第6讲函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用

PAGE用心爱心专心第6讲函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用★知识梳理形如的函数：（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，（3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。★重难点突破1.重点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理与图象间的关系2.难点：将三角函数式化为的过程以及已知的图象求参数的过程3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。(1).三角函数的性质要熟记。问题1(广东省五校2008年高三上期末联考)定义行列式运算=.将函数的图象向左平移（）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 A． B． C． D．点拨:本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识．=2cos(x+)左移n2cos(x+n+),因此，n=选C（2）对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握问题2.(潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测)已知函数的一部分图象如右图所示，则函数可以是 A BC D点拨:用代入法,结合周期为及对称性可知选D（3）重视三角函数的应用题问题3.某港口水的深度（米）是时间(,单位：时)的函数，记作,下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经常期观察，的曲线可以近似的看成函数的图象，根据以上的数据，可得函数的近似表达式为.解析:从表可以看出，当t＝0时，y＝10，且函数的最小正周期∴b＝10，由得，由时得∴,∴的近似表达式为，★热点考点题型探析考点1函数图象变换问题题型:将几何条件转化为参数的值.［例1］（2008·广东省惠州市高三第二次调研考试）将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）．A． B． C． D．【解题思路】直接按变换法则进行转化［解析］的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．选．【名师指引】三角函数图象变换问题一般步骤是先平移再伸缩.【新题导练】1．（2008·东莞五校联考题）将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则等于（）A、 B、 C、 D、解析．C．［将函数的图像向左平移个单位，得到］2．我们知道，函数的图象经过适当变换可以得到的图象，则这种变换可以是A．沿x轴向右平移个单位 B．沿x轴向左平移个单位C．沿x轴向左平移个单位 D．沿x轴向右平移个单位解析：选B考点2确定函数解析式问题题型1:分析图形定参数yx11O例1.(08海南、宁夏省)已知函数)在区间的图像如下：那么＝（）yx11OA．1 B．2 C． D．【解题思路】在解析式中的值由周期确定,从图象分析周期为【解析】由图象知函数的周期，所以答案：B【名师指引】确定函数的解析式就是确定其中的参数等，从图像的特征上寻找答案，它的一般步骤是:主要由最值确定，是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，可由点在函数图像上求得，确定值时，注意它的不唯一性，一般要求中最小的．题型2.分析图象特征确定参数再求值例2.（广东省实验中学2008学年高三第二次阶段测试试已知向量，（），函数且f(x)图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.(1)求f(x)的解析式。（2）在△ABC中，是角所对的边，且满足，求角B的大小以及f(A)取值范围。【解题思路】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值.解析：(Ⅰ)………1分………2分…………………3分∵f(x)图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.∴,所以,于是…4分…………5分（2）∵，∴，…7分又，∴…8分，∵，∴，可知…10分…12分【名师指引】.按确定的解析式的一般步骤定参数.题型3.分析图表确定参数再研究函数的性质例3.已知函数的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围；【解题思路】分析图表发现周期性、最值、对称点坐标确定参数.借助数形结合讨论方程的解.解：（1）设的最小正周期为，得……..2分由得又，解得……..3分令，即，解得∴……..5分（2）∵函数的周期为又∴……..6分令，∵∴……..8分如图在上有两个不同的解的充要条件是∴方程在时恰好有两个不同的解的充要条件是，即实数的取值范围是……..12分【名师指引】高考中三角函数的大题往往在知识的交汇处入手.【新题导练】3．函数的图像的两个相邻零点为和，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（）A、B、C、D、解析A．［由图像的两个相邻零点为和得，由最大值为2，最小值为－2知，又函数过点得，故，而，故，从而所求函数为]4．若函数的图像（部分）如下图所示，则和的取值是（）A、B、C、D、解析．C［由解出即可］5.已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为.=1\*GB2⑴求的解析式；=2\*GB2⑵若，求的值。解析：=1\*GB2⑴设最高点为，相邻的最低点为，则|x1–x2|=∴，∴，∴………（3分）∴，∵是偶函数，∴，.∵，∴，∴……………(6分)=2\*GB2⑵∵，∴………………(8分)∴原式考点3三角函数模型的简单应用题型1.形如的建模［例1］（2006·广东模拟）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数．（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式．【解题思路】在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在［解析］（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．（2）观察图像可知，从8～14时的图像是的半个周期的图像．∴．∵，∴，∴将代入上式，解得∴所求解析式为．【名师指引】①将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．②利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．题型2.分析平面图形建立三角函数模型［例2］如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，,四边形的面积为（Ⅰ）求的最大值及此时的值；（Ⅱ）设点的坐标为，，在（Ⅰ）的条件下，求【解题思路】由单位圆联想到三角函数的定义解析：（Ⅰ）由已知，，的坐标分别为，又故的最大值的最大值是，此时（Ⅱ）【名师指引】分析实际问题时,若发现变量既与长度有关又与角度有关时,可考虑将变量设成角度.题型3.利用三角与函数综合知识建立模型例3.如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值,长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式；(Ⅱ)当为多长时,有最小值?最小值是多少?【解题思路】由条件知需找到边与角的关系,分析图形建模.解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()设正方形的边长为,则由,得,解得,则所以,则(Ⅱ)因为,所以当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1【名师指引】三角与函数综合知识建立模型是近两年高考的热点题型之一.【新题导练】6.某港口的水深（米）是时间（0≤≤24，单位：小时）的函数，下面是不同时间的水深数据：根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像．（1）试根据以上数据，求出的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4．5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间?（忽略进出港所用的时间）?［解析］（1）从拟合曲线可知：函数在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此．又当时，；时，；故于是所求的函数表达式为了．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4．5米,故在船舶航行时水深应大于等于7＋4．5＝11．5（米）．令故取＝0，则1≤≤5；取＝1，则13≤≤17；而取＝2时，则25≤≤29（不合题意）．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．7.已知中，，，，ＡＢＣ120ＡＢＣ120°（1）求关于的表达式；（2）求的值域；解：（1）由正弦定理有：；∴，；∴（2）由；∴；∴★抢分频道基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试）将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）．A． B．C． D．解析：将函数的图象先向左平移得，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍得选C2．函数是上的偶函数，则的值是（）ABCD解析：C当时，，而是偶函数3.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（） A．， B．， C．， D．，解析：B观察图形知，，只知，，，，，且以4为周期，，，∴.4．若在区间上的最大值是，则=________解析：5．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）已知的图象如右图04（Ⅰ）求的解析式；04（Ⅱ）说明的图象是由的图象经过怎样的变换得到?解:(1)由图知A=4由,得所以由,得所以,(2)①由得图象向左平移单位得的图象②再由图象的横坐标缩短为原来得的图象③由的图象纵坐标伸长为原来的4倍得的图象综合拔高训练6．已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。（1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；（2）求出所有符合题意的与的值。解：（1）猜想：或；4分由知，而为奇函数且在上是增函数。6分由知，而为奇函数且在上是增函数。8分（2）由为奇函数，有所以，又，解得。10分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。12分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故14分所以所有符合题意的与的值为：或16分7．已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设。ABCDMN（ⅰABCDMN（ⅱ）求的最小值。如图所示，，则MB=