2023年九年级数学中考复习-二次函数与角度问题

2023九年级数学中考复习——二次函数与角度问题

1.(2023•柳州一模)如图,抛物线y=-χ2+fcc+c与X轴交于A(T,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C,点

。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线解析式；

4acb

(2)求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标(-2,-^)i

2a4a

第二，确定自变量X的取值范围；第三，判定X=-A是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若

2a

h_.h

不在，要根据其增减性求最大值，即当磁Ikn<---(〃?<〃)时∙，X=〃时，y最大；当----C缁Ikn(m<n)

2a2a

时，x=〃7时，y最大.

若rvθ,檄C1+1时，二次函数y=f?+for+。的最大值是,,求r的值.

(3)如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且NZMP=45。，求点P的坐标.

2.（2023•南岗区校级模拟）抛物线y=α√-3αx+4交y轴于点C,交X轴负半轴于点A,交X轴正半轴于

点、B,已知AB=5.

（1）如图1,求抛物线解析式；

（2）如图2,点尸是第一象限抛物线上一点，设P点横坐标为/,ΔP8C面积为S,试用/表示S；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接OP,将射线PO绕点P逆时针旋转45。得到的射线与CB的延长线交

于点G,与X轴交于点F,连接AP与y轴交于点E,连接BE,过点C作y轴的垂线与过点8作BE的垂

线交于点O,连接QE,与OP交于点H,且2NG+NP〃r>=90。，求点G点的坐标.

图1图2图3

3.(2023•常州模拟)如图，抛物线y=0√+6x+c经过A(T,0)、8(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点Q,使AQPB与ΔEP3的面积相等，若存在，请求出点。的坐标；若不存在,

说明理由.

(3)抛物线上存在一点G,使NGB4+NP3E=45。，请直接写出点G的坐标.

4.（2023•三元区模拟）如图，二次函数y=-f+2αr+24+l（α是常数，且α>0）的图象与X轴交于A,B两

点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,顶点为。，对称轴与线段3C交于点£,与X轴交于点F,连

接AC,BD.

（1）若α=1

①求直线BC的表达式；

②求证：ZACO=ZCBD;

（2）若二次函数y=-d+2办+2α+l（α是常数，且α>0）在第四象限的图象上，始终存在一点尸，使得

备用图

5.(2023•南海区模拟)如图，抛物线y=-gf+∕x+2与X轴相交于点A,与y轴交于点B,C为线段OA

上的一个动点，过点C作X轴的垂线，交直线ΛB于点。，交该抛物线于点E.

(1)求直线ΛB的表达式；

(2)当ΔBEZ)为直角三角形时，求点C的坐标；

(3)当NBa=2NQ4B时，求AfiEO的面积.

6.(2023•新泰市一模)抛物线y=α√+⅛x+c与坐标轴分别交于A,B,C三点A(-2,0),B(3,0),C(0,4).

点P是第一象限内抛物线上的一点.

(1)求抛物线的解析式；

3

(2)连接4,CP,AC,^SMPC=^SΛΛOC,求点P的坐标；

(3)连接ΛP,BC,是否存在点P,使得2N∕¾B=NABC,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说

图1图2

7.(2023•锡山区模拟)抛物线y=αx2+bx+3过点A(-1,0),点8(3,0),顶点为C.

(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标;

(2)如图1,点尸在抛物线上，连接CP并延长交X轴于点。，连接AC,若ΔZMC是以AC为底的等腰三

角形，求点P的坐标;

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接PE,作NPEF=NC4B,

边所交X轴于点F,设点F的横坐标为

8.(2023•天宁区校级模拟)如图1,抛物线)，=0^+以+。的图象与才轴交于4-2,0)、8(5,0)两点，过点

C(2,4).动点。从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿ΛB方向运动，设运动的时间为f秒.

(1)求抛物线)，=以2+加+。的表达式；

(2)过。作Z)ELAB交AC于点E,连接BE.当f=3时，求ΔBCE的面积;

(3)如图2,点尸(4,2)在抛物线上.当f=5时，连接AF,CF,CD,在抛物线上是否存在点尸，使得

ZACP=NDCF?若存在,直接写出此时直线CP与X轴的交点。的坐标，若不存在，请简要说明理由.

