2021年空间角题库

1．如图，如图，已知正三棱柱各条棱都相等，M是侧棱中点，则异面直线和所成角大小是（）A．B．C．D．2．正方体中，与平面所成角余弦值（）A．B．C．D．3．在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面,点是侧面中心，若,则直线与平面所成角大小为（A）（B）（C）（D）4．如图，在长方体中，，则与平面所成角正弦值为（）A．B．C．D．5．、是二面角棱上两点，分别在内作垂直于棱线段，已知，那么长为（）A．1B．2C．D．6．若异面直线分别在平面内，且，则直线（）A．与直线都相交B．至少与中一条相交C．至多与中一条相交D．与中一条相交，另一条平行7．在四周体中，，，且，为中点，则与平面所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角余弦值（）A．B．C．D．9．在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点．若，则当面积为最小值时，直线与平面所成角为（）A．B．C．D．10．如图,已知四棱锥，底面是菱形，则与底面所成角为（）A、B、C、D、AA1CBC1B111．如图，三棱柱各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，为锐角，且侧面⊥底面AA1CBC1B1①；②；③直线与平面所成角为；④．其中对的结论是A．②④B．①③C．①③④D．①②③④12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1大小为60°，则AD长为（）A．B．C．2D．CADB13．如图在一种二面角棱上有两个点，，线段分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角度数为（）CADBA．B．C．D．14．若两条异面直线所成角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A．对B．对C．对D．对15．已知三棱锥中，，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球体积为A．B．C．D．16．已知直三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为1,棱BB1所在直线上动点M满足,AM与侧面BB1C1C所成角为,若,则取值范畴是（）A．B．C．D．17．已知二面角α－l－β大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°18．在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点.若，则当面积为最小值时，直线与平面所成角为（）A．B.C.D.19．如右图所示，正三棱锥中，分别是中点，为上任意一点，则直线与所成角大小是（）（A）（B）（C）（D）随点变化而变化20．在四周体中，两两垂直，且均相等，是中点，则异面直线与所成角为（）A.B.C.D.21．已知正四周体ABCD中，E是AB中点，则异面直线CE与BD所成角余弦值为（）A.B.C.D.ABabl22．如图，到距离分别是和，与所成角分别是和，在内射影长分别是和，若，则ABablA．B．C．D．P23．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所θ角取值范畴是（）PA.B.C.D.24．如图，空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD中点，EF＝，则异面直线AD,BC所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°25．如图，正方体，则下列四个命题：①在直线上运动时，三棱锥体积不变；②在直线上运动时，直线与平面所成角大小不变；③在直线上运动时，二面角大小不变；④是平面上到点D和距离相等点，则点轨迹是过点直线其中真命题个数是A．1B．2C．3D．426．已知直二面角，点为垂足，若（）A．2B．C．D．127．如图1，在等腰△中，，，分别是上点，，为中点．将△沿折起，得到如图2所示四棱锥．若平面，则与平面所成角正弦值等于（）A．B．C．D．28．如图，在棱长为正方体中,为中点,为上任意一点,为上两点,且长为定值,则下面四个值中不是定值是()A.点到平面距离B.直线与平面所成角C.三棱锥体积D.面积29．如图，在正方体中，点为线段中点.设点在线段上，直线与平面所成角为，则取值范畴是（）A．B．C．D．30．如图，，，M、N分别是BC、AB中点，沿直线MN将折起，使二面角大小为，则与平面ABC所成角正切值为（）A.B.C.D.31．如图，等边三角形中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中一种图形，下列命题中，错误是()A．动点在平面上射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥体积有最大值D．异面直线与不也许垂直32．如图，二面角大小是45°，线段．，与所成角为30°．则与平面所成角正弦值是．33．如图所示，正四棱锥所有棱长均相等，是中点，那么异面直线与所成角余弦值等于．34．下图是正四周体平面展开图，分别为中点，则在这个正四周体中，与所成角大小为.36．在正方体中，点是上底面中心，点在线段上运动，则异面直线与所成角最大时，.37．如图，椭圆长轴为，短轴为，将坐标平面沿y轴折成一种二面角，使点在平面上射影正好是该椭圆左焦点，则此二面角大小为____．38．如图,P为二面角内一点,P到二面角两个面距离分别为2、3,A、B是二面角两个面内动点,则△PAB周长最小值为.39．把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点三棱锥体积最大时，直线和平面所成角大小为______________40．若四棱柱底面是边长为1正方形，且侧棱垂直于底面，若与底面成60°角，则二面角平面角正切值为41．如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形CBD所在平面垂直，E为BC中点，则AE与平面BCD所成角大小为________．42．正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间距离为1，此时二面角大小为.43．正三棱锥P—ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于如下结论：①二面角B—PA—C大小取值范畴是（，π）；②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角大小为；③过点M与异面直线PA和BC都成直线有3条；④若二面角B—PA—C大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成直线有3条．对的序号是．44．如图，二面角大小是60°，线段.，与所成角为30°.则与平面所成角正弦值是.45．已知异面直线所成角为过空间一点O与所成角都是直线有___________条46．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹长度为1616题αβ47．在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成角为，则αβ48．如图，平面与平面相交成锐角，平面内一种圆在平面上射影是离心率为椭圆，则角.49．如图，在二面角内，于，于，且，则长为。50．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3,E为DC边中点，沿AE将折起，使二面角D-AE-B为，则直线AD与面ABCE所成角正弦值为▲51．