2023年中考数学考前第19讲：线段的最值问题（附答案解析）

2023年中考数学考前冲刺第19讲：线段的最值问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水"问题，关键是指出一条对称轴

"河流”(如图1)∙

三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的"台球两次碰壁"或"光的两次反射”问题,

关键是指出两条对称轴"反射镜面"(如图2).

两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两

条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在

AB的延长线上，即P-

解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题.

【例题1】如图1,菱形Z8C。中，AB=2,NZ=I20。,点尸、。、K分别为线段8C、CD、

8。上的任意一点，求尸K+0K的最小值.

图1

【例题2】如图1,已知A(0,2)、8(6,4)、E(α,0)、F(α+1,0),求a为何值时，四边形ABEF

周长最小？请说明理由.

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【例题3】在平面直角坐标系中，。为原点，点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别

为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点0顺时针旋转，得正方形。ERF,记旋转角为α.

(I)如图①，当a=90。时，求AE',BF的长；

(II)如图②，当a=135°时，求证AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直线AE，与直线BF相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).

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1.如图1,菱形ABC。中，NA=60。，48=3,G)A、。8的半径分别为2和1,P、E、F分

别是边CD、。8和。A上的动点，则PE+PF的最小值是,

图1

2.如图，在RtZiABC中，ZB=90o,AB=4,BC>AB,点D在BC上，以AC为对角线的

DE的最小值是

3.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN,连接AC交BN于点

E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为4,则线段CF的最小值是.

4.如图1,Z∖A8C中，NACB=90。，AC=2,BC=I.点A、C分别在X轴和y轴的正半轴上,

当点A在X轴上运动时，点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中，则点B到原点的最

大距离是,

5.如图，RtaABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC内部的一个动点，且满足

ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为

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A

6.如图，在Rtz^ABC中，AB=3,BC=5,P为边BC上一动点，PElAB2FE,PF_LAC于F,

Q为EF中点，则AQ的最小值为.

7.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中NBAC=45。，/ACD=

30°,点E为CD边上的中点，连接AE,将AADE沿AE所在直线翻折得到4ADE,D'E

交AC于F点.若AB=6丘cm.

(I)AE的长为」、G_cm；

(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

(3)求点D，到BC的距离.

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8.几何模型：

条件：如下图，A、B是直线1同旁的两个定点.

问题：在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小.

方法：作点A关于直线1的对称点A，，连接A，B交I于点P,则PA+PB=AB的

值最小(不必证明).

模型应用：

(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连

接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,

则PB+PE的最小值是；

(2)如图2,。。的半径为2,点A、B、C在。O上，OALOB,ZAOC=60o,

P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

(3)如图3,ZAOB=45o,P是NAOB内一点，PO=IO,Q、R分别是0A、OB

上的动点，求APQR周长的最小值.

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9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠，使点C落在AD边

上的点M处，折痕为PE,此时PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合，当AF等于多少时，AMEF的周长最小？

(3)若点G,Q是AB边上的两个动点，且不与点A,B重合，GQ=2,当四边形MEQG周

长最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号)

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10.如图，抛物线y=-χ2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：

y=-∙Lχ-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF_LX轴交AC于点F,交抛

2

物线于点G.

(1)求抛物线y=-×2+bx+c的表达式;

(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为

顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动点，求,AM+CM

2

它的最小值.

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2023年中考数学考前冲刺第19讲：线段的最值问题答案解

析

【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；

两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水"问题，关键是指出一条对称轴

“河流”（如图1）.

三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的"台球两次碰壁"或"光的两次反射”问题,

关键是指出两条对称轴"反射镜面"（如图2）.

两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两

条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,RA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在

AB的延长线上，即7.

解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题.

【例题1】如图1,菱形中，AB=I,/4=120。，点尸、。、K分别为线段BC、CD、

8。上的任意一点，求尸K+0K的最小值.

图1

【解析】如图2,点Q关于直线BD的对称点为Q',在aKPQ,中，PK+QK总是大于PQ，的.如

图3,当点K落在PQ，上时，PK+QK的最小值为PQ，.如图4,PCT的最小值为QH,Q归就

是菱形ABC。的高,QTV=G

这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短.

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图2图3图4

【例题2】如图1,已知4(0,2)、8(6,4)、£(。,0)、F(a+1,0),求。为何值时,四边形A8EF

周长最小？请说明理由.