9.(2023•沈河区模拟)如图，抛物线y=以2-30rT0a(4<0)交X轴于A、8两点，交y轴于点C,

tanZCAO=-.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线X=MO</<5)与抛物线交于点尸，连接P4交y轴于点。，连接AC,当A4CP的面积为4时,

求P点的坐标；

(3)点尸在第一象限的抛物线上，点尸是线段BC上一动点，当NFOB+ZADO=90。,FC平分NoEP时,

直接写出ZUCP的面积为.

10∙(2023∙泽州县一模)综合与探究.

如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=∙√+⅛r+c的图象与X轴交于A,3两点，与直线/交于B,C

两点，其中点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,-4).

备用图

(I)求二次函数的表达式和点B的坐标.

(2)若P为直线/上一点，。为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标.

(3)如图2,若抛物线与y轴交于点£),连接AD,BD,在抛物线上是否存在点M,使NMAB=NADB?

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

11.（2023∙香洲区校级一模）如图，抛物线产-八2-3+3与坐标轴分别交于A,B,C三点,M是第

二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m.

（1）求8点的坐标及直线AC的解析式为—，—.

（2）连接交线段AC于点£>,求工班的最大值；

^ΛAl>K

（3）连接CM,是否存在点M,使得NACo+2ZAeW=90。，若存在，求"?的值.若不存在，请说明理

由.

12.(2023•新都区模拟)如图，抛物线y=αχ2+⅛r+c经过A(-6,0),OA=3OB=-OC,。为线段AC下方

2

抛物线上一动点，过点。做AC于G.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求ΔA8面积的最大值；

（3）连接BC,是否存在点。，使得△口）G中有一个角与NBCO相等？若存在,请求出点。的横坐标；若

13.(2023•东莞市校级一模)如图，抛物线y=α^+b尤+2与X轴交于点4-1,0)、8(4,0)两点，与y轴交

点C,连接AC,BC.抛物线的对称轴交X轴于点E,交BC于点、F,顶点为

(1)求抛物线的解析式及顶点用的坐标；

(2)若O是直线3C上方抛物线上一动点，连接OD交BC于点E,当匹的值最大时，求点。的坐标；

OE

(3)已知点G是抛物线上的一点，连接CG,若NGCB=NABC,求点G的坐标.

14.（2023•长沙二模）如图1,抛物线y=αχ2+30r（α为常数，α<0）与X轴交于O,A两点，点8为抛物

线的顶点，点。是线段OA上的一个动点，连接皮）并延长与过O,A,8三点的.P相交于点C,过点C

（1）①求点A的坐标；②求证：CE=DE;

(2)如图2,连接A3,AC,BE,BO,当α=—―,NC4E=NO8E'时,

3

①求证：AB?=AC∙BE；②求」----L的值.

ODOE

答案版:

1.

【解答】解：(1)抛物线y=-χ2+⅛χ+c与X轴交于A(-1,O),B(3,0)两点,

-1-⅛+c=0b=2

,解得

-9+3⅛+c=0c=3

抛物线解析式为y=-Y+2χ+3.

/C、b24ac-b24×(-l)×3-22“

\2,)--------------------=I.,-------------------------------------=4j

2a2×(-l)4〃4x(-1)

