江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试卷

宜春九中（外国语学校）2020—2021学年上学期期中考试高二年级数学卷（文科）考试时间：120分钟试卷总分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知曲线C的方程为，则下列各点中，在曲线C上的点是A. B. C. D.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件全称命题“”的否定是

A. B. C. D.已知点，若直线l过点与线段有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是

．A. B. C. D.在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是A. B.

C. D.已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆过点作圆的切线，则切线方程为

A. B.

C.或 D.或已知两点，，若点P是圆上的动点，则面积的最小值为

A.6 B. C.8 D.以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为

A. B.

C. D.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则

A. B. C. D.2已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为A. B.2 C. D.4在平面直角坐标系xOy中，已知F是抛物线的焦点，过点F作两条相互垂直的直线，，，分别与抛物线交于点A，B和C，D，记AB的中点为M，CD的中点为N，则的最小值是

A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知直线和直线垂直，则实数a的值为__________．已知命题p：，使；命题q：，都有给出下列结论：命题“”是真命题；命题“”是假命题；命题“”是真命题；命题“”是假命题；其中正确的序号是________．椭圆的左右焦点为，，，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知集合，，且．

若是的充分条件，求实数a的取值范围；

若命题“”为真命题，求实数a的取值范围．

已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且经过点Ⅰ求双曲线C的方程；Ⅱ求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．

已知直线与直线的交点为M．

求过点M且到点的距离为2的直线l的方程；

求过点M且与直线平行的直线l的方程．

已知圆，其中．如果圆C与圆外切，求m的值；如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值．

已知椭圆C：

的离心率为，其左焦点到点的距离为，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．

求椭圆C的方程；

求的面积．

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线C上一点到焦点F的距离为．Ⅰ求抛物线C的标准方程；Ⅱ设点，过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点记直线MA与直线MB的斜率分别为，，证明：为定值．

宜春九中（外国语学校）2020—2021学年上学期期中考试高二年级数学卷答案和解析【答案】1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.D 7.C

8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.

14.

15.20

16.2

17.解：由是的充分条件，得，所以，

解得．

所以实数a的取值范围为．

命题“”为真命题，

，或，

解得或又．

所以实数a的取值范围为：或．

18.解：Ⅰ双曲线C与双曲线有相同的渐近线，

设双曲线的方程为，

代入得，

故双曲线的方程为：．Ⅱ由方程得，，，故离心率．

其渐近线方程为；

焦点坐标，解得到渐近线的距离为：．

，即．

19.解：由题意，由解得，

直线的交点M为，

根据题意，所求直线的斜率一定存在，

设所求直线方程为，即，

到直线的距离为2，

，

解得或，

所求直线的方程为或；

易知过点且与平行的直线的斜率为：，

所求的直线方程为：，即．

20.解：圆C的圆心为，半径．因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，

即，

解得．圆C的圆心到直线的距离．因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得．21.解：设椭圆左焦点为，

则由题意得，

解得，

则，

所以椭圆方程为．

设，，

由及得，

所以直线l为，

由得：

因为点到直线l的距离为

所以．

22.解：Ⅰ由题意，可设抛物线C：，焦点，则，解得，

因此，抛物线C的标准方程为；Ⅱ证明：设过点的直线l：，设点、，

联立，消去x，得，

，由韦达定理可得，．

，

因此，为定值．

【解析】1.【分析】

本题考查曲线与方程的对应关系，满足方程的解的实数对，对应的点在曲线上．

直接把点的坐标代入方程，满足方程的点，在曲线上，否则不在曲线上．

【解答】

解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程，只有满足方程，

所以在曲线上．

故选A．2.解：，解得或；

当或时，使得不成立；

当时，使得或成立；

是的必要不充分条件．

故选：B．

先求出不等式的解集，在根据充分必要条件的定义判断即可．

本题充分考查了充分必要条件，考查不等式解法，属于基础题．3.【分析】

本题考查命题的否定，属于基础题．

根据题意利用否命题的定义即可得到结果．

【解答】

解“”的否定是“”

故选B．4.【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率和数形结合思想．

由已知条件结合图形，通过观察直线倾斜角的变化，利用倾斜角与斜率间的关系得到斜率的变化情况，一般斜率的范围与过线段端点的直线的斜率有直接关系．【解答】解：直线PA的斜率，直线PB的斜率，

结合图象如下：

可得直线l的斜率k的取值范围是或．

故选C．5.【分析】本题考查了直线的斜率、截距的意义，属于基础题．由方程看到：的斜率与的截距相同，的截距与的斜率相同，结合选项可得结果．【解答】解：直线：和直线：分别化为：：，：．

