湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

雅礼教育集团2023年下学期期末考试试卷高二数学时量：120分钟分值：150分命题人：李云皇､陈智审题人：彭喜､李云皇､郝楠楠一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.B.C.D.2.若集合，则集合A的子集的个数为（）A.2B.3C.4D.8

3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.（自编作业原题）在等差数列中，，其前n项之和为，若，则（）.A.10B.100C.110D.120

5.（自编作业原题）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A.30种B.50种C.60种D.90种6.（自编作业原题）已知圆，直线，l与圆C相交于A､B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（）A.B.C.D.7.若，，，则（）A.B.C.D.8.设，分别是双曲线的左､右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校1500名学生参加“校园安全”知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a的值为0.005B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为22510.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数在上单调递减C.函数在处取得极大值D.函数有最大值11.设数列的前n项和为，下列命题正确的是（）A.若为等差数列，则，，仍为等差数列B.若为等比数列，则，，仍为等比数列C.若为等差数列，则为等差数列D.若为正项等比数列，则为等差数列12.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P､Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（）A.B.C.的最大值为16D.当最小时，直线的斜率不存在三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（自编作业原题）函数在点处的切线方程为________.14.已知，则________.15.（自编作业原题）某高中计划2024年寒假安排甲､乙､丙､丁､戊共5名学生志愿者到A､B､C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________.16.若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（自编作业原题）设a为实数，函数.（1）求的极值；（2）当a在什么范围内取值时，曲线与x轴仅有一个交点？18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点F是棱的中点，点E是棱上靠近点D的三等分点.（1）证明：；（2）求点B到平面的距离.19.（联考复习题改编）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求B；（2）若的中线长为，求面积的最大值.20.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.（1）求和的值，并猜想的通项公式；（2）证明第（1）问猜想的通项公式；（3）设，数列的前n项和为，求证：.21.在平面直角坐标系中､椭圆的左､右顶点为A，B，上顶点K满足.（1）求C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C交于M，N两点.设直线和直线相交于点P，直线和直线相交于点Q，直线与x轴交于S.证明：是定值.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.雅礼教育集团2023年下学期期末考试试卷高二数学时量：120分钟分值：150分命题人：李云皇､陈智审题人：彭喜､李云皇､郝楠楠一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【详解】因为，所以.2.【答案】C【详解】，所以集合的子集的个数为4.3.【答案】D【详解】选项，如图1，满足，但不平行，错误；错误，如图2，满足，但不平行，错误；选项，如图3，满足，但不平行，错误；选项，若，由线面平行的判断定理可得正确.4.【答案】B5.【答案】B【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有种，所以总共有种.6.【答案】C【详解】易知直线过定点，当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直.已知圆心，所以过点的直径所在直线的斜率，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.7.【答案】C【详解】易知，构造函数，则；令，解得，当时，，当时，；可得在上单调递减，在上单调递增；又易知，所以，即.8.【答案】A【详解】为圆上的点，，是的中点，又是的中点，，且，又，是圆的切线，，在Rt中，又有，，故双曲线的离心率为.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD【详解】由，可得，故A正确；前三个矩形的面积和为，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B错误；由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.10.【答案】BC【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误；当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确；不确定是否有最大值，故不正确.11.【答案】ACD【详解】设等差数列的公差为，则，，同理可得，所以，所以仍为等差数列，故A项正确；取数列为，当为0时，不能成等比数列，故B项不正确；设等差数列的公差为，则，于是，所以为等差数列，故C项正确；若设等比数列的公比为，依题意，则，D项正确.12.【答案】AD【详解】选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，由题意得，设直线方程为，联立与得，，易知，设，则，则，则，A正确；选项，在选项基础上得到，由于两直线均过焦点且垂直，可得，故，B不正确；C选项，由B选项可知，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为错误；选项，由选项可知，点横坐标为，故，所以，由于两直线均过焦点且垂直，可得，则，其中，当且仅当，即时，等号成立，当时，取得最小值，此时，故当最小时，直线的斜率不存在，正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14.【答案】【详解】由得，所以，两边平方得，解得.15.15016.【答案】【详解】，令，显然函数单调递增，所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，因为，所以，解得，得切线方程为，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根.所以实数的取值范围为故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解答】解：（1）.令，则或.当变化时，的变化情况如下表：1+00+极大值极小值所以的极大值是，极小值是.（2）函数，由此可知，取足够大的正数时，有取足够小的负数时，有，曲线与轴至少有一个交点.由（1）知.曲线与轴仅有一个交点，或，即或或当时，曲线与轴仅有一个交点.18.【详解】（1）底面底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为，点是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则故，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以点到平面的距离为.19.【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，又，所以，可得，因为为三角形内角，，所以，可得，因为，所以，可得，可得；（2）因为的中线长为，又，两边平方，可得，所以，得当且仅当时等号成立，.20.【详解】（1）由题意：时，，即；当时，，即猜想：（2）证明：当时，①②②①得：即：方法一：当时，.也适合上式，故；方法二：当时，也适合上式，故（3）证明：由（1）可得，故，则，故，故，由于，故，故21.【解答】解：（1）由题，，解得.所以的标准方程为.（2）证明：设，直线的方程为.联立直线与椭圆的方程，消得，从而由韦达定理，得.由（1）知，所以直线和的方程分别为，.联立直线和，可得交点的横坐标满足：，解得，即点总在直线上.同理可得点也在直线上，所以直线的方程为.所以，所以，其中分别为点，点的纵坐标.联立直线和直线，得；联立直线和