.∙.抛物线y=-寸+2x+3的顶点坐标为O(1,4),

/<0,

/.r+l<l,

α=-lvθ,

.∙・抛物线开口向下，

啜!kr+l<l,

当％=f+1时，y最大=t，

.∙.-(r+l)2÷2(r+l)+3=z,

解得a=T;历,‘2=T+而(不符合题意，舍去)，

>>ʌ.—1—JI7

.一的值为———・

2

(3)如图，作OE_LX轴于点£,

0(1,4),

.∙.£(1,0),

作GOLAQ,交AP的延长线于点G,作GFLX轴，。尸轴，GF与DF交于点、F,

ZAΓ>G=ZEDF=90°fNZKP=45。，

/.ZGDF=ZADE=90°-ZEDG,ZDGA=ADAG=45°,

:.DG=DA,

ZF=ZAED=90。，

:.AGDF=^ADE(AAS)f

.∙∙DF=DE=4,GF=AE=l-(-l)=2,

.∙.F(5,4),G(5,2),

设直线AG的解析式为y=nvc+n,

将A(T,0),G(5,2)代入y=mr+τι,

8

3金=τ(不符合题意，舍去)，

11I，2=0

9^

【解答】解：(1)如图1中，设A(m,O),B(n,O),

加+〃=3

由题意得:

n-rn=5

m=-l

解得

〃=4

.∖A(-I,O),B(4,0),

把A(T,0)代入y=αγ2-3ax+4t

得：α+3α+4=0∙

解得：a=-lf

.∙.抛物线的解析式为y=-x2+3x÷4;

(2)过JP作尸W/∕y轴交于W,交X轴于点。，如图,

抛物线的解析式为y=-犬+3x+4,

令X=O,则y=4,

.∙.C(0,4),

设直线BC的解析式为y=kx+h,

.a=4

∙∙∣4⅛÷⅛=0,

.∙.直线8C的解析式为y=-χ+4,

P点横坐标为，，

.,.p(t,-t?+3,+4),W(/,—/÷4)τ

ΛPD=→2+3Z÷4,WD=-t+4,

.∙.PW=PD-WD=-t2+4t,

B(4,0),

.∖OB=4.

11ʌ

*'-^APBC=l^∆PIVC+=-PW∙OB=-×4×(-t~+4/),

即S=-2^+8r；

(3)过点尸作PSLX轴于点S,,过点8作CO于点T,在X轴上取一点R,使得RS=PS,如图,

图3

B(4,0),C(0,4),

，OB=OC=4,

.∙.ΔBO。等腰直角三角形，

OC工OB,CTLOC,BTLCD,

・•・四边形Ocra为正方形，

..TB=OB=4,NoBT=90。，

・•.NEBO+ZEBT=90。.

EBLBD,

:.NEBT+/TBD=琳，

.∖ZEBO=ZDBT.

在ΔEO3和△0/B中，

NEBo=NDBT

OB=TB,

ZEOB=/DTB=90°

：.AEOB=ADTB(ASA),

.'.OE=DT9

设直线AP的解析式为y=∕nr+"，

[-m+〃=0

∖mt+n=-t2+3t+4f

m=4-t

解得:

〃=4一/

「・直线AP的解析式为y=(4-∕)x+4-f.

令X=0,则y=4—，，

∙∙.E(0,4τ)∙

；.OE=TD=4-i,

CE=t，

.∙.CE=OS=/.

NoCB=NOPG=45。,

・•・点O,C,P,G四点共圆，

/.ZCOP=ZG.

./PHD=/EHO,NCED=/EHO+NEOP,

:.ZCEO=ZPHD+ZG.

2ZG+ZPHD=90o,

.∙.NCEo=90。-NG.

NCEo=90。一/CDE,

:.NG=NCDE.

COLOB9PSLOB,

∙∙.OC∕∕PS,

.∙.NOPS=NCOP,

ZOPS=ZCDE.

在AOPS和AEz)C中，

/OSP=NECD=90。

<AOPS=ZEDC,

OS=CE

.∙.AOPS=AEDC(AAS),

.∖PS=CD.

.PQ,+31+4),

.∙.PS=→2+3r+4,

CD=+3∕-f-4.

四边形OCra为正方形，

..CT=OB=4,

.∖CD=CΓ+TD=4+4-t=8-t,

—,产+3/+4=8-/，

.」=2或，=一2(舍).

.∙.P(2,6),

.∙.OS=2,SP=6,OP=ZM,

ΔPSR是等腰直角三角形，

PS=SR=6,

OR=OS+SR=2+6=8.

NoPF=ZR=45。,NPOF=/ROP,

..△OPFMORP,

.OPOR

-OF^OP,

2√10_8

.∙.OF=5,

∙∙.F(5,0).

