2021-2023年高考数学真题分类汇编十：解三角形解答题

专题10解三角形（解答题）

近三年高考真题

1.(2023•天津)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=炳，h=2,ZA=120°.

(I)求sin8的值；

(ID求c的值；

(III)求sin(8-C)的值.

【解析】(I)“=回，b=2,ZA=120°,

则.8=①=4=姮；

«V3913

(II)。=屈，b=2,24=120°,

则/=A2+C、2-26C-COS4=4+C?+2C=39,化简整理可得，(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去)；

(III)cosB=\/l-sin2B=,

13

c=5,«=739,ZA=120°,

则sinC=m=4=*L

aV3926

痂「h—F3739

故cosC=VI-sinC=----,

26

所以sin(B—C)=sin8cosC-sinCcos8=^x^^—^5x^^=—lG.

1326261326

2.(2022•天津)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知a=C，b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2A-8)的值.

【解析】解(1)因为〃=",b=2c,cosA=一,，

4

由余弦定理可得cosA=二"=4>+==-1,

2bc4c24

解得：C=1；

(2)cosA=-->Ae.(0,71),所以sinA=Jl-cos?A=,

44

由/?=2c,可得sin3=2sinC,

由正弦定理可得」一=—J,即理,

sinAsinCJ15sinC

才

可得sinC=,

8

所以sin8=2sinC=2x；

84

(3)因为cosA=-l，sinA=-^-,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x(」)x@^=-@^,cos2A=2cos2A-l=2x--1=--,

448168

sinB=^^,可得cos3=^^,

44

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=一x)x,

84848

所以sin(2A—B)的值为粤.

3.(2022•乙卷)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A—8)=sin8sin(C—A).

(1)若A=28,求C；

(2)证明：2a之=从+。2.

【解析】(1)由sinCsin(A-8)=sin3sin(C-A),

又A=2B,/.sinCsinB=sinBsin(C-A),

vsinB^O,/.sinC=sin(C-A),即。=。一4(舍去)或C+C-A=4,

A=2B

联立，2C—A=;r，解得。=。开；

8

A+B+C=7T

证明：(2)由sinCsin(A-B)=sinSsin(C-A)>

得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinficosCsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

由余弦定理可得:三二况.正一一心正修

2ac2bc2ab

整理可得：2"=。2+。2.

4.(2021•天津)在AA3C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA:sin8:sinC=2:1:血，b=.

(1)求。的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C-2)的值.

[解析](1)^ABC中,sinA:sinB:sinC=2:l：\/2,:.a:b:c=2:\：\[2,

b=\[2f/.a=2b=2\[2,c=\[2b=2.

(2)AA8C中，由余弦定理可得cosC=+"c=*+二二=3.

lab2x2V2xV24

(3)由(2)可得sinC=V1—cos2C=,

4

o/yi

/.sin2C=2sinCcosC=-----,cos2C=2cos2C-1=-,

88

.冗、.冗r厂•n3V2T—1

sin(2C)=sin2Ccos----cos2Csin—=------------.

66616

5.(2021•上海)己知A、B、C为AA及7的三个内角，a.b、c是其三条边，a=2,cosC=--.

4

(1)若sinA=2sinB,求b、c；

(2)若cos(A—2)=3,求c,

45

【解析】(l)因为sinA=2sin3,可得a=2Z?,

又a=2,可得b=l.

由于8$。=让二《=生=

—»可得c—5/6.

lab2x2x14

(2)因为cos(A-2)=，^(cosA+sin4)=&,

425

可得cosA+sinA=生旦

5

又cos?A+sin2A=1,

cosA=①

可解得cosA=sinA=—,或sinA=

10101010

因为cosC=—L,可得sinC="5,tanC=—V15,可得C为钝角，

44

小.7V2,>j2-,-r/曰n/,一、tanA+tanC7-V15八

右sinA4=------,cosA=——，可得4stan4=7,可得tan8=-tan(A+C)=-------------------=---------=-----<0,

1010tanAtanC-17x(-V15)-l

可得8为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去,

所以sinA=立，由正弦定理工=—J可得，誓

10sinAsinC

6.（2023•新高考H）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A4BC面积为6，D为BC

的中点，且4）=1.

