河北省邢台2022-2023高二数学上学期期末考试试题

河北省邢台2022-2023高二上学期期末考试

高二数学试题

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.抛物线y=8/的焦点到准线的距离是（）.

11,

A.—B.—C.2D.4

3216

2.“a=0"是“直线x-ay+3q_2=0（aeR）与圆/+歹2=4相切”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.数列｛4,｝满足%=1,%=3,%+。"2=。“+1，则。2023的值为（）

A.-2B.1C.3D.2

4.抛物线/=8x的准线过双曲线/一5=i（b>0）的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）

A.8B.C.2百D.2

5.已知数列｛为｝的各项均为正数，点板“,扬二）在抛物线J=x+6上，则过点P（，”“）和。（"+2,%Q（〃eN）的

直线的一个方向向量的坐标可以是（）

A.（3,1）B.（-2,-2）C.-1）D.（-；,-3）

6.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和6

两点，则曲线C的离心率等于()

A1BV2cV3DV6

2222

7.数列｛““｝满足q=1,对任意的〃eN*都有““+1=《+。”+〃，则一+,+...+」一=

()

a\“2°2023

2022202340464048

A.B.C.D.

2023202420242024

8.如图，棱长为1的正方体/BCD-44G2中，P为线段48上的动点（不含端点），则下列结论错误

的是（）

高二数学试题第1页（共4页）

jr77

A.直线4尸与ZC所成角的范围是

B.平面24尸，平面4/尸

C.三棱雉。-CDP的体积为定值

D.平面/P"截正方体所得的截面可能是直角三角形

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.已知两条直线/芦（a—2）x+3y+2a=0,/2：x+ay+6=0,则下列结论正确的是（）

A.当a=,时，/.±/,

B.若4〃4，则Q=—1或Q=3

212

C.当Q=0时，4与4相交于点（-6,-4）D.直线。过定点（一6,0）

10.已知递减的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，工=$9,则下列结论正确的是

A.4<0B.S］最大C.尤>0D.S”>0

11.如图，在三棱柱Z8C—Z£G中，M,N分别是48出G上的点，且6M=24〃，C、N=2B、N.设

JiBa>AC=h»H，若为C=90°,ZBAA,=ZCAA,=60°,=NC=/4=1，则下

列说法中正确的是（）

A.MN=-a+-h+-cB.|丽

333

cos^AB,BC^=—

c.4514^D.t

12.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布•伯努利将其作为椭圆的一种

类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积

为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称

为lemniscate,为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域占有至关重要的地位.双纽线像数字

"8",不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有

特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也

是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线

°：卜2+月2=4卜2—是双纽线，则下列结论正确的是（）

高二数学试题第2页（共4页）

A.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2

c.曲线c关于直线y=x对称的曲线方程为（/+/1=4（/一一）

D.若直线>=履与曲线C只有一个交点，则实数人的取值范围为

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上

13.若圆/+72+瓜一4了一4=0和圆工2+丁2-2》+/=0的公共弦所在的直线方程为1一夕+1=0,则

D+F=.

14.设等比数列｛凡｝的前〃项和为S“，且满足①q>0,②｛?｝是递增数列，③S3<13q.

写出一个满足上述三个条件的｛%｝的公比：q=.

15.已知点分别是抛物线C:/=4x和圆。：（》+盯+必=4上的动点，M到C的准线的距离为

d,则|加叫+1的最小值为

16.数列｛%｝满足％=1,%=2,且。什2=1+sin2引q+2cos2春（〃wN"）,其前”项和为S”

贝IS2023=---------------------

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知等差数列｛%｝的前〃项的和为s“，S2,S3,S4-2成等差数列，且42M7,。22成等比数列

（1））求｛%｝的通项公式；

（2）若也产一R,数列也J的前〃项的和为7；,求证：Tn<^~

Qnan+\72

18.（12分）已知圆£:/+/-68+加=0过点”（3,-5）,且圆C关于直线/:x-y+l=0对称的圆为

G

（1）求圆G的圆心坐标和半径，并求出圆G的方程；

（2）若过点尸（-2,-4）的直线「被圆。2截得的弦长为8,求直线/'的方程。

高二数学试题第3页（共4页）

22

19.(12分)已知椭圆C:1r+%=1(。＞6＞0)的离心率为32,椭圆。的一个顶点是抛物线f=—4_y的

焦点，片，工分别为椭圆C的左、右焦点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设尸为椭圆。上一点，M(1,O).若归耳川尸则，|尸周成等差数列，求实数2的取值范围.

20.(12分)如图1,四边形488为等腰梯形，48=2,ZO=OC=C8=1,将A4DC沿ZC折起,

使得平面NZ)C_L平面/8C,得到图2的棱锥。一NBC,E为Z3的中点，连接DE,CE.

(1)求证：ADLBC

(2)求直线4)与平面CDE所成角的正弦值.„r

21.(12分)已知7；为正项数列｛%｝的前〃项的乘积，且q=3,1,2=%同

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)令b”=令g3%,求数列缶也｝的前〃项和凡。

22.(12分)设双曲线。：0一营=15〉0力＞0)的右焦点是椭圆高+(=1的右顶点，且椭圆的右顶

点到双曲线的一条渐近线的距离为3.

(1)求双曲线。的方程；

(2)尸(2,6)为双曲线。上一定点，“川为双曲线(7上两个动点，直线尸出,取的斜率/、1，内满足左/2=1，

求证：直线MN恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

高二数学试题第4页(共4页)

数学试题参考答案

一、单项选择题：

1-4.BABC5-8DDCD

二、多项选择题：

9.ACD10.ABD11.BD12.BCD.

