河南省2023-2024学年高一上学期第二次联考数学试题

2023年秋季河南省高一第二次联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章3.1．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“是无理数”的否定是（）A.不是无理数B.不是无理数C.不是无理数D.不是无理数【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定的定义选择即可.【详解】命题“是无理数”的否定是不是无理数.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由题意得集合表示偶数集，，则．故选：B3.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件概念判断．【详解】若中有一个角是，则其他两个角不确定，故不能推出为黄金三角形，若为黄金三角形，由题意知中至少有一个角是，故“中有一个角是”是“为黄金三角形”必要不充分条件，故选：C4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】根据题意可得，解得且．故选：C5.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯数千光照，花焰七枝开”烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（）A.第2秒 B.第3秒C.第4秒 D.第6秒【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质求解.【详解】依题意，，∴当时，烟花达到最高点．故选：C6.若正数满足，则ab的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果.【详解】由题意得，则，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为，故选：A.7.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可.【详解】由已知，令，解得，又，则，化简得.故选：B.8.某甜品店举行促销活动，3个提拉米苏与4个蛋糕卷的价格之和大于85元，4个提拉米苏与5个蛋糕卷的价格之和小于110元，则（）A.2个提拉米苏的价格比3个蛋糕卷的价格高B.3个蛋糕卷的价格比2个提拉米苏的价格高C.2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格相同D.不等确定2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格哪个更高【答案】B【解析】【分析】首先设1个提拉米苏与1个蛋糕卷的价格分别为元、元，则，再根据不等式的性质得到，即可得到答案.【详解】设1个提拉米苏与1个蛋糕卷的价格分别为元、元，则，令，即，则有解得所以，即，所以3个蛋糕卷价格比2个提拉米苏的价格高．故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中为真命题的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，结合一元二次方程，二次函数，绝对值的定义等，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，对于方程，可得，且两根之积小于，故方程必有一个负根，所以A正确．对于B中，当时，可得；当时，可得，所以，所以B正确．对于C中，当时，，所以C错误．对于D中，由，所以D正确．故选：ABD.10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。【详解】对于A选项，即为图中所示；对于B选项，应为如下图：对于C选项，应为如下图：对于D选项，即为图中所示.故选：AD11.已知表示不超过x的最大整数，则（）A.当时， B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由表示不超过的最大整数，得，故A，B项可判断；C项，由同向不等式可加性得到；D项，先作差比较与的大小，再由，利用不等式的传递性可得.【详解】当时，，A错误；因为，所以恒成立，B正确；因为，，所以，．则，C正确；由题意可得．则，所以，D正确．故选：BCD.12.若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】易知，则，令得，再令可得，根据均值不等式即可求解.【详解】由题意易知，，令，分式上下同除以，得恒成立，则，令，则，，所以，得，当且仅当，即，时，等号成立，故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.“”是“”的______条件．（这“充分不必要”“必要不充分”“冲要”中选一个合适的填入横线中）【答案】必要不充分【解析】【分析】解不等式，然后利用充分条件与必要条件的概念判断.【详解】由得，可得，由得，即，解得．由不能推出，由能推出，故“”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分.14.已知集合，，若，则______．【答案】3【解析】【分析】由可得，根据集合的包含关系，确定集合的元素的关系，即可求解.【详解】由可得，当，即时，，不符合集合中元素的互异性，舍去；当时，解得或3，若，则，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，则，，符合题意．故答案为：3.15.设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的解析式直接计算即可.【详解】因为，所以，则，由，可得，解得，故答案为：16.当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是______．【答案】【解析】【分析】当时不等式显然成立；当、时，根据一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质即可求解.【详解】当时，，显然恒成立．当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，恒成立，则，解得．当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，当时，恒成立，则，显然成立，所以，故取值集合是．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，集合或，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解；（2）分和两种情况讨论即可得解.【小问1详解】由，得或，因为，或，所以，解得；【小问2详解】当时，，解得，当时，由，得或，解得或，综上，的取值范围为或．18.已知函数满足．（1）求的解析式；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；（2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由，得，通过消元可得．【小问2详解】由题意可得，因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以在上的值域为．19.已知，，q：关于x的方程有两个不相等的负实数根．（1）若p为真命题，请用列举法表示整数a的取值集合；（2）若p，q中至少有一个真命题，求a的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由判别式不小于0得的范围，从而得结论；（2）由一元二次方程根的分布知识求得为真时的范围，再由两个命题均为假命题时得出的范围，进而可得最大值．【小问1详解】根据题意可得，解得，故整数的取值集合为．【小问2详解】设方程的两个不相等的负实数根为，则解得．若p，q都是假命题，则且，所以，当p，q中至少有一个为真命题时，的取值范围为，故的最小值为．20.已知正数，满足．（1）求的最小值；（2）若正数满足，证明：与之和为定值，且．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用消元法结合二次函数的性质即可得解；（2）根据和即可得证得与之和为定值，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得证.【小问1详解】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；【小问2详解】因为，所以，则，所以与之和为定值，所以，当且仅当，即时，等号成立，故得证．21.已知集合.（1）若，求的取值范围.（2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在最大值为2【解析】【分析】（1）因为，将代入求解即可.（2）对进行因式分解，可得和是方程的两根，由题意知集合中只有2个元素，进而得到，求出的范围，进而求即可.【小问1详解】因为，，所以不满足，所以，解得.【小问2详解】因式分解可得，则和是方程的两根，因为的子集个数为4，所以集合中只有2个元素，所以，解得或，所以或，所以存在最大值为2.22.如图，一块长方形形状的花梨木木板（厚度忽略不计）上有一个小黑点，现欲用这块木板作为家具的原材料，需要经过点锯掉一个梯形废料，其中，分别在，边上，．已知分米，分米，点到外边框的距离为3分米，到外边框的距离为4分米，设分米，分米．（1）设分米，若，试问有几种不同锯法？（2）求的值．（3）若用梯形废料裁出一个以为顶点，其余各顶点分别在线段，，上的正方形木板作为某家具的部件，求裁出的正方形木板的边长（单位：分米）的取值范围．【答案】（1）的取值可能为7，8，9，10，即有4种不同的锯法（2）（3）【解析】【分析】（1）过点作于，作于，由三角形相似求解可得答案；（2）