点的运动学-自然法（理论力学）

3、点的速度由，可得：速度的大小用v来表示，是一个代数量，等于动点的弧坐标对时间的一阶导数。速度的方向沿着轨迹的切线方向，当v

为正时指向与et相同，反之，与et相反。点的速度矢可写为：三、自然法4、点的切向加速度和法向加速度由对时间求一阶导数，v与et都是变量，得：（1）反映速度大小变化的加速度at切向加速度反映点的速度值对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿着轨迹的切线。切向加速度（2）反映速度方向变化的加速度an法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。法向加速度at，an均在密切面内，因此全加速度a

也必在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即令那么全加速度的大小全加速度与法线间的夹角的正切为当a与切向单位矢量et的夹角为锐角时θ为正，否则为负。at=常量

，点做匀变速曲线运动。从而：当速度v与切向加速度at的指向相同时，即v与at的符号相同时，点做加速运动。当速度v与切向加速度at的指向相反时，即v与at的符号相反时，点做减速运动。v=常量

，at=0，点做匀速曲线运动。从而：点做直线运动，ρ→∞，从而an=0。三、自然法利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。适用于点的轨迹已知时的情形。1、弧坐标上式称为点沿轨迹的运动方程，或以弧坐标表示的点的运动方程。在动点M的运动轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长s为动点M在轨迹上的弧坐标。弧长s是一代数量，随时间变化，是时间的单值连续函数，即2、自然轴系为沿轨迹切线方向的单位矢量，其指向与弧坐标正向一致。当时，，故矢量在点的运动轨迹上取极为接近的两点M和M',其间的弧长为Δs

,这两点矢径的差为Δr

。点M和M'的切向单位矢量分别为et和e't。将e't平移至点M，则et和e't决定一平面。令M'无限趋近点M，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称为主法线。令主法线的单位矢量为en

,指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，其单位矢量为eb

,指向与et、en构成右手系，即在曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径表示了曲线的弯曲程度。曲率与曲率半径互为倒数关系。用ρ来表示曲率半径，那么它与et,en有这样一个关系式：注意：随着点M在轨迹上运动，et,en,eb

的方向也在不断变动；自然坐标系是沿曲线而变动的游动坐标系。例1列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。解：已知列车作匀加速曲线运动，即at=常量。初速度为零，即v0=0，那么：当t=2min=120s时，v=54km/h=15m/s，代入上式，求得：自然法的应用三、自然法在起点，v0=0，因此法向加速度an=0，列车只有切向加速度at在末点，速度不等于零，既有法向加速度an，又有切向加速度at末点的全加速度大小为末点的全加速度与法向的夹角θ为例2已知点的运动方程为x=2sin4t，y=2cos4t，z=4t（其中x,y,z均以m计，