湖南省株洲市火田中学高二数学理月考试题含解析

湖南省株洲市火田中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正项数列{an}满足a1=2，an+12﹣3an+1an﹣4an2=0，则{an}的通项an=(

)A．an=22n﹣1 B．an=2n C．an=22n+1 D．an=22n﹣3参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】先考虑an+12﹣3an+1an﹣4an2=0分解转化，能得出（an+1﹣4an）（an+1+an）=0，继而，数列{an}是等比数列，由等比数列的通项公式解得．【解答】解：由an+12﹣3an+1an﹣4an2=0得（（an+1﹣4an）（an+1+an）=0{an}是正项数列∴an+1﹣4an=0，，由等比数列定义，数列{an}是以2为首项，以4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式得，an=2×4n﹣1=22n﹣1．故选A．【点评】本题首先将给出的递推公式进行分解转化，数列{an}的属性豁然而出．解决不再是难事．2.下列命题中正确的是（）A．若p：?x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2+x+1＜0B．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题C．“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为真命题参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据特称命题的否定是全称命题来判断A是否正确；根据复合命题真值表判断B的正确性；利用函数是否在0上有定义来判断C是否正确；写出命题的否命题，判断真假，可得D是正确的．【解答】解：对A选项，￢P为：?x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对B选项，若p∨q为真命题，则命题p、q至少一个为真命题；而p∧q为真命题，则命题p、q都为真命题，故B错误；对C选项，∵奇函数f（x）的定义域不包括0，则f（0）=0不成立，∴不满足充分性，故C错误；对D选项，∵命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题是：“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1”，又x2﹣3x+2≠0?x≠1且x≠2，故D正确．故选：D．3.一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率是A．

B．

C．

D．参考答案：D4.下列各数中最小的一个是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同}，B={至少出现一个3点}，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.已知直线互相平行，则的值是（

）A.

B.

C.或

D.或参考答案：A7.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]=108∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180故选C．8.已知集合，，则A∩B=（

）A.{－1,0,1} B.{－1,0} C.{0,1} D.{－1,1}参考答案：B【分析】先求集合，然后求.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.9.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B10.已知实数x，y满足条件，则z=x+3y的最小值是（

） A． B． C．12 D．－12参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是

．参考答案：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的奇偶性，求得m的最小正值．解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移m个单位（m＞0），可得y=sin[2（x﹣m）+]=sin（2x﹣2m+），若所得图象对应的函数为偶函数，则﹣2m+=kπ+，k∈Z，即m=﹣﹣，则m的最小正值为，故答案为：．12.命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是．参考答案：若a，b不都是奇数，则a+b不是偶数【考点】四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是奇数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是奇数，则a+b不是偶数13.若行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a=

．参考答案：2【考点】二阶行列式的定义．【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，∴﹣=4，∴﹣（a﹣3a）=4，∴a=2．故答案为：2．14.

▲

.参考答案：略15.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．16.正四面体ABCD的棱长为1，其中线段平面，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面上的射影长的范围是

▲

．

参考答案：[，]．略17.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中，与AD1所成角为的有

▲条（填数字）.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）①由椭圆过两点，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，与椭圆方程联立求出P点坐标，用﹣代k，得M点坐标，由此能求出直线PM，从而能证明直线PM经过定点T（0，）．（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由此利用换元法及基本不等式性质能求出椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．【解答】解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C的方程为．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，由，得P（，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆中心到右准线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用．19.如图所示，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，）在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||+||+||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由已知中椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），可得c值，点H（1，）在椭圆上，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．【解答】解：（1）∵右焦点为F2（1，0），∴c=1∴左焦点为F1（1，0），点H（1，）在椭圆上，∴2a=|HF1|+|HF2|=4，∴a=2，∴b==∴椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤2）∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12=（x1﹣4）2，∴|PF2|=2﹣x1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣3=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理可求|QF2|+|QM|=2∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．20.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

优秀合格合计大学组

中学组

合计

注：，其中.0.100.050.0052.70638417.879

（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；参考答案：（1）没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关；（2）60人【分析】（1）根据条形图即可完成2×2列联表，把数据代入公式计算出，与临界值比较，即可得到结论；（2）根据条形图计算出所抽取的100人中的优秀率，即可得到80人中优秀等级的选手人数。【详解】（1）由条形图可知2×2列联表如下

优秀合格合计大学组451055中学组301545合计7525100

没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为.所有参赛选手中优秀等级人数约为人.【点睛】本题考查独立性检验的运用，考查概率的计算，考查学生读图能力，属于基础题。21.为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况．某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：(1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？(2)画出频率分布直方图；(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率？

参考答案：略22.某大学志愿者协会中，数学学院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外语学院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生．现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两个学院中共抽取3名同学，到希望小学进行支教活动．（1）求从数学学院抽取的同学中至少有1名女同学的概率；（2）记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由已知得理科组抽取2人，文科组抽取1人，从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，由此能求出从数学学院抽取的同学中至少有1名女同学的概率．（2）由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的