新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理学习目标素养要求1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小直观想象、数学运算2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理，会运用平面与平面垂直的判定定理证明空间位置关系的简单命题直观想象、逻辑推理|自学导引|二面角1．定义从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角(如图)．__________叫做二面角的棱，______________叫做二面角的面．两个半平面记法：___________，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作___________；当棱记为l时，可记作__________或___________．直线AB

半平面α和β

α－AB－β

P－AB－Q

α－l－β

P－l－Q

2．二面角的平面角(1)定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以O为垂足，在________________分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做________________．(2)直二面角：平面角是________的二面角．(3)二面角的平面角α的取值范围是______________．半平面α和β内二面角的平面角直角0°≤α≤180°

【预习自测】如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小等于__________．【答案】90°【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．故∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又∵∠BAC＝90°，∴二面角B－PA－C的大小为90°．平面与平面垂直的判定1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：________．直二面角α⊥β

2．判定定理垂线

【预习自测】对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 (

)A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α

D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C【解析】因为m∥n，n⊥β，则m⊥β．又m⊂α，故α⊥β，所以C正确．|课堂互动|题型1二面角的计算问题如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．(1)求二面角A－PD－C的大小；(2)求二面角B－PA－C的大小．解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD．∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．又∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．∴二面角A－PD－C的大小为90°．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°．故二面角B－PA－C的大小为45°．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．提醒：作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点．解：因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD．因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．所以∠ADC＝30°．型2平面与平面垂直的判定如图所示，在四面体A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，且SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．证明：(方法一，利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC．令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．(方法二，利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC．又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1．又因为DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．因为DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．又因为DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE．同理可得DP⊥PE．又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD．又∵PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD．(2)解：如图，取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD．∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又∵PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF．折叠问题抓住两点折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC．在四边形BCDE中，CD⊥MN，MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN．∴CD⊥A′N．

∴BE必与CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE．又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE．|素养达成|1．求二面角大小的步骤：

简称为“一作、二证、三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路．(体现直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养)(1)本质：通过证明直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．1．(题型2)已知l⊥α，则过l与α垂直的平面 (

)A．有1个 B．有2个C．有无数个 D．不存在【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．2．(题型2)空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有

(

)A．平面ABC⊥平面ACD B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ADC⊥平面BCD【答案】D【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD．又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．3．(多选)(题型3)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，在翻折的过程中，可能成立的是 (

)A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面DBF⊥平面BFCD．平面DCF⊥平面BFC【答案】BC【解析】对于A，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故A不可能成立；对于B，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故B可能成立；对于C，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；对于D，因为点D的射影不可能在FC上，故D不可能成立．故选BC．4．(题型1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为_______．5．(题型