物理人教版必修2学案5-5向心加速度

5向心加速度知识点一对圆周运动中加速度的认识1．实例分析(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向太阳中心．(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．小球受到的力有重力、桌面的支持力、细线的拉力．其中重力和支持力在竖直方向上平衡，合外力总是指向圆心．2．结论猜测一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度方向均指向圆心．任何做圆周运动的加速度都指向圆心吗？提示：做匀速圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心，但一般的变速圆周运动的加速度方向一般不是指向圆心．知识点二向心加速度1．定义做匀速圆周运动的物体有指向圆心的加速度．2．大小(1)an＝eq\f(v2,r)；(2)an＝ω2r.3．方向沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直．甲同学认为由公式an＝eq\f(v2,r)知向心加速度an与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式an＝ω2r知向心加速度an与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．提示：他们两人的观点都不正确，当v一定时，an与r成反比，当ω一定时，an与r成正比．考点一对速度变化量Δv的理解(1)速度变化量是指物体速度的增量，又叫速度的变化，它等于物体的末速度与初速度的矢量差．若物体做直线运动，则Δv＝v2－v1；若物体做曲线运动，速度变化量用平行四边形定则或矢量三角形定则来求．(2)速度变化量是矢量，它有大小，也有方向．①当物体沿直线运动且速度增大时，Δv方向与速度方向相同；当物体沿直线运动且速度减小时，Δv方向与速度方向相反，如图所示．②如果物体做曲线运动，如图所示，我们把初速度v1始端平移到末速度v2始端上，使v1、v2的箭尾重合，则从v1的箭头指向v2箭头的有向线段就表示Δv.【例1】如图所示一物体沿逆时针方向做匀速圆周运动，线速度是5m/s，过了一段时间，由M点运动到了N点，则此物体速度的变化是多少，方向如何？不管是直线运动还是曲线运动，速度的变化量Δv都是从初速度v1的末端指向末速度v2的末端的有向线段．【解析】作出矢量变化图(如图所示)，此矢量三角形为等腰直角三角形，所以Δv的方向与水平方向成45°斜向右下，Δv的大小等于直角三角形的斜边，所以Δv＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝5eq\r(2)m/s.【答案】物体速度的变化是5eq\总结提能(1)同一直线上的速度变化量通常用正、负号表示其矢量性，与规定方向相同用正号表示，反之用负号表示．(2)曲线运动中的速度变化量用平行四边形定则(三角形定则)求解．(3)曲线运动中的速度变化量也是矢量，特别注意匀速圆周运动中任意两点间的速度变化量Δv≠0.2013年9月30日，中国第一支无限制级特技飞行队——中国红牛特技飞行队亮相“2013沈阳法库国际飞行大会”，打破了欧美对于无限制级特技飞行的垄断．中国红牛特技飞行队可以做出大坡度盘旋、垂直横滚、俯冲横滚、“死亡”翻滚、半筋斗翻转、水平8字、跃升盘旋等高难动作．如果飞机做曲线运动表演时，初速度为v1，经时间t后速度变为v2，速度变化量Δv与v1和v2的方向的关系如图所示，其中正确的是(D)A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：本题考查矢量合成的平行四边形定则(即三角形定则)，根据题意，速度的变化量Δv＝v2－v1，但它是一个矢量的表达式，可以用平行四边形定则，也可以用矢量三角形定则，但是要将平行四边形和三角形的箭头关系弄清楚，图中①很显然是错误的，将Δv转化成了v1、v2的矢量和，③中Δv的方向画错，②④是正确的，所以正确选项为D.考点二对向心加速度的理解(1)物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．(2)方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．(3)圆周运动的性质不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动．(4)变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．【例2】(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直B．向心加速度的方向保持不变C．物体做匀速圆周运动时的加速度不变D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心要明白圆周运动的速度与向心加速度的方向，注意一般圆周运动与匀速圆周运动的区别．【解析】向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向．所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变．物体做匀速圆周运动时，具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，即加速度方向改变，大小不变，所以向心加速度是改变的．【答案】AD总结提能解该类问题的关键是分清匀速圆周运动加速度的特点．匀速圆周运动的加速度就是向心加速度，方向时刻指向圆心，它只改变线速度的方向．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法正确的是(C)A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反C．始终指向圆心 D．始终保持不变解析：做匀速圆周运动的物体，其向心加速度方向始终与速度方向垂直，它只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A、B选项错；向心加速度的大小不变，其方向时刻发生变化，并且始终指向圆心，故C选项正确，D选项错．考点三向心加速度的大小(1)大小：an＝vω＝v2/r＝rω2＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r.①由an＝eq\f(v2,r)知：r一定时，an∝v2；v一定时，an∝eq\f(1,r)；an一定时，r∝v2；②由an＝rω2知：r一定时，an∝ω2；ω一定时，an∝r；an一定时，r∝eq\f(1,ω2).(2)物理意义：描述线速度方向改变的快慢．(3)圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动．【例3】滑板运动深受青少年的喜爱，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的eq\f(1,4)圆弧，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．运动员经过C点前、后的运动情况不同，前者做圆周运动，后者做匀速直线运动．【解析】运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动．由公式a＝eq\f(v2,r)得a1＝eq\f(102,2.0)m/s2＝50m/s2，方向竖直向上．运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动，加速度a2＝0.