高考二轮复习数学试题（新高考新教材）专题突破练15空间位置关系空间角的向量方法

专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.(2022·新高考Ⅱ,20)如图,PO是三棱锥PABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角CAEB的正弦值.2.(2022·新高考Ⅰ,19)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角ABDC的正弦值.3.如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.(1)求证:B1O⊥平面ABCD;(2)求二面角CDC1A1的正弦值.4.(2023·新高考Ⅱ,20)如图,在三棱锥ABCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;(2)点F满足EF=DA,求二面角DABF5.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥EABC的体积.6.如图,在三棱锥ABCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求证:AC⊥BD.(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角ACDB的余弦值为33.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.(1)证明连接OA,OB,如图所示.∵PO是三棱锥PABC的高,∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,∠POA=∠POB=90°.又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB.取AB的中点D,连接OD,DE,则OD⊥AB.∵AB⊥AC,∴OD∥AC.又AC⊂平面PAC,OD⊄平面PAC,∴OD∥平面PAC.∵D,E分别是AB,PB的中点,∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,∴DE∥平面PAC.∵OD∩DE=D,∴平面ODE∥平面PAC.∵OE⊂平面ODE,∴OE∥平面PAC.(2)解过点D作DF∥OP,分别以DB,DO,DF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵PO=3,PA=5,∴OA=4.由(1)知OB=OA=4,又∠ABO=∠CBO=30°,∴OD=2,DB=23,∴P(0,2,3),B(23,0,0),A(23,0,0),E3,设AC=a,则C(23,a,0).设平面AEB的法向量为n1=(x,y,z),AB=(43,0,0),DP=(0,2,3),则AB可取n1=(0,3,2).设平面AEC的法向量为n2=(x,y,z),AC=(0,a,0),AE=AC可取n2=(3,0,6).设二面角CAEB的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|=n1sinθ=1-因此,二面角CAEB的正弦值为11132.解(1)由题意可得,VA-A1BC=VA1-ABC=设点A到平面A1BC的距离为d,则13S△A1BC·d=1∴d=2.(2)连接AB1交A1B于点E,如图.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1⊂平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.∴AB,BC,BB1两两垂直.以B为坐标原点,以BC,BA,BB1的方向分别为x设AA1=AB=h,则BC·h2·∴点A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).设n1=(x1,y1,z1)为平面ABD的一个法向量.∵BA=(0,2,0),BD=(1,1,1),∴n令x1=1,则z1=1,∴n1=(1,0,1).由AB1⊥平面A1BC,得AE为平面BDC的一个法向量,而AE=(0,1,1),∴cos<n1,AE>=n1·AE∴二面角ABDC的正弦值为1-3.(1)证明如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.(2)解以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(1,3,1),所以CD=(1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则m令y=1,则x=3,z=3,所以m=(3,1,3)为平面CDC1的一个法向量.因为OD·A1C1=0,OD·DC1=0,所以OD=(0,设二面角CDC1A1的大小为θ,则|cosθ|=|cos<m,OD>|=|m·OD||m||OD所以二面角CDC1A1的正弦值为4274.(1)证明如图1,连接AE,DE.∵DB=DC,E为BC的中点,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均为等边三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E为BC中点,∴BC⊥AE.∵AE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE,∴BC⊥DA.图1图2(2)解设BC=2,由已知可得DA=DB=DC=2.DE为等腰直角三角形BCD斜边BC上的中线,∴DE=1.∵△ABD,△ACD为等边三角形,∴AB=AC=2.∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE两两垂直.以E为坐标原点,ED,EB,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),∴AB=(0,1,1).∵EF=DA=(1,0,1),∴F∴BF=(1,1,1).设平面ABD的法向量m=(x,y,z),则m令z=1,则x=1,y=1,即平面ABD的一个法向量m=(1,1,1).设平面ABF的法向量n=(u,v,w),则n·AB=0,n·BF=0,即v-w=0,设二面角DABF的平面角大小为θ,则|cosθ|=|m·n||m||n5.(1)证明∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD.又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE.∵PA=AD=1,E为PD的中点,∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.(2)解以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设AP=a(a>0),则C(2,1,0),P(0,0,a),E0,∴AC=(2,1,0),AE=0,12,a2,PC=(2,1,a设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则AC令y=a,则x=a2,z=1,∴n=a2,-a设直线PC与平面ACE所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,PC>|=|n当且仅当20a2=5a2,即a=2时,∴当a=2时,直线PC与平面ACE所成的角最大,此时三棱锥EABC的体积为13×12×2×6.(1)证明如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以OA⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO⊂平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=22又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,2设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos<BC,n>|=|BC因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以OP=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,则sinα=|cos<BC,n>|=|BC因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM.由PO⊥平面BCD,