三、填空题：

13.-6；14.2（答案不唯一，只要满足l<q<3即可）;15.3；16.210'2+1024142

（写成2⑼2+1012?-2也给满分）。

四、解答题:

2s§=S+S-2

17解：（1）解：设｛““｝的公差为d,由题意得24

ai=〃2a22

-----------2分

即产+3”2%+d)+(4-解得夕:

(%+6d)2=(q+d)(%+2Id),\d=2,-----------4分

所以=%+(〃_l)d=3+(〃-1)x2=2〃+1.----------5分

〃+1_n+1_11

（2）证明:=------d------7分

7^7=(2〃+1)2(2〃+3)281(2〃+1)2(2〃+3产

……l11111

所叱RrM"亨一浮…+西"-------1=-r----------1<—

(2〃+3尸89(2〃+3产72

----------10分

18.解：（1）将M（3,—5）代入G方程得：9+25-18+加=0,m=-16>-------1分

故圆G方程为：X2+/-6X-16=0,即：（X—3）2+/=25,故圆G的圆心为G（3,0）,半径为5.

——3分

设G3。）关于直线/:一+1=。对称的点为。2（血则〃露—3b…’解得:6I7—1

I22

故圆的方程为（X—1）2+3—2）2=25。------------6分

（2）因为过点P（-2,-4）的直线厂被圆G截得的弦长为8,故圆心G（L2）到直线/'的距离为

d=V52_42=308分

当直线/'的斜率不存在时，其方程为x=-2,符合题意；----------9分

当直线/'的斜率存在时，其方程为y+4=©x+2）,即日一夕+2左—4=0,

|攵一2+2左一4|3|左一2|

故圆心。2(1，2)到直线/'的距离为「一一!=--1，------10分

“2+142+]

3|^-2|336

依题意-1=3,解得：k=-,此时直线/'的方程为一x—y+—-4=0,即3x—4y—10=0。

42+i44-4

综上，直线直线/'的方程为x=—2或3%-4歹-10=0。----------12分

19.解：(I)抛物线f=—4y的焦点为(0,-1),故椭圆。的下顶点是(0,-1)-----1分

6=1,

由题设，,解得。2=4,〃=1.所以椭圆。的方程为二+/=]......4分

a24-

a2=b2+c2.

(H)设尸(玉),盟)为椭圆C上一点，则有|尸耳|+|尸闾=2a=4.---------5分

由卢耳I，4PM，归周成等差数列，得24尸叫=4,4*0,即忸M=—.--7分

由”(1,0),则归陷=一1)2+%2.又产(X。,九)在椭圆。上,有¥+为2=1,

故|尸M=J(%-l)2+%2=，(工。一1)2+1一^-=£/2一2%+2=+|,"一一9分

因为/6|-2,2],所以当/=1时，归加匕,=胃=半；当天=-2时，「陷…=J|x4+4+2=3

1PMe[9,3]，即[坐,3]

,所以所以实数;I的取值范围是彳,、为]------12分

13

20.解：(1)证明：在图1中，过C作C4,48于〃，易知BH=—,AH=二,

22

CH-y/CB2—BH~->AC-JCH。+AH。—~J3

AB2=AC2+,故Bej_zc.折起后图2中5dC不变，一一3分

又平面/Z)C_L平面N8C,平面/OCc平面/8C=NC,

.•.8CL平面ZOC,而NOu平面--------5分

注：也可先建立坐标系，通过刀.前=0来证明。

(2)取NC中点尸，连接。尸,/石，易得E4,EE,F。两两垂直，

以所在直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角

坐标系，如图所示，

B

则E(0,p0),D(0,0,；),A吟,0,0),C(-*0,0)-----------7分

.•.房=（¥，0,-；）,而=（*,0,；）,在=（乎,;,0）

n-CD=0

设7=（x,y,z）为平面COE的一个法向量，贝人

n-CE-0

石」n

—x+—z=0

即12，取x=l,有7=(1,-6,-石).----------10分

1

——x+—y=0n

22

—11分

•・.直线加与平面侬所成的角的正弦值为筌.

-----------12分

21.解：（1）由12=町用得：当〃22时，北一：二4二,

两式相除得：%2=&了，即41=4：,---------2分

an-\

两边取对数得：亦即纳=幽4，故数列｛鱼&｝是常数列，------4分

nn-\n

.•.她=想，Ig%=〃lg3=lg3",，可:？"。--------6分

n1

(2)bn=log3atl=log33"=n9anbn=nx3"o--------------7分

=1x3+2x3?+3x33+・・・+(〃-I)x3'i+〃x3〃

3R“=1X32+2X33+3X34+---+(/7-1)X3,,+/7X3,,+1❷分

两式相减得—2R=3+32+33+-+3"-Mx3n+,=3(3，，-1)-«x3n+l=x3n+,--一一-11分

"222

r*2z?—3〃+]3.

.・.R=--------x3+—--------------12分

44

22

22.解：(1)椭圆｛+(=1的右顶点为(26,0),故双曲线。的右焦点为(26,0),-------1分

2V2

双曲线0x—4=l（a>0,6>0）的渐近线为6、±即=0,2分

a2b2

♦+/=12

a=3Y2y2

依题意，2扬3解得:7，故双曲线c的方程为二一匕=1-----------4分

/=939

^a1+b2

（2）①当直线MN的斜率不存在时，则