2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题50：正态分布(练习版)

专题50：正态分布精讲温故知新密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：；；；；2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；3、正态分布曲线的特点：（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；正态分布的期望与方差：若期望：；方差：；正态分布的原则：（1）；（2）；（3）；3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：若，则；题型一：正态密度函数例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（

）．A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10举一反三设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（

）A．， B．，C．， D．，题型二：概率分布曲线的认识例2：设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．举一反三柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝．已知X～C(1，0)，P(|X|)＝，P()＝，则P(X)＝（

）A． B． C． D．题型三：正态曲线的性质例3：设随机变量服从正态分布，若，则实数（

）A．3 B．4 C．1 D．2举一反三已知随机变量，且对任意，，则（

）A． B． C． D．题型四：标准正态分布的应用例4：已知某种袋装食品每袋质量（单位：），，，.则下面结论正确的是（

）A．B．C．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量在区间的约8186袋D．随机抽取10000袋这种食品，每袋质量小于的不多于14袋举一反三下列说法正确的有（

）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0B．若是随机变量，则.C．已知随机变量，若，则D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则题型五：特殊区间的概率例5：某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：cm）服从正态分布，且，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为___________举一反三经统计，在渝东六校联考中，高二数学成绩（单位：分）服从正态分布，则任选1名参加该次考试的学生，其这次数学成绩在85~100分内的概率约为______.（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）题型6：指定区间的概率例6：设随机变量，若，则___________.举一反三一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为______．题型七：正太分布的实际应用例7：（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等举一反三（2022·全国·模拟预测（理））读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2PCle4.0NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（

）A．100 B．200 C．300 D．400题型八：根据正太曲线的对称性求参数例8：（2022·江苏苏州·模拟预测）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（

）A． B．1 C．2 D．举一反三（2015·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%题型九：3原则的应用例9：（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为________.举一反三（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.精练巩固提升一、单选题1．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.0232．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））下列说法错误的是（

）A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．若，且，则C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高3．（2022·辽宁大连·二模）某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为(

)A．700 B．800 C．900 D．9504．（2022·贵州·模拟预测（理））已知随机变量X服从正态分布N，若，则（

）A． B． C． D．5．（2015·湖北·高考真题（理））设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（

）附：若随机变量X服从正态分布，则，，．A．254人 B．127人 C．18人 D．36人7．（2022·全国·模拟预测）现用甲、乙、丙、丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布，且．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（

）A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.38．（2022·广东佛山·三模）高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（

）参考数据：若，则，．A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668二、多选题9．（2022·河北保定·一模）正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（

）.A． B．C． D．10．（2022·江苏无锡·模拟预测）老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有两条线路可以选择．乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（

）已知时，有，，．A．若乘坐线路，18：00前一定能到家B．乘坐线路和乘坐线路在17：58前到家的可能性一样C．乘坐线路比乘坐线路在17：54前到家的可能性更大D．若乘坐线路，则在17：48前到家的可能性超过1%三、填空题11．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10000株水稻，株高在(80,90)的约有________株．(附～，，)13．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.东风着陆场着陆面积达到了2万平方公里，相当于内蒙古四子王旗航天着陆场着陆面积的10倍，主着陆场正常的着陆范围是的区域.在神州十三号着陆前，航天科学家们经过了无数次的电子模拟，发现飞船着陆点离标志观察点的距离满足.下图是经过100次模拟实验中的频率分布直方图.可以用图中的平均值代替，，其中是图中的中位数的估计值（每组数据用这一组的中点值代替），则________（用“，，”之一填入）14．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.四、解答题15．（2014·全国·高考真题（理））从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示