【答案】50m/s2，方向竖直向上0总结提能本题的关键是判断出运动员离开C点前后的运动情况．物体在离开圆弧前、后的运动状态不同，加速度也就不同，切不可盲目套用公式．如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为eq\f(2,3)R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为(A)A.eq\f(v2,R) B.eq\f(v2,2R)C.eq\f(3v2,2R) D.eq\f(3v2,4R)解析：小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为eq\f(v2,R)，加速度方向竖直向上，正确选项为A.1．(多选)关于匀速圆周运动的说法，正确的是(BD)A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动D．做匀速圆周运动的物体，加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动解析：速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故选项B、D正确．2．(多选)下列关于向心加速度的说法中正确的是(AC)A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直B．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的C．做圆周运动时，向心加速度一定指向圆心D．地球自转时，各点的向心加速度都指向地心解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，故选项C正确；速度方向为圆的切线方向，向心加速度的方向与速度方向互相垂直，故选项A正确；向心加速度的方向不断地在变化，所以向心加速度不是恒定的，故选项B错误；地球上各点做圆周运动的圆心在地球自转的转轴上，向心加速度并不都是指向地心，故选项D错误．3．一质点做匀速圆周运动．在时间t内(小于四分之一周期)，该质点通过的路程为s，其初速度方向与末速度方向间夹角为θ(即初位置、末位置与轨迹的圆心的连线之间的夹角为θ)，如图所示，t，s，θ为已知量，则(B)A．质点的速率v<eq\f(s,t)B．质点的向心加速度的大小为eq\f(sθ,t2)C．已知条件不足，质点的角速度无法确定D．已知条件不足，质点的向心加速度的大小无法确定解析：质点在时间t内，通过的路程为s，则质点的速率：v＝eq\f(s,t)，故A错误；质点在时间t内，其初速度方向与末速度方向间夹角为θ，则转过的角度为θ，根据角速度的定义可得：ω＝eq\f(θ,t)；质点的向心加速度：a＝ω·v＝eq\f(sθ,t2)，故B正确，C错误，D错误；故选B.4．如图所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮的半径之比为12.a，b两点分别在O1、O2的轮边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半，若两轮不打滑，则a，b，c三点的向心加速度之比为(D)A．221 B．122C．112 D．421解析：a，b两点的线速度大小相同，b，c两点的角速度相同，a，b，c做圆周运动的半径之比为121，由公式an＝ωv可求出向心加速度之比为421，选项D正确．5．(多选)关于北京和广州两地随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是(BD)A．两地的向心加速度方向都沿半径指向地心B．两地的向心加速度方向都在平行赤道的平面内指向地轴C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向(同向心力的方向)都在平行赤道的平面内指向地轴，选项A错误，B正确；在纬度为φ的地面上P点做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度an＝rω2＝R0ω2cosφ.由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项C错误，D正确．学科素养培优精品微课堂——思想方法系列五对向心加速度的进一步理解[方法解读](1)向心加速度表达式推导①情景：如图所示，物体从A点经时间Δt沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为Δθ，物体在B点速度vB可以看成是它在A点的速度vA(线速度大小vA＝vB＝v)和速度的变化量Δv的合速度．②极限：当Δt趋近于0时，Δθ也趋近于0，B点接近A点，Δv与vA垂直，指向圆心．所以向心加速度方向沿半径方向指向圆心．③推导：因为vA、vB和Δv组成的三角形与△ABO是相似三角形，所以eq\f(Δv,AB)＝eq\f(vA,R)即Δv＝eq\f(AB·v,R)，将上式两边同时除以Δt，得eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(AB,Δt)×eq\f(v,R)，等式左边eq\f(Δv,Δt)即为向心加速度a的大小，当Δt趋近于0时，eq\f(AB,Δt)等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得a＝eq\f(v2,R).(2)由向心加速度方向看圆周运动性质向心加速度方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动．(3)向心加速度的几种表达式①不同形式的各种表达式a．对应线速度：an＝eq\f(v2,r).b．对应角速度：an＝rω2.c．对应周期：an＝eq\f(4π2,T2)r.d．对应转速：an＝4π2n2r.e．推导公式：an＝ωv.②理解a．当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增加或周期的减小而增大．b．当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．c．当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．an与r的关系图象，如图所示．由an－r图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．【例】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的eq\f(1,3).当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？[解析]同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP.由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)，故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2；又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ.由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)，故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2.[答案]4m/s224m/s2总结提能向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变