设直线PF的解析式为γ=ex÷J,

[5c+d=0

j2c+d=6'

C=-2

解得:

j=10,

.∙.直线PF的解析式为y=-2x÷10,

•直线CB的解析式为y=-x+4,

Jy=-2x+10

∙∙[y=-χ+4

解得：尸

U=-2

.,.G(6,-2).

3.

【解答】解：(1)把A(-1,O),8(3,0),C(0,3)三点代入抛物线解析式得:

a-b+c=Oa=-∖

<9i7+3fe+c=0,解得:<h=2

c=3c=3

该抛物线的解析式为)，=-V+2x+3①；

(2)存在，理由：

由y--x2+2x+3=-(x-1)2+4,

则顶点P(l,4),对称轴为直线x=l,

W(1,O),

..PH=A,BH=2,

B(3,0),C(0,3),

直线8C解析式为y=-x+3,

.∙.点£(1,2),

如图，过点E作EQ//8C,交抛物线于Q,此时AQPB与APEB的面积相等,

由点P、台的坐标得，直线EB的表达式为：y=-2(x-3),

则直线QE的表达式为：y=-2(x-I)+2②，

联立①②并整理得：d-4x+l=0,

解得：x=2+>∕3,

则点。的坐标为(2-右，2折或(2+6，-2√3);

对于直线QE,设QE交X轴于点R,

令y=-2(x-l)+2=0,

解得：x=2,即点R(2,0),

则BR=3-2=1,

取点R'使BR=BR,过点N作尸5的平行线/,如上图，则点R(4,0),

则直线/的表达式为：y=-2(%-4),

联立),=-*+2x+3和y=-2(x-4)得：x2-4x+5=0,

5!∣JΔ=16-2O<O,无解，

故在点B的右侧不存在点Q,

综上，点Q的坐标为(2-√5,2百)或(2+百，-2√3);

(3)8(3,0),C(0,3),

/.OB-OC,

.∙.NCBO=45。，

ZHEB=45°,

..ZPBE+ZBPE=45°,

NGBA+NPBE=45。,

ZBPE=/GBA,

RHCF

/.tanZBPH=tanZGBA=—=—,

PHOB

即2="，

3

，O尸二二，

2

，点F（0,—），

2

.∙.直线所解析式为：y=-→+∣(3),

联立①③得：-JC+2x+3=-X+—,

22

ɪ

X=——

弋或,

解得:2

J=O7

-V=4

.∙.点G的坐标为（-上，-

24

若点G在直线AB的下方时,

4

由对称性可得：点F'（0,--）,

2

.∙.直线班'解析式为：y=L-3④,

'22

联立①④得：-^+2x+3=-x--,

22

3

X=-

5或x=3

解得：

9y=O'

y=一

4

3Q

.∙.点G'的坐标为（一耳，

综上所述:点G的坐标为:（-|,-：）或（-g，ɪ）.

4.

【解答】（1）解：当。=1时，抛物线的表达式为：y=-*+2.x+3,

①对于y=_尤2+2χ+3,当X=O时，y=3,即点C（0,3）,

令y=-X2+2x+3=0,

解得：〃二一1或3,

即点A、3的坐标分别为：（-1,0）、（3,0）；

设直线3C的表达式为：y=kx+3,

将点3的坐标代入上式得：0=3%+3,

解得：k=一1,

故直线3C的表达式为：y=-x+3;

②证明：过点E作EH，BD于,点H,

当X=I时，y=-x+3=1・，即点E(l,2),

由抛物线的表达式知，点。(1,4),则防=AF=2,

Ffi1

在RtABDF中，tan∕TO3=—=-

DF2

在RtADEH中，ED=4-2=2,

设EH=t,则EW=2/,

由勾股定理得：2?="+⑵)2,

解得：t=卡(负值已舍去)，

42

则OH=-r,EH=-j=

√5√5

由3、。的坐标得，BD=2√5,

则BH=2有-*=述,

√55

2

在tanNC5f>=∙^∙=-^∙=L

SH6^53

ʃ

Λ∩

在RtΔACO中，tanZACO=—=--=tanZCBD,

CO：3

:.ZACO=NCBD：

(2)解：如图，设PC交X轴于点。.

