5,即4312为奇排列,所以元素乘积前面冠以负号,即-为D的一项.

练习例如

四阶行列式所表示的代数和中有项.有两个元素取自第四列,所以它不是D的一项.练习例3

用行列式定义计算行列式解

考察的非零项,第三行和第一列均只有一个非零元素,因此非零项必取和,

取和后，就不能取和，若取则有两个元素取自第二行,若取则有两个元素取自第二列，不取和则只有取和,这样是取自不同行、不同列的元素乘积,故练习例3

用行列式定义计算行列式解

是行列式D的一项,其他项至少含有一个零元素,故有练习例4

计算n阶行列式解

要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零,第一行只能取,第二行只能取,第三行只能取

,,第n行只能取.这样的乘积项只有一个,即.因此结论下三角行列式

上三角行列式

对角行列式主对角线结论

副对角线二、n阶行列式的定义定理3n阶行列式的一般项可以记为其中与均为n级排列.练习

由行列式定义

每一项中的元素取自不同行、不同列

故有j

3

且有i

1时k

5

或i

5时k

1

当i

1

j

3

k

5时

N(14325)

N(52314)

9

该项前应冠以负号

所以

a15a42a33a21a54为|aij|的一项

当i

5

j

3

k

1时

N(54321)

N(52314)

16

该项前应冠以正号

所以a55a42a33a21a14也为|aij|的一项

若(

1)N(i432k)

N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式|aij|的一项

则i

j

k应为何值？此时该项的符号是什么？例5

解练习解例6

计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得即行列式中不为零的项为练习解例