(1)若NA3C='，求tanB；

3

(2)若)2+=8,求b,c

【解析】

（1））。为BC中点，SMBC=y/3,

则5MCD=*,

过A作AEL8C,垂足为E,如图所示:

—CD=—,解得CD=2,

222

:.BD=2,BE=-

2

故tan8==咯-=—；

BE55

2

(2)AD=^(AB+AC),

2J、

AD=—(c~o+Zr+26ccosA),

AD=\,b2+c2=8,

贝|J1=；(8+2bccosA),

:.bccosA=-2®>

SMBC=；匕csinA=6,即OcsinA=2/②,

由①@解得tanA=-0，

A

*3

bc=4,又Z?。+=8,

.\b=c=2.

7.(2023•新高考I)已知在AABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求A3边上的高.

【解析】(1)-A+5=3C,A+B+C=4,

:AC=TT，

2sin(A-C)=sinB,

...2sin(A-C)=sin[/r-(A+C)J=sin(A+C)，

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

&72

/.——sinA=3x——cosA,

22

/.sinA=3cosA,即cosA=-sinA,

3

又・sin2/4+cos2A=I,/.sin2A+-sin2A=l,

9

解得sin2A=2,

10

又Aw(0,W,/.sinA>0,

亚

10

(2)由(1)可知sin4=3y,cosA=-sinA=,

10310

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^^x—+—x—=^,

1021025

A8ACBC5$石

sinCsinBsinAm工

Us4

:.AC=5瓜EB=56xm=2而,BC=5及xsinA=5&x^^=3后,

510

设AB边上的高为〃，

则—AB-/?=—xACxBCxsinC,

22

C1py

...-//=-x2V10x3>/5x—,

222

解得h=6,

即AB边上的高为6.

8.（2021•北京）在AABC中，c=2bcosB，ZC=一

3

（I）求N5;

（II）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求3c边

上的中线的长.

条件①c=-/lb；

条件②AABC的周长为4+26；

条件③AABC的面积为地.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【解析】（I）c=2Z?cosB,

由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,即sinC=sin23，

2万

Cr=T）

.•.当C=28时，B=-,即C+8=i,不符合题意，舍去，

3

C+2B=,

:.2B=-

39

即8=工.

6

（II）选①c=-J^b,

由正弦定理可得

73

£=包£==-=6,与已知条件c=">矛盾，故AABC不存在，

hsinB!

2

选②周长为4+26，

-21冗

C=——，B=一,

36

71

A=一，

6

由正弦定理可得」一=—2—=—J=2R,即：=与=。=2/?,

sinAsinBsinC1173

22T

a=R,b=R,c=>J3R,

。+c=(2+至()R=4+2G,

:.R=2,即a=2,b=2,c=2>/3,

.•.AABC存在且唯一确定，

设8。的中点为O,

:.CD=\,

在AACD中，运用余弦定理，AZ>2=AC2+CC>2—2AC.CD,cosNC,

BPAD2=4+l-2x2xlx(-l)=7,AD=J1,

边上的中线的长度近.

选③面积为5.陞=苧，

A=8噎

：.a=b,

.c1,,1^33GAZH仄

••Sow=—MsmC=—a2x—=---，解V得a=，3,

MBC2224

余弦定理可得

AD2=AC2+CD2-2xACxCDxcos—=3+-+y/3x—=—,

3424

AD=---.

2

9.(2022•上海)如图，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,O为4?中点，曲线C£>上任一点到O距

离相等，角NZMB=NABC=120。，P,。关于对称，MOLAB-.

(1)若点尸与点C重合，求NPO3的大小；

(2)P在何位置，求五边形MQA8P面积S的最大值.

【解析】(1)点尸与点C重合，由题意可得08=10,BC=6,ZABC=nO°,

由余弦定理可得0尸=OBi+BC?-2OB-BCcosZABC=36+100-2x6x10x(-1)=196,

OPBP

所以OP=14,在△O3P中，由正弦定理得

sinl20°-sinZP(?B

所以早=—----解得sinNPOB=±g,

73sinNPOB14

T

所以NPO8的大小为arcsin±8；

14

(2)如图，连结QA,PB,OQ,OP,

曲线CW上任意一点到O距离相等，

,-.OP=OQ=OM=OC=\4,

P,Q关于对称，

二尸点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S4QOM=S.OM=a，

rr

则ZAOQ=ZBOP=S岫op=--a,

则五边形面积S=2(SM°°+SABM)

1711

=21—•OQ'OA'sin(--cr)+—•OQ♦OM-sina\

=196sina+140cosa

=28\/74sin(a+cp),其中tan9=^,

当sin(a+0)=1时，S五边形Ma8P取最大值28>/74,

・•・五边形MQABP面积S的最大值为28774.