【解析】在四边形ABEF中，AB、EF为定值，求AE+BF的最小值，先把这两条线段经过平

移，使得两条线段有公共端点.

如图2,将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME.

如图3,作点A关于X轴的对称点A,/WA与X轴的交点E,满足AE+ME最小.

由AAOES48HF,得(止.解方程B得“L

【例题3】在平面直角坐标系中，。为原点，点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别

为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OEUF,记旋转角为α.

(H)如图②,当a=135。时,求证AE'=BF',且AE'J_BF'；

(III)若直线AE，与直线BP相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).

【分析】(1)利用勾股定理即可求出AE-BF的长.

(2)运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题.

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(3)首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置(点P与点D，重合时)，然后运用勾股定

理及30。角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.

【解答】解：(I)当α=90。时，点F与点F重合，如图①.

；点A(-2,0)点B(0,2),

.∙.0A=0B=2.

：点E,点F分别为C)A,OB的中点，

AOE=OF=I

；正方形OEUF是正方形OEDF绕点0顺时针旋转90。得到的，

AOE=OE=I,OF'=OF=L

在Rt∆AE,0中，

AE-7OΛ2+OEΓ'^22+12=√5∙

在Rt∆BOF,φ,

BF^VOB2+OF2=Λ∕22÷12=√5∙

ΛAE,,BF的长都等于Jg.

(II)当a=135。时，如图②.

：正方形OERF是由正方形OEDF绕点。顺时针旋转135。所得，

ΛZA0E,=ZB0F,=135o.

在aAOE'和aBOF中，

rAO=BO

•ZAOEz=ZBOF'，

OEz=OF'

Λ∆AOE,^∆BOF,(SAS).

ΛAE,=BF,,且NOAE，=NOBF.

/ACB=NCAO+/Ae)C=NCBP+/CPB,ZCAO=ZCBP,

ΛZCPB=ZAOC=90o

ΛAE,±BF,.

(Ill)VZBPA=ZBOA=90o,点P、B、A、。四点共圆，

二当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着ZPA。的增大而增大.

∙.∙OE'=1,...点E在以点。为圆心，1为半径的圆。上运动，

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.∙.当AP与。。相切时,ZEzAO（即NPAO）最大，

此时NAE9=90。，点D，与点P重合，点P的纵坐标达到最大.

过点P作PHJ_x轴，垂足为H,如图③所示.

VZAE,O=90o,E,O=1,A0=2,

ΛZE,AO=30°,AE,=T3∙

ΛAP=5∕3+1.

VZAHP=90°,ZPAH=30",

；.PH」AP-m+1•.

22

点P的纵坐标的最大值为近二.

2

1.如图1,菱形A8CD中，ZA=60°,AB=3,0>A,OB的半径分别为2和1,P、E、F分

别是边CD、。8和。A上的动点，则PE+PF的最小值是

【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE=I,AF=2是确定的，那么我们可以求PB

十%-3的最小值，先求P8+PA的最小值（如图2）.

如图3,P8+P4的最小值为AB-AB'=6.所以PE+PF的最小值等于3.

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2.如图，在RtZ∖ABC中，ZB=90o,AB=4,BOAB,点D在BC上，以AC为对角线的

DE的最小值是

【解析】首先证明BC〃AE,当DEJ_BC时，DE最短,只要证明四边形ABDE是矩形即可

解决问题.解：：四边形ADCE是平行四边形,

ΛBC/7AE,

当DEJ_Be时，DE最短,

此时∙.∙∕B=90°,

ΛAB±BC,

；.DE〃AB,

.∙.四边形ABDE是平行四边形,

∙/NB=90°,

四边形ABDE是矩形,

.∙.DE=AB=4,

ΛDE的最小值为4.

3.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点

E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为4,则线段CF的最小值是

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My

【解析】分析：根据正方形的性质可得AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,然后利

用"HL”证明RtAADM和RtABCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∕ι=∕2,利用"SAS"

证明ADCE和48CE全等，根据全等三角形对应角相等可得N2=N3,从而得到∕1=N3,然

后求出NAFD=90。，取A。的中点。，连接OF、OC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半可得OF=AD=2,利用勾股定理列式求出OC,然后根据三角形的三边关系可知当。、F、

C三点共线时，CF的长度最小.

