七年级数学上册讲义（人教版）：一元一次方程及其解法讲练（学生版）（人教版）

专题3.1-3.3一元一次方程及其解法讲练目标导航1.一元一次方程的概念：目标导航只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。2.一元一次方程的解方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.等式的性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。4.移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。5.解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。考点精讲考点精讲考点1：一元一次方程定义及应用典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．方法或规律点拨本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．巩固练习1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（

）A．x+2y=5 B．x2+x-1=0 C． D．3x+1=102．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B．x＝0C．x+2y＝1 D．2（x﹣3）﹣3＝2x+54．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为_____．考点2：一元一次方程的解典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．方法或规律点拨此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．巩固练习1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（

）A．2 B．8 C．－3 D．－83．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（

）A．1 B．1 C．2 D．—4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（）A． B．C． D．5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（）A．1 B． C． D．﹣26．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为_____．9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．考点3：等式的性质典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么． C．如果，那么 D．如果，那么方法或规律点拨本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．巩固练习1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（

）A．若5x=7-4x，则5x-4x=7 B．若7x=2，则x=3.5C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9 D．若，则2(3x-2)=x+2-6．2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．若，则3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（

）A．与 B．得C．得 D．得4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（

）A．若，则a＝b B．若，则3x＋4x＝1C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由4（），得11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（

）A．如果2a=1，那么a=2B．如果a=b，那么C．如果a=b，那么a+c=b+cD．如果a－b+c=0，那么a=b+c12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（

）个．A．0 B．1 C．2 D．313．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（）A．如果ax＝bx，那么a＝bB．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣yD．如果（a2+1）x＝1，那么x＝14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是(

)A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，则x=C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3 D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=116．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（

）A． B． C． D．考点4：解一元一次方程—移项合并同类项典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．方法或规律点拨本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．巩固练习1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（

）A．－1 B．1 C．3 D．－32．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（

）A． B． C． D．3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（

）A． B． C． D．4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（

）A． B． C． D．5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．考点5：解一元一次方程—去括号典例：解方程(1)(2)方法或规律点拨本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．巩固练习1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x-3）4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：(1)求的值；(2)若，求的值．9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：(1)求的值；(2)若，求x的值．考点6：解一元一次方程—去分母典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程(1)(2)(3)(4)方法或规律点拨本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．巩固练习1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（

）A． B．C． D．3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；②由，去分母得2x－3x＋3＝6；③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；④由，得x＝3．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（

）A．乘法分配律 B．分数的基本性质C．等式的基本性质 D．等式的基本性质6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（

）A．分母的最小公倍数找错B．去分母时，漏乘了分母为1的项C．去分母时，分子部分没有加括号D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数127．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：(1)5x+2＝7x﹣8；(2)．9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0(2)10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程(1)6x﹣7＝4x﹣5(2)＝1﹣12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：(1)32x－64＝16x＋32；(2)－x＝3－．13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程(1)(2)14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：(1)(2)15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．考点7：一元一次方程拓展训练典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16(1)（﹣3）★2＝．(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．方法或规律点拨本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．巩固练习1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（

）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.052．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把称为二阶行列式，且=，如=－=－10．若=6，则的值为（

）A．8 B．－2 C．2 D．－53．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（

）解：原方程可化为（

①

）去分母，得（

②

）去括号，得（

③

）移项，得（

④

）合并同类项，得（合并同类项法则）系数化为1，得（等式的基本性质2）A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（

）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝25．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（

）A．3 B． C．4 D．6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（

）A．－7 B．－5 C．－13 D．－117．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：（1）___________________；（2）若，则x值为_______________．13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．(1)求代数式的值；(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．(1)求a的值；(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？（2）取何值时，关于的方程和的解相同？19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？【答案】##20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．能力提升能力提升一、单选题（每题3分）1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（

）．A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（）A． B．C． D．4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（

）．A．503 B．504 C．505 D．5065．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（

）A． B． C．1 D．26．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．二、填空题（每题3分）7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为__