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PAGEPAGE63习题四作业参考解答１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系：(1)解：系数矩阵（行最简形）所以同解方程组为：，令，带入同解方程组求出，得一个解向量；再令，带入同解方程组求出，得一个解向量，故齐次线性方程组的基础解系为。(2)仿（1）(3)．解：同解方程组为：，令，得解向量，令，得解向量，令，得解向量，令，得解向量，所以，齐次线性方程组的基础解系为：２．求下列非齐次线性方程组的一般解：（2）解：增广矩阵，，所以有无穷多组解。导出组的同解方程组为：，令，得导出组的解向量，此即导出组的基础解系；非齐次线性方程组的同解方程组是：，令，得非齐次线性方程组本身的一个特解，故非齐次线性方程组的一般解是４．求，使线性方程组(1)无解；(2)有解，有解时求其解．解：增广矩阵（1）当时，因为，故非齐次线性方程组无解（2）当时，因为未知数个数，故非齐次线性方程组有解，且有无穷多组解：非齐次线性方程组的同解方程组是令，即非齐次线性方程组本身的一个特解为。导出组的同解方程组是，令，得到导出组的一个解为，令，得到导出组的一个解为，则构成导出组的基础解系，导出组的一般解为，非齐次线性方程组的一般解是：５．求，使齐次线性方程组有非零解，并求解．解：当系数行列式时，即或时有非零解。具体求解分三种情况：1）且，2）且，3）且。（求解过程略）６．证明线性方程组有解的充分必要条件为：．在有解的情形，求它的一般解。解：增广矩阵故当且仅当时，未知数个数，线性方程组有解且有无穷多组解，（具体求解过程略）７．证明线性方程组对任何都有解的充要条件是：系数行列式证明：线性方程组的向量形式是：，故线性方程组有解等价于向量可由向量组线性表示。其中。1）必要性：设线性方程组对任何都有解，即任意维向量都可由向量组线性表示，由此可知，维基本单位向量组中的每一个向量均可由向量组线性表示，另一方面，向量组中的每一个向量都可由维基本单位向量组线性表示，故它们是等价的向量组，等价的向量组有相同的秩，由维基本单位向量组线性无关，秩为，推知向量组秩为，即向量组线性无关，从而有：2）充分性：设系数行列式，维向量组线性无关，则对于任意维向量，个维向量构成的向量组必定相关，由此可知向量可由向量组线性表示，亦即线性方程组有解。８．判断下列命题是否正确．(1)如果矩阵方程只有零解，则矩阵方程有唯一解；（正确）(2)如果向量组是的基础解系，则向量组,,,也是的基础解系；（错误，因为向量组,,,是线性相关的）(3)如果矩阵方程有唯一解，则矩阵方程只有零解．（正确）９．设向量组是某个线性方程组的解，求证：也是这个方程组的一个解．其中．证明：设线性方程组为，则依题意有：于是有：即：是线性方程组的解。１０．设是线性方程组的一组解，向量组是它的导出方程组的一个基础解系，令，证明：线性方程组的任一组解，都可以表成，其中．证明：显然，线性方程组的

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