湖南省常德市澧县马溪中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省常德市澧县马溪中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3=8，则S5=（）A．16 B．24 C．32 D．40参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的求和公式以及性质可得S5=5a3，代值计算可得．【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a3=8，∴S5===5a3=5×8=40故选：D2.已知：，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D.参考答案：D略3.设随机变量，则（

）A. B. C. D.3参考答案：B【分析】根据二项分布方差公式求得结果.【详解】

本题正确选项：【点睛】本题考查二项分布中方差的求解，属于基础题.4.不等式的解集为A．B．C．

D．参考答案：B5.已知函数，则（

）A.0 B. C．－3 D．参考答案：D略6.已知等差数列的前n项和为等于（

）A．－90 B．－27 C．－25 D．0参考答案：C略7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于()A．4 B．2 C．1

D．－2参考答案：A略8.已知等差数列的公差d≠0，且成等比数列，则的值是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣2x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，设g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，即g（m+1）＜g（﹣m），∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，故选：A．10.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为

（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．参考答案：（0，2）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）?（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）?（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12.

用更相减损术求38与23的最大公约数为

参考答案：1

13.已知直线和夹角的平分线为y＝,如果

的方程是

，那么

的方程是

．参考答案：14.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最小边长为

，外接圆的面积为

．参考答案：，25π．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据题意，由A、C的大小可得B=75°，由三角形的角边关系分析可得c为最小边；进而由正弦定理=，变形可得c=，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，B=135°，C=15°，则A=180°﹣135°﹣15°=30°，则有B＞A＞C，则c为最小边，由正弦定理可得：c===，外接圆的半径R===5，可得：外接圆的面积S=πR2=25π．故答案为：，25π．15.给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①④【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16.已知点在直线上，若圆(为坐标原点)上存在点使得，则的取值范围为▲.参考答案：略17.中，则=

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本大题12分）已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．参考答案：19.已知函数，若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，代入中形成函数．（Ⅰ）试列出所有的与的组合；（Ⅱ）求方程有两个不相等实根的概率．参考答案：解：（Ⅰ）∵取集合中任一个元素，取集合{1,2,3}中任一个元素，∴，的取值的情况有(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值。………………4分（Ⅱ）设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A，当a>0，b>0时，方程有两个不相等实根的充要条件为a＞2b.当a＞2b时，a，b取值的情况有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，即A包含的基本事件数为4，而基本事件总数为9.∴方程有两个不相等实根的概率………………12分略20.设和.参考答案：略21.已知数列{an}中，a1=1，（n∈N*）． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列{an}的通项公式an； （3）设，数列{bnbn+2}的前n项和Tn，求证：． 参考答案：【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和． 【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由得，结合等差数列的定义可得结论； （2）由（1）及等差数列的通项公式可求得an； （3）由得，从而可得bnbn+2，拆项后利用裂项相消法可得Tn，易得结论； 【解答】证明：（1）由得：，且， ∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列； （2）由（1）得：， 故； （3）由得：， ∴， 从而：， 则Tn=b1b3+b2b4+…+bnbn+2 = = =． 【点评】本题考查由递推式求数列通项、等差关系的确定及数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握． 22.（12分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程；抛物线的定义；抛物线的简单性质．【分析】解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=﹣1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（﹣1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=﹣1，易得抛物线方程；（2）由已知，，得λ1?λ2＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化简得C：y2=4x．

（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），又，联立方程组，消去x得：y2﹣4m