10.(2022•新高考I)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知一--=—......

1+sin41+cos2B

(1)若。=丝，求B；

3

a2+h2

(2)求的最小值.

2

【解析】(1)8SA=sin23,]+cos2g=：2cos/?*0,cosB^O.

14-sinA1+cos2B

cosA_2sinBcosBsinB

1+sinA2cos2BcosB

化为：cosAcosB=sinAsinB+sinfi,

/.cos(B+A)=sin3,

cosC=sinB,C=—,

3

・n1

sinD——,

2

7T71

0<B<-,=

36

(2)由(1)可得：-cosC=sin5>0,「.cosCvO,CG(—,九)，

2

.•.C为钝角，B,A都为锐角，B=C--.

2

7C

sinA=sin(B+C)=sin(2C-—)=-cos2C,

=S加2A+而B=4$22。+绚52。=(1-2s讥-$加()=2+4卅55〃2c

2+4sin2C-5..2^/2^4-5=4V2-5当且仅当

c2sin2csin2Csin2Csin2Csin2C

sinC=2时取等号.

V2

2,12

，生二的最小值为4忘-5.

11.(2022•浙江)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=6c,cosC=-.

5

(I)求sinA的值；

(ID若b=ll,求AABC的面积.

【解析】(I)因为cosC=3>0,所以Ce(0,&),且sinC=Jl—cos2c=1,

525

由正弦定理可得：=

sinAsinC

口大...asinCa.厂书4小

n有sinA=-----=—sinC=——x—=——；

cc455

(II)因为4“=石cna=£<c,

所以AvC,故Ae(O,—),

2

又因为sin4=好，所以COSA=35

55

所以sinB=sin[7r-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=~~~；

由正弦定理可得：—=5^5,

sinAsinCsin8

所以。=5括sinA=5，

114

所以与=—«Z?sinC=—x5xllx—=22.

225

12.(2022•新高考II)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三

个正三角形的面积依次为S1,S2,S,.已知S1-S?+S3=平，Sin8=g

(1)求AA6C的面积;

(2)若sinAsinC=——,求b.

3

【解析】(1)S,=—a2sin60°=—a2

124

S,=-b2sin60°=—

-24

=-c2sin6O°=^-c2，

24

22二立,

42

解得：<72—z?2+C2=2,

sinB=—>a2—b2-Fc2=2>0,即cosB>0,

3

3=述,

3

2ac3

解得：ac=—

4

=-acsinB=—

28

.•.AA8C的面积为.

8

b

(2)由正弦定理得:——,

sinBsinAsinC

bsinAZ?sinC

a=--------,c=---------,

sinBsinB

由(1)得ac=,

4

bsinAbsinC3夜

/.ac=------------------=------

sinBsinB4

已知，sinB=-,sinAsinC=-^,

33

解得：力」.

2

13.(2022・乙卷(理))记小钻。的内角人，B,C的对边分别为c,已知sinCsin逸-B)=sin8sin(C-A).

(1)证明：2a2=b2+c2；

25

(2)若〃=5,cosA=—,求△ABC的周长.

31

【解析】(1)证明：AABC中，sinCsin(A-8)=sinBsin(C-A),

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCeosA-cosCsinA)，

所以sinAsinBeesC+sinAcosBsinC=2cosAsinBsinC,

即sinA(sinBcosC+cosBsinC)=2cosAsinBsinC,

所以sinAsin(B+C)=2cosAsinBsinC,

由正弦定理得cr=2灰：cosA,

由余弦定理得/=h2+c2-2hccosA,

所以为2=〃+c“2；

(2)当。=5,cosA=纪时，b2+c2=2x52=50,2/>c=-^—=|J=31,

31cosA25

3?

所以(6+C)2=〃+C2+2匕c=50+31=81,解得6+c=9,

所以AA8C的周长为a+6+c=5+9=14.

14.(2021•新高考H)在AABC中，角A,B,C所对的边长为“，b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面积；

(2)是否存在正整数a,使得AABC为钝角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)■2sinC=3sinA,

根据正弦定理可得2c=3。，

Z?=a+1,c=a+2,

.'.ci=4-,h=5tc=6,

9,02222

在AABC•中，运用余弦定理可得cosC="十一厂4+5-6_1

2ab2x4x5-8

•sin2C+cos2C=l,

,sinC=yl-cos2C=

=­absinC=—x4x5x-----=--------.