对于y=-χ2+20r+2α+l,当X=O时，y=2a+∖,即点C(0,2α+l),

令y=-X2+2ax+2α+1=O,

解得：X=-I或2α+l,

即点A、B的坐标分别为(-1,0)、(2α+l,0),

则OB=OC,则NQBC=45。，

当点P在第四象限时，点。总是在点5的左侧，此时NCQI>NC8A,即NCQA>45。，

NACQ=75。，

.∙.ZC4(9<60o,

在锐角三角形中，由函数的正切值得定义知，角度越大，正切值越大，

.∙.tanZCAO<tan60o，

而tanZCAO==%+1，tan60o=G，

AO1

.∙.2。+lvʌ/ɜ,

√3-l

.,.a<--------,

2

又∙NC4Q>150,

同法可得上西，

2

α>0,

nʌ/ɜ—1

2

5.

【解答】解：(I)在y=—q∕+Wχ+2中，

33

令y=0,得：--X2÷-x+2=0,

33

解得：x=―^或x=3,

2

.∙.A(3,0),

令X=O,得y=2,

8(0,2),

设直线AB的解析式为y=kx+2f

把43,0)代入得：3左+2=0,

解得：k=2,

3

ɔ

直线AB的表达式为y=--x+2；

(2)设C20),

①当NBEr)=90。时，如图：

.∙.EQ,2),

——=2,

33

.∙.r=0(舍去)或，=3,

2

∙∙∙C(^,0);

2

②当ZEBr>=90。时，过点石作EQLy轴，垂足为点Q,如图:

ZBAO+ZABO=90°,ZABO+NQBE=90。，

.∙./QBE=/BAO,

:.MBOs帖EQ,

AOBOl32

.∙.——=——，即Fn——=-，

BQEQBQt

・•.BQ=》

3

∙'∙E(t,2H—/),

2

.∙.2+-t=--t2÷-r+2,

233

.,√=O(舍去)或/=U,

8

.∙.C(U,0)；

8

综上所述：C点的坐标为(£,0)或(|,0)；

(3)作区4的垂直平分线交X轴于点Q,连接BQ,过点3作BGLEC于点G,如图:

BQ=AQ9

.'.ZBQA=ZQABf

ABED=IAOAB,

.∙./BQO=/BED,

在RtΔBOQ中，BQ2=BO?+OQ2,

/.Bβ2=4÷(3-Bβ)2,

∙∙∙BQ=*

,QO=∣,

∙∙∙tanzββo=≡=⅛

tan4EG=鬻号

设C(m,O),则D(m,--m+2),E(m,--∏τ+—∕n+2),

333

4ɔ10

.*.BG=/Ti，EG=—H-----fτι,

33

12_tn

∙∙T=4，10

——m~+—tn

33

as

解得m=—或〃2=O(舍去),

16

”,4210r、/2C、4-435，35455

.,.DE-(——mH----AH÷2)-(——加+2)=——tn~+4∕n=——×(Z一)X2÷4×—=------,

333331616192

SgDE=gED∙BG=1_45X535X1=59_2_5___

2192166144

6.

【解答】解：(1)♦抛物线y=0χ2+fcc+c经过点A(-2,0),8(3,0),C(0,4),

2

Cl=—

4。一2。+C=O

2

494+3〃+C=O,解得〃=一

3

••・抛物线的解析式为y=--X2+幺+4.

33

(2)如图1,连接OP,设点尸的坐标为(尢，一一X2+-X+4)(0<X<3),

33

ZAoC=90。，04=2,OC=4,

∙'∙=—×2×4=4,

•∙SZ∖pc=5SSoC，

,

∙∙ShAOC+^APOC_^ΔAOP=SMPC=5SiIiAOC=2，

1,—22八C

.∙.44+-×4x——×2(一一X+-X+4)=2,

2233

整理得f+2χ-3=0,解得XI=1,x2=—3(不符合题意，舍去)，

点P的坐标为(1,4).