详解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,NDCE=NBCE.在RtZ∖ADM和Rt∆6CΛ∕

中，

∖AD-Bk'

[JΛ∕=ΛV

，：.Rt∆ΛD∕W⅛RtΔβCΛ∕(HL),ΛZ1=Z2.在aDCE和48CE中,

BC≈CD

CE=CE

，.,.∕∖DCE^Δ,BCE(SAS),ΛZ2=Z3,ΛZ1=Z3.

VZADF+Z3=ZADC=90°,：.Zl+ZADF=90°,：.ZAFD=180°-90°=90o,取AO的中点0,

连接OF、OC,则。F=Do=；AD=2.在RtZkODC中，OC=2石，根据三角形的三边关系,

OF+CF>OC,，当0、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值=OC-OF=2、？-2.

故答案为：2√(5-2.

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MN

O

A

4.如图1,Z∖A8C中，ZACB=90Q,AC=2,BC=I.点A、C分别在X轴和y轴的正半轴上,

当点A在X轴上运动时，点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中，则点8到原点的最

大距离是

【解析】如果把OB放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么

根据两边之和大于第三边，可知第三边OB的最大值就是另两边的和.

显然AOBC是不符合条件的，因为。C边的大小不确定.

如图2,如果选AC的中点D,那么B。、。。都是定值，OD=1,BD=、5.

在aOBD中，总是有0B<0D+8D.

如图3,当点。落在OB上时，。8最大，最大值为6+∣.

5.如图，RtZ∖ABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是AABC内部的一个动点，且满足

ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为:

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A

【分析】首先证明点P在以AB为直径的。O上，连接OC与。O交于点P,此时PC最小,

利用勾股定理求出OC即可解决问题.

【解答】解：：/ABC=90。，

ZABP+ZPBC=90o,

VZPAB=ZPBC,

ΛZBAP+ZABP=90o,

，ZAPB=90o,

点P在以AB为直径的。O上，连接OC交。O于点P,此时PC最小，

在RT△BCO中，VZOBC=90o,BC=4,0B=3,

ΛOC=VBO2+BC2=5,

ΛPC=0C=0P=5-3=2.

.∙.PC最小值为2.

6.如图，在RtZ∖ABC中，AB=3,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,PF_LAC于F,

Q为EF中点，则AQ的最小值为.

【解析】连结AP,在AABC中，AB=6,AC=8,BC=IO,

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，∕BAC=90°,

VPElAB,PF±AC,

.∙・四边形AFPE是矩形，

/.EF=AP.

VM是EF的中点，

.∙.AM=LAP,

-)

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，

即APJ_BC时，AP最短，同样AM也最短，

当APJ_BC时，Z∖ABPs∕∖CBA,

.APAB

,・---=----，

ACBC

.AP6

•∙,

8IO

，AP最短时，AP=4.8

_AP

，当AM最短时,AM=--=2.4.

2

7.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中NBAC=45。，ZACD=30o,

点E为CD边上的中点，连接AE,将AADE沿AE所在直线翻折得到AAPE,DE交AC

于F点.若AB=6/2cm.

(I)AE的长为_4、；_cm；

(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

⑶求点D'到BC的距离.

解：（1）VZBAC=45o,ZB=90o,

/.AB=BC=6,

.β.AC=ɪ2cm,

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VZACD=30o,ZDAC=90o,AC=I2cm,

.∙.CD=AC÷cos30°=12÷-=12×=873(cm),

23

：点E为CD边上的中点，

.∙.AE='DC=W‰.

2

故答案为：4,∕3:

(2)∙.∙RfZ∖ADC中，ZACD=30o,

NADC=60。.为CD边上的中点，

二DE=AE,二ZXADE为等边三角形.；将aADE沿AE所在直线翻折得AAPE,

,o

.∙.A1ADE为等边三角形，ZAED=60,

：NEAC=NEAD-NDAC=30。，ΛZEFA=90o,即AC所在的直线垂直平分线段ED，,

.∙.点E,D，关于直线AC对称，连接DD交AC于点P,

二此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD,

YaADE是等边三角形，AD=AE=4、夕，

∙*∙DO1—2×—ADx=2x6=12,即DP+EP最小值为12cm；

(3)连接CD,BD,,过点D，作DG_LBe于点G,

YAC垂直平分线EDT.∙.AE=ADTCE=CD/,

VAE=EC,.∙.AD=CD=4,

⅛∆ABD,^ΔCBD,Φ,AB=BC,BD,=BD,,AD,=CD,

Λ∆ABD,^ΔCBD,(SS5),Λ∕D'BG=45°,

ΛD,G=GB,设D'G长为XC则CG长为(66-X)C5,

在必aGDC中，X2+(6√2-X)2=(4√J)2,

解得XI=3，5—∙√k,X2=3√N+VW(不合题意舍去)，

.∙.点D到BC边的距离为(3√2-√6)cm.