直三棱柱中，，分别是中点，，为棱上点．（1）证明：；（2）与否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角余弦值为？若存在，阐明点位置，若不存在，阐明理由．52．如图，平面，矩形边长，，为中点．（1）证明：；（2）如果异面直线与所成角大小为，求长及点到平面距离．53．如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角余弦值；（3）求直线与平面所成角余弦值．54．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为中点，是棱上点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为棱中点，求异面直线与所成角余弦值；（3）若二面角大小为，求长．55．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，点为线段中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；【理】（Ⅱ）求二面角余弦值．【文】（Ⅱ）求点到平面距离．56．（12分）如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．（1）求证：；（2）求二面角大小．57．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点E为PD中点，点F在棱DC上移动。（1）当点F为DC中点时，试判断EF与平面PAC位置关系，并阐明理由；（2）求证：无论点F在DC何处，均有PF⊥AE（3）求二面角E-AC-D余弦值。58．（本小题满分12分）正边长为4，是边上高，、分别是和边中点，现将沿翻折成直二面角．（Ⅰ）试判断直线与平面位置关系，并阐明理由；（Ⅱ）求二面角余弦值；（Ⅲ）在线段上与否存在一点，使？证明你结论．59．（本小题满分13分）如图，已知菱形边长为，，.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.MM（Ⅰ）若点是棱中点，求证:平面；（Ⅱ）求二面角余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一种动点，试拟定点位置，使得，并证明你结论.60．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上与否存在点M，使二面角M—BO—C大小为60°，如存在，求值，如不存在，阐明理由．参照答案1．A2．D3．A4．D5．B6．B7．D8．B9．B10．B11．C12．A13．B14．B15．D16．B17．B18．B19．C.20．C21．B22．D23．D24．C25．C26．C.27．B28．B.29．B30．C31．D32．33．34．35．2；36．37．38．39．40．k41．45°42．60043．①②④44．45．446．47．49．50．51．（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，觉得原点建立如图所示空间直角坐标系，则有，设且，即,则∵，因此；（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角余弦值为．试题解析：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，觉得原点建立如图所示空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，因此；（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角余弦值为，理由如下：由题可知面法向量，设面法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角余弦值为，∴，即，解得或（舍），因此当为中点时满足规定．52．（1）证明过程详看法析；（2），点到平面距离为．试题解析：（1）证明：连接，由，得，同理得，，，由勾股定理得，∵平面，∴．又，∴平面，∴．（2）取中点，中点，连∴∥，∥，∴大小等于异面直线与所成角或其补角大小，即或（或者由观测可知，，不需分类讨论）设，则，，．若，由，得．∴．在中，，，∴∴点到平面距离为．若，由，显然不适合题意．综上所述，，点到平面距离为．53．（1）详看法析（2）（3）试题解析：（法一）（1）取中点为，连接、，且，，则且．四边形为矩形，且，且，，则．平面，平面，平面．（2）过点作平行线交延长线于，连接，，，，，，，四点共面．四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角平面角．，．即平面与平面所成锐二面角余弦值为．（3）过点作于，连接，依照（2）知，，，四点共面，，，，又，平面，，则．又，平面．直线与平面所成角为．，，，，，．即直线与平面所成角余弦值为．（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．觉得原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．依照题意咱们可得如下点坐标：，，，，，，则，．，，为平面一种法向量．又，平面．（2）设平面一种法向量为，则，，，取，得．平面，平面一种法向量为，设平面与平面所成锐二面角大小为，则．因而，平面与平面所成锐二面角余弦值为．（3）依照（2）知平面一种法向量为，，，设直线与平面所成角为，则．因而，直线与平面所成角余弦值为．54．（1）详看法析；（2）；（3）．试题解析：（1）证明：∵，，为中点，∴四边形为平行四边形，∴．∵，∴，即．又∵平面平面，且平面平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）解：∵，为中点，∴．∵平面平面，且平面平面，∴平面．觉得原点建立空间直角坐标系，则，，，，．∵是中点，∴，∴．设异面直线与所成角为，则，∴异面直线与所成角余弦值为（3）解：由（2）知平面法向量为，由，且，得，又，∴平面法向量为．∵二面角为，∴，∴，∴．55．（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）（理）；（文）．试题解析:（Ⅰ）证明：由已知可得：，，由余弦定理从而，平面平面，平面平面【理】（Ⅱ）解：取中点,连接，，由题意知平面，，分别是，中点，，，觉得坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，，设平面法向量为，则有即取，得由题易知平面法向量为因此二面角余弦值为．【文】（Ⅱ）由已知，易求．，设点到平面距离为，又可求，，56．（1）详看法析；（2）试题解析：解：（1）连结，．，，．又，平面而平面，因此．（2）由于平面平面交于，，因此如图，觉得原点建立空间直角坐标系，，，．设平面法向量，令得．DE平面PAB，平面法向量为．设二面角大小为，由图知，，因此即二面角大小为．57．（1）面；（2）详看法析；（3）．试题解析：（1）分别为中点，，面，面，面．（2）面；面，．为矩形，．，面，面，．，且为中点，．，面，面，．（3）过作于，于，连接，则即为所求．易得．为矩形，，因此点到距离为．，为中点，为中点．．在中．即二面角余弦值为．58．（1）AB∥平面DEF；（2）；（3）在线段上存在点，使．试题解析：（Ⅰ）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．∴AB∥平面DEF．（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直