(3)存在,

如图2,作AW平分NABC交y轴于点作MN上BC于点N,则NaVM=90。,

BM是NABC的平分线，MO±BA,MNA.BC,

.∙.NM=OM,

ZBoC=90。，OB=3,OC=4,

・•,BC=y∣OB2+OC2=√32+42=5,

NMOB.,ci3

-----==sinZ-OCB=-,

CMBC5

.∖CM=-NM=-OM,

33

.∙.-OM+OM,

3

3

.∖OM=-

29

/MBA=/MBC=-ZABC,

・•・当ZfiAB=ZMRA时，2ZR4B=2ZΛ/BA=ZABC,

设AP交y轴于点Q,则NAOQ=90。，

.°。，八

----=tanN/PnABD=tanNM"BE>AA=--O--M--=—2=—ɪ»

OB32

.∖OQ=ɪOA=—×2=1,

∙∙∙Q(OJ),

设直线AP的解析式为y=Ax+1,则一2攵+1=0,解昨2=g,

直线AP的解析式为y=gx+1,

尸―4

解方程组"33，得（不符合题意，舍去）,

%=°

y=—x+1

2

・••点P的坐标为j,-）

7.

【解答】解：⑴将点A(To),点5(3,0)代入丫=加+笈+3得：

(a-b+3=0

194+36+3=0'

解得：Ir;1-

[b=2

.∙.抛物线的表达式为y=-f+2x+3.

∙.∙y--x2+2x+3=-(x-l)2+4,

.∙.顶点C(l,4).

(2)设AC交y轴于点F,连接。尸，过点C作CE_LX轴于点E,如图,

.-.OA=I,Of=I,CE=4.

/.OA=OE，AC=∖∣AE2+CE1=2Λ∕5.

FOLAB.CE-LAB,

.∖FO∕∕CE,

.∖OF=-CE=2/为AC的中点.

29

ΔDAC是以AC为底的等腰三角形，

.∖DF±AC.

FO.LAD,

MFo^MDO.

AOOF

OFOD

2OD

.∖OD=4.

/.0(4,0).

设直线CE)的解析式为y=kx+mf

ʃZ+m=4

14&+"?=0'

解得：

直线CO的解析式为y=+y.

3

+2%+3

演=1

解得:

ʃɪ=4

（3）过点尸作AB于点H,如下图,

OD=4,

：.HD=OD-OH=-,

3

∙∙∙PD=y∣PH2+HD2=—・

9

2520

.∙.PC=CD-PD=5--=-.

99

由（2）知：AC=2√5.

设A/=x,AE=j,PI∣JCE=2√5-y.

DA=DCf

二.ZDAC=ZC.

ZC4B+ZAEF+ZAFE=180o,

ZAEF+ZPEF+/CEP=180°,

又/PEF=/CAB,

:.ZCEP=ZAFE.

:.∖CEPf^^AFE.

PCEC

ΛE^ΛF

20

9=2T5-y

yX

••.一。+唯y=_2（y_后+2.

2010204

二.当y=后时,X即AF有最大值2.

4

04=1,

尸的最大值为2—1=3.

44

「点尸在线段Ao上，

.∙.点尸的横坐标机的最大值为*.

4

8.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a{x-xλ∖x-x2),

则y—α(%+2)(九-5)=a(x2-3x-10),

将点C的坐标代入上式得：4=αQ2-6-10),

解得：a=-ɪ»

3

则抛物线的表达式为：y=-lχ2+x+-;

33

(2)当f=3时，点0(1,0),

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+2,

当x=l时，y=χ+2=3,即点E(l,3),

117

则ΔBCE的面积=SMgC-SΔABE=]xA3χ(yc-yE)=5χ7χl=5;

