第2章2.1.2同步训练及解析

PAGEPAGE1人教A高中数学选修2-3同步训练1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a(eq\f(1,3))i，i＝1,2,3，则a的值为()A．1 B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D.eq\f(27,13)解析：选D.由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得(eq\f(1,3)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,27))a＝1，∴a＝eq\f(27,13).2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选C.设ξ的分布列为ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，∴由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3).∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C.ξ分布列为ξ123…nPeq\f(1,n)eq\f(1,n)eq\f(1,n)…eq\f(1,n)P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3＝eq\f(3,10).∴n＝10.4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X012P0.50.40.1则P(X<2)＝________.解析：P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋0.4＝0.9.答案：0.9一、选择题1．设离散型随机变量X的分布列如下X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p则p的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：选C.p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).2．下列各表中可作为随机变量X的分布列的是()A.X－101P0.50.30.4B.X123P0.50.8－0.3C.X123P0.20.30.4D.X－101P00.40.6解析：选D.A中0.5＋0.3＋0.4>1，B中－0.3<0，C中0.2＋0.3＋0.4<1.3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于eq\f(C\o\al(3,5)×C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)解析：选B.设6人中“三好生”的人数为k，则其选法数为Ceq\o\al(k,5)·Ceq\o\al(6－k,7)，当k＝3时，选法数为Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,7).4．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m＜n，则P(m≤ξ≤n)等于()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)解析：选C.P(m≤ξ≤n)＝1－P(ξ>n)－P(ξ<m)＝1－[1－(1－a)]－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．5．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))解析：选B.设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0,\f(1,3)＋d≥0))，解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.eq\f(1,220) B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D.eq\f(21,25)解析：选C.由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)×C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).二、填空题7．随机变量ξ的分布列为ξ012345Peq\f(1,9)eq\f(2,15)eq\f(7,45)eq\f(8,45)eq\f(1,5)eq\f(2,9)则ξ为奇数的概率为________．解析：P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝eq\f(2,15)＋eq\f(8,45)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,15).答案：eq\f(8,15)8．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.答案：0.89．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C,kk＋1)，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5<X<2.5)＝________.解析：1＝C(eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4))，∴C＝eq\f(4,3).∴P(0.5<X<2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)三、解答题10．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．解：X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝eq\f(1,5)，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,1)＝eq\f(1,5)，所以X的分布列为X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)11.已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(1)求η1＝eq\f(1,2)ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．解：(1)η1＝eq\f(1,2)ξ的分布列为η1－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(2)η2＝ξ2的分布列为η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)12.袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．解：(1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为：5,6,7,8.P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al