8.几何模型：

条件：如下图，A、B是直线1同旁的两个定点.

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3

问题：在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小.

方法：作点A关于直线1的对称点A，，连接A，B交1于点P,则PA+PB=AB的

值最小(不必证明).

模型应用：

(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连

接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,

则PB+PE的最小值是；

(2)如图2,©0的半径为2,点A、B、C在。0上，OA_LOB,ZAOC=60o,

P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

(3)如图3,ZAOB=45o,P是NAOB内一点，PO=IO,Q、R分别是0A、OB

上的动点，求APQR周长的最小值.

解：(1)；四边形ABCD是正方形，

ΛAC垂直平分BD,

二PB=PD,

由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE,

在aADE中，根据勾股定理得，DE=GT―岐

(2)作A关于OB的对称点N,连接A'C,交OB于P,

PA+PC的最小值即为A，C的长，

：ZAOC=60o

.∙.ZA,OC=120o

作OD_LA，C于D,则NA，OD=60。

V0A,=0A=2

.SD=E

.∙.1C=24;

(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN,MN交OA、

OB于点Q、R,连接PR、PQ,此时aPQR周长的最小值等于MN.

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10,ZMOA=ZPOA,ZNOB=ZPOB,

ZMON=2ZAOB=2×45o=90o,

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在Rt∆MON中，MN」QA/-O«」IO2-IO2=10J2.

即APQR周长的最小值等于10也.

9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠，使点C落在AD边

上的点M处，折痕为PE,此时PD=3.

(1)求MP的值；

(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合，当AF等于多少时，AMEF的周长最小？

(3)若点G,Q是AB边上的两个动点，且不与点A,B重合，GQ=2,当四边形MEQG周

长最小时，求最小周长值.(计算结果保留根号)

解：(I)MP==5；(2)如图1,作点M关于AB的对称点M，，连接M，E交AB于点F,则点

F即为所求，

过点E作ENlAD,垂足为N.YAM=AD-MP-PD=I5—5—3=4,

.∙.AM=ANr=4.∙.∙矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE,

ΛZCEP≈ZMEP,而/CEP=NMPE,

.∙.NMEP=NMPE,.∙.ME=MP=5,在RfZXENM中，MN===3,

NM'=11.：AF〃NE,∆AFM,^ΔNEM,,

M,AAF4AF1616

ΛM,N=EN,即11=4,解得AF=Il,即AF=II时∖Z∖MEF的周长最小；

(3)如图2,由(2)知点M，是点M关于AB的对称点，连接MG,

在EN上截取ER=2,连接MR交AB于点G,再过点E作EQ〃RG,交AB于点Q,

图2

•；EQ〃RG,ER〃GQ,二四边形ERGQ是平行四边形，

QE=GR.:GM=GMlΛMG+QE=GM,+GR=M,R,

此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，

在RaMRN中，NR=4-2=2,M,R==5,VME=5,GQ=2,

二四边形MEQG的最小周长值是7+5.

第19页共24页

10.如图，抛物线y=-χ2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：

y=-；x-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF_LX轴交AC于点F,交抛

物线于点G.

(1)求抛物线y=-×2+bx+c的表达式;

(2)连接GB,E。，当四边形GEoB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为

顶点的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动点，求：AM+CM

它的最小值.

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程

求解即可；

(3)①先判断出要以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点

坐标公式建立方程即可：

②先取EG的中点P进而判断出aPEMs^MEA即可得出PM=LAM,连接CP交圆E于M,

2

再求出点P的坐标即可得出结论.

【解答】解：(1)：点人(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-χ2+bx+c上，

ʃ-16-4h+C=-4

.Ic=4

第20页共24页

(b=-2

.(c=4

•∙，

・・・抛物线的解析式为y=-X2-2x+4；

(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,

(n=4

・1-4fc+n=-4

••，

(