(3)由点C、B的坐标得，直线CF的表达式为：y=-x+6,

由A、C、G的坐标知，AC=CG=4√2,AG=S,

.∙.ΔACG为等腰直角三角形，

过点C作CHJ_x轴于点“，则点H是AG的中点，

取点Q使HQ=HD，连接C。，则NQCW=NZ)C”,

根据图象的对称性，ZDCF=ZACQ,

则CQ即为CP和X轴的交点，

■.CHLAB,

则点H(2,0),

而点0(3,0),

则HD=HQ=I=QO,

即点Q(1,0)；

作点Q关于AC的对称点M，

ΔACG为等腰直角三角形，

:.ZCAH=45°,

，点Q、用关于AC对称，

则连接M4,则NM4C=45。，

则NM4//=90。，即AM_LX轴，

则ΔAM。为等腰直角三角形，则AM=AQ=3,

故点M(-2,3),

由点C、M的坐标得，直线CP的表达式为：y=；(x-2)+4,

令y=；(X-2)+4=0,

解得：x=-14,

即另外一个点Q的坐标为(-14,0),

综上，点Q的坐标为：(-14,0)或(1,0).

9.

【解答】解：(1)当y=0时，OV2-3SC-Ioa=0,

.,.α(x+2)∙(x-5)=0，

”0,

x1=-2,X2=5»

,∖OA=2f

ZAOC=90。，

OC5

,∖tanZCAO=——=一，

OA2

.∖OC=5，

C(0,-I0tz),

/.-IOtz=5,

1

.∙.Cl——，

2

.123

..y=—XH—x+5c;

22

(2)设Pa9—(，+2)•(1—5)),

2

设直线AP的解析式为：y=kx+bf

t∙k+b=——(/+2)∙(r-5)

..，2，

-2k+b=Q

⅛=-l(f-5)

..<2，

b=5-t

∙*∙y=-2^^5"+(5-，),

，当X=O时，y=5-tf

.∖OD=5-t,

.∙.CD=OC—OD=5—(5—Z)=/,

gcD∙(Xp-XA)=4，

「.，•(，+2)=8,

,

..Z1=2,I2=—4(舍去)，

当f=2时，y=-l(2+2)×(2-5)=6,

.∙.P(2,6);

(3)如图，

设直线x=f交BC于G,连接。G,

C(0,5),8(5,0),

.∙.直线BC的解析式为：y=-x+5,OB=OC,

13

由①知：P{t,——t2+-t+5),D(0,5-r),

22

.,.G(t,τ+5),

.∖DG∕∕OB,

NBOC=90。，

.∙.40BC=NOCB=45°，

ZDGF=NOBC=45。,

PGI/OC,

.∙."GF=NOCB=45。,

.∙.NPGF=NDGF,

FC平分NPFO,

；.NOFE=NPFE,

.∙.180o-ZOFE=180o-ZPFε,

.∙.ZHFG=NPFG,

FG=FG,

.∙.AGFH=AGFP(ASA)f

1313

.∖GH=PG=——r2+-r+5-(→+5)=——r+-t+t,

2222

13

：,DH=DG-GH=-t2--t,

22

o

/FOB+ZADO=90°,^DAO+ZADO=90f

：.ZDAO=NFoB,

.∖AD∕∕OH,

・•・四边形AOLD是平行四边形，

JDH=OA,

"=4,t2=-1(舍去),

.∙.当1=4时，y=-∣×(4+2)×(4-5)=3,

.∙.尸(4,3),

.,.SMCP=gx4x(4+2)=12.

故答案为：12.

10.

0=4-2Z?+c

【解答】解：(I)由题意得:

-4=1-⅛÷c

⅛=-l

解得:

C=-6

2

故抛物线的表达式为：y=x-x-6φf

2

^y=X-X-6=09

解得：X=—2或3,

即点6(3,0)；

(2)由点3、C的坐标得，直线BC的表达式为：γ=x-3,

设点P(WL3)，

四边形OBPQ为平行四边形，则尸Q=P8=3,

则点。(加-3,//?—3)，

将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m-3=(m-3)2-(∕n-3)-6,

解得：∕X=4±J7，

故点P的坐标为(4+√7,1+77)或(4-夕，l-√7)；

(3)存在，理由：

由抛物线的表达式知，点。(0,-6),

由点A、B、。的坐标得，AD=2√10,ZJD=3√5,

过点A作ANJ_Br)于点N,

则SΔΛBO=-XA8xOC>=5x8OχAN，W5×6=3√5×A/V,

解得：AN=呈,

10

则SinNAZW=网==也，即ZAZW=45°=NM48,

AD2√102

则直线AM的表达式为：)，=x+2或—x—2②，

联立①②得Jij-6或卜一—6

解得：F=1或F=2(不合题意的值已舍去)，

[y=6Iy=-4

则点M的坐标为：(4,6)或(2,-4).

