江苏省镇江市姚桥中学高二数学理期末试卷含解析

江苏省镇江市姚桥中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是圆内一点，过点的最长弦所在直线的方程是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D2.过点P（a，5）作圆（x+2）2+（y﹣1）2=4的切线，切线长为2，则a等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】算出圆心为C（﹣2，1）、半径r=2，根据两点间的距离公式，算出圆心到点P的距离|CP|．再由切线的性质利用勾股定理加以计算，可得a的值．【解答】解：∵（x+2）2+（y﹣1）2=4的圆心为C（﹣2，1）、半径r=2，∴点P（a，5）到圆心的距离为|CP|==．∵过切点的半径与切线垂直，∴根据勾股定理，得切线长为=．解得：a=﹣2故选：B．【点评】本题考查求圆的经过点P的切线长．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识，属于中档题．3.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．故选：D．4.函数的单调递减区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.以下有关命题的说法错误的是(

)A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若为假命题，则、均为假命题

D．对于命题，使得，则，则参考答案：C若为假命题，则只需至少有一个为假命题即可，故选C；6.如图，E，F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP，BC的中点，PC=AB=2，EF=，则异面直线AB与PC所成的角为（）

A．60° B．45° C．90° D．30°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先取AC的中点G，连接EG，GF，由三角形的中位线定理可得GE∥PC，GF∥AB且GE=5，GF=3，根据异面直线所成角的定义，再利用余弦定理求解．【解答】解：取AC的中点G，连接EG，GF，由中位线定理可得：GE∥PC，GF∥AB且GE=1，GF=1，∴∠EGF或补角是异面直线PC，AB所成的角．在△GEF中，有EF2=EG2+FG2，∴∠EGF=90°故选：C

7.抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2=﹣8y∴2p=8，∴=2∵抛物线开口向下∴抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（0，﹣2）故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线方程化为标准方程，确定开口方向．8.函数的零点所在的区间可能是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B9.直线y＝x＋3与曲线()A．没有交点

B．只有一个交点

C．有两个交点

D．有三个交点参考答案：D略10.以下结论不正确的是

（

）A．根据2×2列联表中的数据计算得出K2≥6.635,而P（K2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小C．在回归分析中，相关指数R2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D．在回归直线中，变量x=200时，变量y的值一定是15参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=

，数列的前项和的最小值是

参考答案：

12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若平面与所成二面角为，则

▲

.参考答案：略13.已知双曲线的左右焦点为，过点的直线与双曲线左支相交于两点，若，则为

.参考答案：414.命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．参考答案：?x∈R，x2+x+1≤0【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“?x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：?x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：?x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．15.给出下列四个结论：①命题“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0”②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－2；④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f′(x)>g′(x)．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)参考答案：①④略16.棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为

参考答案：

解析：作等积变换：而17.在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.的三个顶点为,求：（1）所在直线的方程；（2）边的垂直平分线的方程。参考答案：略19.基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y%进行了统计，结果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码123456111316152021

（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系.如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A型车和800元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：报废年限车型1年2年3年4年总计A10304020100/p>

经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.参考答案：（1）见解析；（2）采购款车型.【分析】（1）由表格中数据，利用公式，求得的值，即可得到回归直线的方程；（2）分别求得100辆款和款单车平均每辆的利润，即可作出估计，得到答案。【详解】（1）由表格中数据可得，，.∵.∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，∴，∴关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆的利润为（元），这100辆款单车平均每辆的利润为（元）。∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式，准确计算的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点，，，在椭圆上，、是椭圆上位于直线两侧的动点．①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；②当、运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．参考答案：解：(1）设椭圆的方程为，则．由，得∴椭圆C的方程为．

（2）①解：设，直线的方程为，代入，得由，解得

由韦达定理得．四边形的面积∴当，．

②解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为则的斜率为，的直线方程为

由略21.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BDEC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥CC1．

…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．

…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BDEC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