2284

（2）c>b>a,

・•・AABC为钝角三角形时，角。必为钝角,

222

「a+b-c/+（。+ip-（。+2）2

cosC=---------------=-----------------------------

2ab2a（。+1）

a2—2^7—3<0,

a>0,

.,.0va<3,

•三角形的任意两边之和大于第三边，

.\a+b>c9即a+a+l>a+2,即。>1,

/.1<a<3,

.。为正整数，

..a=2•

15.（2021•上海）在A4BC中，已知a=3,b=2c.

（1）若4=年，求

（2）若2sin5—sinC=l,求圆叱.

，品"+「//1、1AR力士由殂A1b2+c2-a25c2—9

【解析】（1）由余弦定理得cosA=--=---------------

22bc4c2

解得，2=2,

7

-SMBC=-bcs\nA=—x2c=^-;

（2）b=2c,由正弦定理得sin8=2sinC,又2sin/?-sinC=l,

/.sinC=-,sinB=—,/.sinC<sinB,;.C<B,.•.C为锐角，

33

222

由余弦定理得：c=ci+b-2abcosC,又、a=3,b=2c,

22

.­,C=9+4C-8V2C,得：3c2-80C+9=O,解得：0=4W.

3

当c=4忘+石时,匹8应+2石时3+4=+后;

当c=4夜;"时，b=£2石时CMBC=3+40-石.

16.(2022•北京)在AABC中，sin2C=V3sinC.

(I)求NC;

(II)若6=6,且AABC的面积为66,求AABC的周长.

【解析】(I)sin2c=6sinC,

2sinCcosC=^sinC，

又sinCxO,2COSC=J5,

《

cosC=——，0vCv万，

2

:.C=J

6

(II)AABC的面积为6石，

/.—absinC=6\/3,

2

又b=6,C=—»

6

1

2-X2

a=4v3,

ce+^-c2

又cosC=

lab

>/3_(4V3)2+62-C2

"2~2x473x6

c=2+,

.'.a+b+c=6+6G,

/.AABC的周长为6+.

17.(2023•乙卷(文))在AABC中，已知N54C=12O。，AB=2,AC=\.

(1)求sinZABC；

(2)若。为5c上一点.且/R4Z)=9O。，求AAZ5C的面积.

【解析】(1)在&48c中，由余弦定理可知3c2=22+『-2xlx2xcosl20o=7,

7+4-15手

BC=Ji由余弦定理可得cosZABC=

2x\/7x2~14~

又NABCw(0°,60°)sinZABC=\f\cos?/ABC

(2)由(1)知：cosZA5C=—,sinZABC=—,

1414

AtanZABC=—,A-AD=—,/.AD=—

5255f

i17/31

「.MDC的面积为一xAOxACxsinNDAC=-x-^-xlx-=J.

225210

18.（2023•甲卷（理））记AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知』+，'=2.

cosA

（1）求）c；

(2)若acosjcosA，=],求机。面积.

acosB+bcosAc

.m、/八mZ?24-c2-a22bccosA2.

【解析】(1)因为----------=--------=2bc=2,

cosAcosA

所以Z?c=1；

acosB-bcosAbsinAcosB-sin^cosAsin8.

-----------------=----------------------；---=1

acos8+力cosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

所以sin(A-B)sinB_sin(A-8)-sin8_1

sin(A+B)sinCsinC

所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B),

所以sinAcosB—sinBcosA—sin3=sinAcosB+sinBcosA，

即cosA=--，

2

由A为三角形内角得4=丝，

3

AABC面积S=—Z?csinA=—xlx—=—.

2224

19.（2021•新高考I）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知从=ac,点。在边AC上,

BDsinZABC=tzsinC.

(1)证明：BD=b；

（2）若AD=2DC,求cosZABC.

【解析】（1）证明：由正弦定理知，一-------------=2R,

sinZABCsinZACB

:.h=2RsinZABC,c=2RsinZACB,

23*67

b=acf:,b'2/?sinZABC=a•27?sinZACB,

即6sinZA3C=asinC,

BDsinZABC=tzsinC,

BD=b；

（2）法一：由（1）知BD=b,

AD=2DC,AD=-b,DC=-b,

33

/之组C~_13Z?2-9C2

在中，由余弦定理知,8s4ZM=3=

2BDAD，2blb一—12b2

222片（b）2a

BD+CD-BC+3~'10Z,2-9a2

在AC3£＞中，由余弦定理知,cosZBDC=---------------------=-----------------

2

2BDCD“2h--1h,6b

3

NBDA+/BDC=*

.•.8sZBDA+8sNBDC=