II.

aQ

【解答】解：(1)抛物线y=-±Y--x+3与坐标轴交于A,B,C三点，且点A和C在X轴上，3在y轴

44

上，

设A(a,O),B(b,O),C(O9c),

.∙.当y=O时，

.∙.--X2--X+3=0,

44

/.-X2+—X—3=0,

44

.,.3X2+9X-12=0,

.,.x2+3x-4=0,

.∙.x=T或x=l,

.∙.A(-4,0),8(1,0),

当X=O时C=3,

.∙.C(0,3),

设直线AC的解析式为：y=kx-∖-b,

将点0)和点C(0,3)代入y=丘+〃中,

-4Λ÷⅛=0

b=3

L3

k=-

..，4，

b=3

二直线Ae的解析式为：y=3χ+3,

-4

故答案为：(1,0)；_y=—Λ+3.

4

(2)过点M作MG〃x轴交于AC于点G,过点A作A尸，MB交与点尸,

.∙.G点的纵坐标与M点的纵坐标相同,

M为抛物线y=-12-%+3上的一点，

、

329

设M(my--∕n—6+3),

44

又G点在直线AC上，直线AC的解析式为：y=-x+3,

4

39

.,.G(-nΓ-3m,--nΓ—"？+3),

44

.,.MG=-m2—4∕π,

又MG//AB,

.MDMG-m2-4m

~DB~^∖B~5-

SADM=-MD∙AF,SCADB=IDB∙AF,

22

SADMDM

SADBDB

SADMDMMG-nr-4〃z∕n2÷4m

=――(m+2)2+—，

SADBDBAB5555

SADM≡ɪ/j.xf4

・••------的最大值为-，

SADB5

故答案为：4

5

(3)过点C作CP∕∕x轴,延长CM交X轴于点7,

ZACO+IZACM=90。ZACO+ZPCM÷ZMCT=90°,

/.ZMCP=ZΛ∕C4,

.-.ZMCA=ZMM,

.∙.ΔACT为等腰三角形，

.∖AC=AT.

在RtAACO中，AC=^AO2+OC2=√42÷32=5,

.∙.AC=AT=5,

.∙.OT=47+G4=5+4=9,

.∙.Γ(-9,0),

设直线CT的解析式为：y=kx+b,

将点T(-9,0)和点C(0,3)代入y=履+〃中,

-9⅛+⅛=0

b=3

k=-

∙∙∙,3，

b=3

・•.直线CT的解析式为：y=-χ+3,

3

是直线和抛物线2一的交点,

MCTy=--Xqx+3-4<m<O,

人329ɔ1C

443

9m2+f∑lm+4m=O,

.,.9∕n2+3la=O,

31

.∙.^(9∕n+31)=0m=0(舍去)或加=—?.

故答案为：-卫.

9

12.

3

【解答】解：(1)OA=30B=-OC=6,

2

故点3(2,0)、点C,(0,—4)»

设抛物线的表达式为：y=a(x-xl)(x-x2),

则y=Q(X+6)(X-2)=a(x2+4x-12),

即一12〃=T,

解得：.=L

3

(2)过点。作OELX轴于点E,交AC于点F.

A(-6,0),C(0,-4),

设直线AC的表达式为：y=kx+b,

则F=T，

[0=-6⅛+⅛

._2

解得：3，

b=-4

则直线AC的表达式为：‰=--x-4,

ac3

1.42

设D(X,-X2÷-X-4),则F(x,--x-4),

2141

则DF=(——X-4)-(-Xλ2+-X-4)=——x-2x，

3333

2

则^ΔACD=SAAD尸+SA