由方程看到：的斜率与的截距相同，

的截距与的斜率相同．

据此可判断出：只有B满足上述条件．

故选B．6.解：圆的圆心为M，设A为圆上任一点，

点N的坐标为，线段AN的垂直平分线交MA于点P，

是AN的垂直平分线上的一点，，

又，所以点P满足，即P点满足椭圆的定义，

焦点是，，半长轴，

故P点轨迹方程式．

故选：D．

推导出P是AN的垂直平分线上的一点，且，由，得到点P满足，从而得到动点P的轨迹是焦点为，，半长轴的椭圆．

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆、直线方程、垂直平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．7.【分析】

本题考查直线与圆的位置关系及圆的切线方程的问题，考查点到直线的距离公式，属于中档题．

将切线的斜率分为存在与不存在两种情况讨论，借助点到直线的距离公式即可求解．

【解答】

解：圆的圆心为，半径为1．

当过点P的切线垂直于x轴时，切线斜率不存在，方程为，

因为圆心到直线的距离为，

所以直线符合题意；

当过点P的切线不垂直于x轴时，

设切线方程为，即．

由点到直线的距离公式得：，解得．

此时切线方程为：，即．

综上所述，切线方程为或．

故选C．8.【分析】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求出圆心到直线AB的距离d，即可得出圆上的点到直线AB的最小距离为，再利用三角形的面积计算公式面积的最小值即可得出．

【解答】解：圆，即，令圆心为，半径为1，

如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时的面积最小．

直线AB的方程为，即，

圆心C到直线AB的距离为，

所以P到直线AB的最小值为，因为，的面积的最小值为．故选B．9.解：圆：与圆：，方程相减得圆与圆的公共弦所在直线的方程：．

与圆：联立，可得圆，，公共弦为直径的圆的圆心坐标为，

故选：B．

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，确定公共弦为直径的圆的圆心坐标，即可得出结论．

此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．10.【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时可以利用“点差法”，考查运算能力，属于中档题．

设，，，可得直线OM和AB的斜率，A，B在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设，，AB中点为，

，

，

由AB的中点为M可得，

由A，B在椭圆上，可得，

两式相减可得，

把代入可得：，

整理可得

故选D

．11.略12.【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，中点坐标公式，属于中档题．

联立直线AB与抛物线的方程，求出M的坐标，同理求出N的坐标，再利用平面向量的数量积以及基本不等式求出最小值即可．

【解答】

解：设点，，，

，焦点，

由题意，直线，的斜率都存在且不为0，

可设直线AB的方程为，

把直线AB：代入，

得，

可知：，

，

同理可得，，

，当且仅当时取等号．

所以的最小值是5，

故选C．13.【分析】

本题考查两直线垂直的应用，属于基础题目．

由两直线垂直得出关系式求出a的值即可．

【解答】

解：由题意可得，

解得．

故答案为．14.【分析】本题考查复合命题的真假判断，首先判断p，q的真假，利用复合命题的真假判断即可求解．

【解答】解：命题p：，使，错误，命题q：，都有正确．故正确．15.【分析】

由椭圆性质列出方程组，求出a，再由椭圆定义得的周长为4a，由此能求出结果．

本题考查三角形周长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆定义及性质的合理运用．

【解答】

解：椭圆的左右焦点为，，，离心率为，

，解得，，，

过的直线交椭圆于A、B两点，

的周长为．

故答案为：20．16.【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．

利用已知条件求出A，B的坐标，通过AB的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即可．

【解答】

解：F为双曲线C：的右焦点，A为C的右顶点，

B为C上的点，且BF垂直于x轴．所以，

若AB的斜率为3，可得：，

，代入上式化简可得，，

可得，，

解得．

故答案为：2．17.本题考查了集合之间的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由是的充分条件，根据，即可得出．

由命题“”为真命题，可得，或，即可得出．18.Ⅰ由题意设双曲线的方程，代入M的坐标，即可求解双曲线方程．Ⅱ利用双曲线方程，然后求解双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．

本题考查双曲线的方程及简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19.本题考查了直线方程的求法，涉及两直线交点坐标求法，点到直线距离公式运用，两直线平行斜率关系，考查了运算求解能力，属于中档题．

先将直线联立，求出点M坐标，然后设出所求直线方程，运用点到直线距离公式建立关于k的方程求解即可；

先根据直线平行的关系得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程即可求解．20.本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，弦长公式，考查转化思想，属于中档题．

化简求得圆心及半径，由圆C与圆相外切，则两圆的圆心距等于其半径和，即可求得m的值；

利用点到直线的距离公式求得C到直线的距离，根据弦长公式即可求得m的值．21.本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力属于中档题．

运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a，c的值，由a，b，c的关